教材分析立體幾何初步

1、第 1 章 立體幾何初步 立體幾何是研究三維空間中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的一門數(shù)學學科， 而三維空間是人們生存發(fā)展的現(xiàn)實空間所以 , 學習立體幾何對我們認識、理解 現(xiàn)實世界，更好地生存與發(fā)展具有重要的意義 立體幾何初步一章，是在義 務教育階段“空間與圖形”課程的延續(xù)與發(fā)展，教材的編寫力圖凸顯普通高中 數(shù)學課程標準（以下簡稱課程標準 ）對立體幾何的教學要求 , 通過直觀感知、 操作確認、 思辯論證、度量計算等方法， 以幫助學生實現(xiàn)逐步形成空間想像能力 這一教學目的一、課程標準關(guān)于立體幾何初步的表述及教學要求1表述： 課程標準指出：幾何學是研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系 的數(shù)學學科人

2、們通常采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認 識和探索幾何圖形及其性質(zhì)三維空間是人類生存的現(xiàn)實空間，認識空間圖形， 培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想像能力、 推理論證能力、 運用圖形語言進行交流的能力 以及幾何直觀能力， 是高中階段數(shù)學必修系列課程的基本要求 在立體幾何初 步部分 ,學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；再以長方 體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關(guān)系 ;能用數(shù)學語言表述有關(guān) 平行、垂直的性質(zhì)與判定， 并對某些結(jié)論進行論證 學生還將了解一些簡單幾何 體的表面積與體積的計算方法2教學要求：2。1 空間幾何體（1）利用實物模型、計算機軟件觀察大量空間圖形，

3、認識柱、錐、臺、球及 其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征 , 并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)（2）能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型， 會使用材料 （如紙板）制作模 型，會用斜二側(cè)畫法畫出它們的直觀圖（3）通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖， 了解空間圖形的不同表示形式4）完成實習作業(yè) , 如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的 基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴格要求） （5）了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公 式）2。2 點、線、面之間的位置關(guān)系（1）借助長方體模型

4、， 在直觀認識和理解空間點、 線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上， 抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義 ,并了解如下可作為推理依據(jù)的公理和定理：公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2:如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點 的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線.公理 3:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.公理 4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么 這兩個角相等.（2）以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確 認、思辯論證 ,認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)

5、性質(zhì)與判定.通過直觀感知、操作確認 ,歸納出以下判定定理 :如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行， 那么該直線與這個平 面平行.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面， 那么這兩個平面平 行.如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么這條直線垂直于這個平面.如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 通過直觀感知 ,操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明.如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那 么這條直線就和交線平行.如果兩個平行平面同時和第三個平面相交 ,那么所得的兩條交線平行.如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，

6、 那么它頁垂直于另一個 平面.如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于 另一個平面.（3）能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.二、對比課程標準與教學大綱，在要求上的主要變化1。對于“空間幾何體”：教學大綱要求：了解概念，掌握性質(zhì)；課程標準則要求：認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征.課程標準把重點放在了空間想像能力上，對概念、性質(zhì)則降低了要求.2。對于“點、線、面之間的位置關(guān)系”：課程標準把重點放在了定性研究（平行和垂直）上，定量研究（角和距離）在必修中不作要求（移到選修中），對線、面垂直的判定定理不證明，移到空間向量中再證.分段設(shè)計，分層遞 進.3.

7、 對知識發(fā)生的過程提出了較高 的要求：多處使用了“觀察”、“認識”、“畫出”、“直觀感知、操作確認， 歸納”等情感、態(tài)度與價值要求的行 為動詞.對空間幾何體的要求是直觀 感知；對線、面關(guān)系則要求操作確認、 思辨論證；對判定定理的要求是操作 確認、合情推理；對性質(zhì)定理則要求 思辨論證、邏輯推理.4. 不要求用反證法證明簡單的問 題.三、新課程教材和大綱教材處理札錐.臺、球空間幾何體1中心投彭與平冇投繆直觀圖畫法點、線*面之間的關(guān)系A(chǔ)V甲簡的思本性鹿空間兩條直線的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系半面與平面的位置關(guān)系柱錐、臺、球的表面積與體積空間囲形的展開圖；桂、錐、宅、球的棒積平面的基本性質(zhì)空間直線和

8、平面.空間兩條直線的位置關(guān)系 A直錢與半面的位辰關(guān)系I平面與平而的位匠關(guān)系V核柱1簡單幾何休披休1直觀禺,球一概念與性質(zhì)圖2|體積與表面積的變化與以往高中數(shù)學課程中的立體幾何相比，立體幾何教材處理的變化主要表現(xiàn) 在幾何定位 ,幾何內(nèi)容處理方式，幾何內(nèi)容的分層設(shè)計以及幾何內(nèi)容的增減等方 面1. 定位：定位于培養(yǎng)和發(fā)展學生把握圖形的能力，空間想象與幾何直觀能 力、邏輯推理能力等 . 強調(diào)幾何直觀，合情推理與邏輯推理并重，適當滲透公理 化思想2。內(nèi)容處理與呈現(xiàn)：按照從整體到局部的方式展開：柱、錐、臺、球-點、 線、面一側(cè)面積、表面積與體積的計算（如圖1）,而原教材是點、線、面一柱、 錐、臺、球，即從

