3平面任意力系平衡方程4講解

1、第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 課題課題32 32 固定端約束固定端約束 均布載荷求力均布載荷求力矩矩 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 課題課題34 34 考慮摩擦時構件的平衡考慮摩擦時構件的平衡課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程1.1.平面匯交力系平面匯交力系 平面匯交力系總可以合成為一個合力FR 。2.2.平面力偶系平面力偶系 平面力偶系總可以合成為一個合力偶,其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和 。 3. 3.力線平移定理力線平移定理 力向作用線外任一點平移，得到一個平移力和一個

2、附加力偶。 平移力與原力大小相等，附加力偶矩等于原力對平移點的力矩。OF3F2F1FR12FR22)()(yxRFFFM1M2M3MR=AdBF M =FdBAFdFdM 舊課復習：舊課復習：RMMO一、一、平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化= = 課題課題31 31 平面任意力系平衡方程平面任意力系平衡方程 1.1.主矢主矢F F R 主矢的大小等于原力系中各分力的合力，即在坐標軸投影主矢的大小等于原力系中各分力的合力，即在坐標軸投影代數(shù)和的平方和再開方代數(shù)和的平方和再開方, ,作用點在簡化中心上作用點在簡化中心上,其大小和方向與簡化中心的選取無關。OF3F2F1CBA簡化中心 F3F2F

3、1M1M2M3= =OF RM02222)()()()(yxyxRFFFFF 2.2.主矩主矩M0)(0FMMMO結論：結論： 主矩的大小等于各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和。主矩的大小等于各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和。其大小和方向與簡化中心的選取可能有關，也可能無關。 平面任意力系向平面任意點簡化平面任意力系向平面任意點簡化, ,得到一主矢得到一主矢F FR R和一主矩和一主矩0 0 xyFFtan3.3.簡化結果的討論簡化結果的討論 例例3-13-1 圖示物體平面A、B、C三點構成一等邊三角形，三點分別作用F力，試簡化該力系。 1）FR0 00 主矢FR和主矩O可以再簡化為一個作用點不在簡化中

4、心O點的力FR (試一下) 。FABC 解：解：1.求力系的主矢cos60cos600 xFFFF2.選A點為簡化中心，求力系的主矩簡化結果是一平面力偶系(取其它點為簡化中心，結果不變，因為本來就已構成平面力偶系)。 2）FR0 0=0 簡化為一個力，主矢FR就是力系的合力FR (結果相當于作用于簡化中心的匯交力系)。 3）FR=0 00 簡化為一個力偶。主矩的大小與簡化中心的選擇無關(本來可以構成平面力偶系) 。 4）FR=0 0=0 力系處于平衡狀態(tài)，與簡化中心無關。 FFxy0)()(22yxRFFF0sin60sin600yFFF0( )sin603/2AMMFFABF ABM0二、平

5、面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 1.1.平衡條件平衡條件2.2.平衡方程平衡方程 為使求解簡便，坐標軸一般選在與未知力垂直的方向上，矩心可選在未知力作用點（或交點）上。 平面任意力系平衡的必充條件為FR=0 0=0。即0)()(22yxRFFF0)(0FMMO0)(000FMFFyx三、平面平行力系的平衡方程三、平面平行力系的平衡方程 若全部分力均垂直于x軸（或y軸），則上述平衡方程中， （或 ）衡成立，則上述方程變?yōu)椋?0 xF 0yF或 0)(00FMFx0)(00FMFy四、應用舉例四、應用舉例 例例3-23-2 圖示桿件AB, 在桿件上作用力F,集中力偶M=Fa,求桿件

6、的約束力。解：解：1.取AB為研究對象畫受力圖 2.建立坐標系列平衡方程:0)(FMA320BFaFaM:0 xF0AxFaaaFABMFABMFB332FaFaFaFB:0yF0FFFBAy23AyBFFFFxyFAxFAy 例例3-3 圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M=Fa，=45，試求桿件AB的約束力。 解：解：1.取AB桿為研究對象畫受力圖2.列平衡方程求約束力:0)(FMAsin4520CFaFaMFaFaFaFC22/22:0 xFcos450AxCFF aaABDFCM=FaaaFBACM=FaFAxFCFAy2cos4522Ax

7、CFFFF :0yF054sinFFFCAy022254sinFFFFFCAy解：解：1.取小車為研究對象畫受力圖2.建立坐標系列平衡方程求約束力()sincos0BTF abFhGhGacosBGaFab:0 xF0sinGFTsinGFT:0yFcos0ABFFGcoscoscoscosABGaGbFGFGabab 例例3-4 圖示為高爐加料小車的平面簡圖。小車由鋼索牽引沿傾角為的軌道勻速上升，已知小車的重量G和尺寸a、b、h、，不計小車和軌道之間的摩擦，試求鋼索拉力FT和軌道對小車的約束力。 GFAFByxFT:0)(FMA將G分解為x、y方向分量本課節(jié)小結本課節(jié)小結 主矢的大小等于原力

8、系中各分力在坐標軸投影代數(shù)和的平主矢的大小等于原力系中各分力在坐標軸投影代數(shù)和的平方和再開方方和再開方, ,作用在簡化中心上。主矩的大小等于各分力對簡化作用在簡化中心上。主矩的大小等于各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和。中心力矩的代數(shù)和。一、一、平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化平面任意力系向平面任意點簡化平面任意力系向平面任意點簡化, ,得到一主矢得到一主矢F FR R和一主矩和一主矩0 0 1. 1.平衡條件平衡條件 平面任意力系平衡的必充條件為FR=0 0=0。二、平面任意力系的平衡方程二、平面任意力系的平衡方程 2. 2.平衡方程平衡方程 為使求解簡便，坐標軸一般選在與未知力垂直的方向上，

9、矩心可選在未知力作用點（或交點）上。0)(000FMFFyx22)()(yxRFFF)(0FMMO二、平面平行力系的平衡方程二、平面平行力系的平衡方程或 0)(00FMFx0)(00FMFy一、平衡方程的其它形式一、平衡方程的其它形式 課題課題32 32 固定端約束固定端約束 均布載荷求力矩均布載荷求力矩例例3-5 圖示支架由桿AB、BC組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在AB上作用F力，集中力偶M=Fa，=30，試求桿件AB的約束力。aaACFBM解：解：1.取AB桿為研究對象畫受力圖aaFABCMFAxFBFAy 2.平衡方程求約束力:0)(FMAsin3020BFaF aM:0 xFcos

10、300AxBFF :0yF030sinFFFBAyFFB2cos303AxBFFF 0AyF:0)(FMAsin3020BFaF aMFFB2:0)(FMB20AyFaF aM0AyF:0 xFcos300AxBFF cos303AxBFFF :0)(FMAsin3020BFaF aMFFB2:0)(FMB20AyFaF aM0AyF:0)(FMC2 303AxaFF aMFFAx3332a一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xF:0)(FMA:0yF:0)(FMA:0)(FMB 0 (0):xyFF:0)(FMA:0)(FMB:0)(FMC 所選坐標軸不能與A、B連線垂直 A、B、C三點不公

11、線 兩坐標軸垂直二、平面固定端約束二、平面固定端約束 圖a陽臺、圖b車刀的根部固定, 既不允許構件移動，又不允許繞其固定端轉動。這些實例簡化的平面力學模型，稱為平面固定端約束平面固定端約束。 F 由平面任意力系的簡化可得：平面固定端約束有兩個約束力FAx、FAy和一個約束力偶矩A(均假設為正方向)。 FAxFAyMA三、均布載荷均布載荷 載荷集度為常量的分布載荷稱為均布載荷均布載荷。 xABqlO在構件一段長度上作用均布載荷q(N/m) ,1.1.均布載荷的合力均布載荷的合力FQ 均布載荷的合力FQ的大小等于均布載荷集度q與其分布長度l的乘積，即 FQ=qlFQl/2 2.2.均布載荷求力矩：