9、局部到整體 （ 如圖 2），突出直觀感知、操作確認，并結(jié)合簡 單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些幾何性質(zhì)3。內(nèi)容設(shè)計：螺旋上升，分層遞進 , 逐步到位。在必修課程中，主要是通 過直觀感知、操作確認 , 獲得幾何圖形的性質(zhì)，并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一 些幾何性質(zhì)。進一步的論證與度量則放在選修 2 中用向量處理 .教材在內(nèi)容的設(shè) 計上不是以論證幾何為主線展開幾何內(nèi)容， 而是先使學生在特殊情境下通過直觀 感知、操作確認，對空間的點、線、面之間的位置關(guān)系有一定的感性認識，在此 基礎(chǔ)上進一步通過直觀感知、 操作確認，歸納出有關(guān)空間圖形位置關(guān)系的一些判 定定理和性質(zhì)定理， 并對性質(zhì)定理加以邏輯證明 .不是不要證明，

10、 而是完善過程， 既要發(fā)展演繹推理能力，也要發(fā)展合情推理能力4。教學內(nèi)容增減 :刪除（或在選修課內(nèi)體現(xiàn)的 ）：（1）異面直線所成的角的計算 .（2）直線與平面所成角的計算 .（ 3）三垂線定理及其逆定理 .（4）二面角及其平面角的計算 .（ 5）多面體及歐拉公式。（6）原教材中有 4 個公理,4 個推論， 14 個定理（都需證明 ）（ 不包含以例題 出現(xiàn)的定理） . 新教材中有 4 個公理， 9 個定理（ 4 個需證明）增加：（7）簡單空間圖形的三視圖專設(shè)“空間幾何體的三視圖和直觀圖” 這一節(jié), 重點在于培養(yǎng)空間想像能力（8）臺體的表面積和體積等內(nèi)容.立體幾何內(nèi)容采用上述處理方式，主要是為了增

11、進學生對幾何本質(zhì)的理解, 培養(yǎng)學生對幾何內(nèi)容的興趣，克服以往幾何學習中易造成的學生兩極分化的弊 端.四、江蘇省數(shù)學學科關(guān)于立體幾何初步的教學建議§ 1.1空間幾何體（4課時）基本要求發(fā)展要求說明1 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特1.能用運動的觀點整1 .柱、錐、臺、征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體體認知柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征只的結(jié)構(gòu)，了解柱、錐、臺、球的概念.球.須通過實例概2 了解畫立體圖形三視圖的原理，并能畫出簡單2.通過本節(jié)學習，進括，不必證明.幾何圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的一步體會觀察、比較、2 .空間幾何體的簡易組合）的三視圖.能識別上述的

12、三視圖表示的歸納、分析等一般科性質(zhì)不必深入挖立體模型，會用斜二測法畫出立體圖形的直觀圖.學方法的運用.掘.重點：讓學生感受大量空間實物及模型，概括出柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征, 會用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖.難點：如何讓學生概括柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征.教學建議：1 新課標在幾何教學中強調(diào)幾何學習的直觀性，強調(diào)實物、模型對幾何學習 的作用.因此對柱、錐、臺、球的學習需要從實物圖形的感知出發(fā)，抽象出其本質(zhì)特征，來建立多面體、旋轉(zhuǎn)體的概念，進一步研究它們的結(jié)構(gòu)和分類.課外可 讓學生動手做一做，更直接的感受空間幾何圖形的特征.如建議學生用紙板或游 戲棒或細鐵絲（作骨架）做出下列幾何體的模型：（1

13、）正方體；（2）長方體；（3）三棱錐；（4）四棱錐；（5）三棱臺.學 生通過動手做，親身體驗柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征，必會幫助學生逐步形成空間想 像能力.2. 用斜二測畫法畫直觀圖，關(guān)鍵是掌握畫水平放置的平面圖形 ，它是畫空間 幾何體直觀圖的基礎(chǔ).而水平放置的平面圖形的畫法可以歸結(jié)為確定點的位置的 畫法.在平面上確定點的位置我們可以借助直角坐標系來完成，因此畫水平放置的直角坐標系是學生首先要掌握的方法.通過例題的教學使學生明確畫直觀圖的 基本要求.3. 關(guān)于“三視圖"的一些補充說明：（1）畫三視圖容易忽視的問題 不給出“正方向”，把想當然的“正方向”看作是規(guī)定的“正方向”.如某中考題：F

14、面四個幾何體中，左視圖是四邊形的幾何體共有（）圓柱A. 1個.2個.3個正方體D. 4個嚴格意義上來說，該題（屬開放性問題）是沒有答案的，因為你沒有給出正 方向，所以不知左視圖為何形. 視圖中缺少應有的線段，尤其是缺少該用虛線描繪的不可見的物體輪廓線、分界線和棱.如常將四棱錐 S ABCD的三視圖作成圖（10）而非圖（11）， 即俯視圖中缺少棱SC. 主視圖、左視圖和俯視圖的大小不符合“長對正、高平齊、寬相等”的要 求.（2 ）江蘇省高考關(guān)于“三視圖”要求的變化：2008、2009年江蘇省高考數(shù)學學科考試說明中，將“三視圖與直觀圖”定為A級要求，即僅作了解，而從2010年起，則將“三視圖與直觀

15、圖”不作要求.§ 1. 2點、線、面之間的位置關(guān)系（10課時）基本要求發(fā)展要求說明1了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示了解平面1.會進行文字語言1 有關(guān)的基本性質(zhì)，即公理1、2、3及其推論1、推論2和推論"“符號語言”“圖判定定3, 了解平行公理（即公理 4）與等角定理.形語言”之間的轉(zhuǎn)理的證2了解異面直線的定義，會說明兩條直線是異面直線，化.明不作并能正確畫出兩條異面直線，在畫圖過程中感知兩條異2.在引導學生觀察、要求.面直線所成的角.比較、抽象、類比得2.有關(guān)3.通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面平行、出空間點、線、面位角與距垂直以及兩平面的平行、垂直的判疋疋理

16、.置關(guān)系的過程中，努離不作4通過直觀感知、操作確認，歸納并能證明出直線與平力浸透數(shù)學思想與辯計算要面平行、垂直以及兩平面的平行、垂直的性質(zhì)定理.證唯物主義觀念.求.5.能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命3.三垂題.線定理 及其逆 定理不 必補充.重點：直線與平面、平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.難點：文字語言、符號語言與圖形語言的轉(zhuǎn)化；對異面直線的認識.教學建議：1. 平面的基本性質(zhì)雖僅為了解，但卻是進一步研究空間點、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，在教學中，可以先給出一些實物圖片，旨在激發(fā)學生學習空間圖形的興 趣，然后引入最簡單的幾何體-長方體模型，有關(guān)點、線、面用彩色來突出， 讓學生

17、仔細的觀察；設(shè)計一些實例，再給出實物圖片，讓學生覺得四個公理確 實是顯而易見的；設(shè)計一幅實物圖片和直觀圖形進行對比，使學生從平面到空間 理解等角定理，顯得更直觀、更可信.2. 空間點、線、面的位置關(guān)系應依托長方體模型，教學中，讓學生仔細地 觀察“教室"這一長方體模型和其他長方體模型的點、線、面的位置關(guān)系，這樣 顯得更直觀，容易得出直線和平面平行的判定定理， 平面和平面平行的判定定理 以及直線和平面平行的性質(zhì)定理，平面和平面平行的性質(zhì)定理；例題和習題的設(shè)計要有意識的考慮長方體、正方體模型以及一些不太規(guī)則的 圖形.3. 本章教學中應重視文字語言、符號語言和圖形語言的相互“翻譯”轉(zhuǎn)換.4在

18、教學中，要努力浸透歸納、類比等數(shù)學思想方法，幫助學生形成辯證唯物主義世界觀.§ 1. 3空間幾何體的表面積與體積（3課時）基本要求發(fā)展要求說明1. 了解柱、錐、臺、球表面積的計 算公式,并能計算一些簡單組合體 的表面積；2. 了解柱、錐、臺、球的體積公式， 并能計算一些簡單組合體的體積.1. 初步體驗將空間問題轉(zhuǎn)化為 平面問題的思想方法；2. 體會柱、錐、臺之間的關(guān)系3. 初步體會“積分”思想的應 用.祖暅原理可 向?qū)W生形象 地介紹，但 不作了解要求.重點：讓學生了解柱體、錐體、臺體、球的表面積和體積計算公式.難點：球的表面積與體積公式的推導.教學建議：1. 應從學生熟悉的正方體、長方體的側(cè)面展開圖入手探究展開圖和表面積 的關(guān)系.2. 通過對球的表面積、體積公式的運用，加深學生對公式的認識，突出公式 在實際問題解決中的作用.五、本章教學中應注意的幾個問題1. 明確立體幾何的教學目標，不拔高，也不降低。新增的內(nèi)容不加深，刪 除的內(nèi)容不增補.2. 注意概念定理的發(fā)生發(fā)展過程；加強幾何直觀、合情推理教學，適當進 行思辨論證，從幾何直觀、合情推理、邏輯推理等多角度培養(yǎng)學生空間想象能力.3. 注意從不同角度認識幾何體.4. 重視問題的數(shù)學化表達