12、均布載荷求力矩： 由合力矩定理可知，均布載荷對平面上任意點O的力矩等于其合力FQ與分布長度中點到矩心距離的乘積，即 M0(ql)= ql(x+l/2) 。若以A點為矩心，則 MA (ql)= ql2/2 應用舉例應用舉例 例例3-63-6 圖示為懸臂梁的平面力學簡圖。已知梁長為2l，共作用有均布載荷q，集中力F=ql和力偶M0 =ql2, 求固定端的約束力。ABqllFM0qABllFM0FAxFAyMA解：解：1.取AB為研究對象畫受力圖2.列平衡方程求約束力:0)(FMA02320MlqllFMA:0 xF0AxF:0yF0qlFFAy252qlMAqlqlFFAy2 例例3-7 圖示為外

13、伸梁的平面力學簡圖。已知梁長為3a，作用均布載荷q，作用力F=qa/2和力偶M0 =3qa2/2, 求AB梁的約束力。解：解：1.取AB為研究對象畫受力圖DaqABaaM0CFaaaDABCM0qFFDFAxFAy:0)(FMA02532aqaaFMaFOD:0 xF0AxF:0yF0qaFFFDAy4qaFD4324qaqaqaqaFAy2.列平衡方程求約束力 例例3-8 圖示支架由桿AB、CD組成，A、C、D處均為光滑鉸鏈，在CB上作用均布載荷q，M0=qa2，=45，試求桿件AB的約束力。 解：解：1.取AB為研究對象畫受力圖qM0aaABDCqM0aaDCBAFAxFCFAy 2.列平

14、衡方程求約束力:0)(FMA02345sin0MaqaaFCqaaqaqaFC222/22/322:0 xFcos450AxCFF 22cos45222AxCqaqaFF :0yF054sinqaFFCAy2222254sinqaqaqaqaFFCAy 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學練習冊練習八練習八本課節(jié)小結本課節(jié)小結一、平衡方程的其它形式（注意限制條件）一、平衡方程的其它形式（注意限制條件） 平面固定端約束有兩個約束力FAx、FAy和一個約束力偶矩A。二、平面固定端約束二、平面固定端約束 1.均布載荷的合力均布載荷的合力FQ 均布載荷的合力FQ的大小等于均布載荷集度q與其分布長度l的乘積，即

15、 FQ=ql三、均布載荷均布載荷一 矩 式二 矩 式三 矩 式:0 xF:0)(FMA:0yF:0)(FMA:0)(FMB:0 xF:0)(FMA:0)(FMB:0)(FMC 2.均布載荷求力矩：均布載荷求力矩： 均布載荷對平面上任意點O的力矩等于其合力FQ與分布長度中點到矩心距離的乘積，即 M0(ql)=ql(x+l/2) 。 舊課復習舊課復習 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 1. 1.平面匯交力系平面匯交力系0)(00FMFy00yxFF 2. 2.平面力偶系平面力偶系 3. 3.平面平行力系平面平行力系 4. 4.平面任意力系平面任意力系 0)( FMO0)(000FM

16、FFyx 平面匯交力系有一組二個獨立的平衡方程，解出二個未知數(shù)。 平面力偶系有一個獨立的平衡方程，解出一個未知數(shù)。 平面平行力系有一組二個獨立的平衡方程，解出二個未知數(shù)。 平面任意力系有一組三個獨立的平衡方程，解出三個未知數(shù)。 一、靜定與靜不定問題的概念一、靜定與靜不定問題的概念 課題課題33 33 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡1.1.靜定問題靜定問題 力系中未知數(shù)個數(shù)少于或等于獨立平衡方程個數(shù)時，全部未知數(shù)可由獨立平衡方程解出，這類問題稱為靜定問題。靜定問題。 2.2.靜不定問題靜不定問題 力系中未知數(shù)個數(shù)多于獨立平衡方程個數(shù)時，全部未知數(shù)不能完全由獨立平衡方程解出，這類問題稱為靜不定問題靜

17、不定問題。 靜定問題(3=3)靜不定問題(32)靜不定問題(32)靜定問題(3=3)靜定問題(3=3)靜不定問題(43)靜不定問題(43)平面任意力系平面平行力系平面匯交力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系二、物體系統(tǒng)的平衡問題二、物體系統(tǒng)的平衡問題 1.1.物系物系 工程機械和結構都是由若干個構件通過一定約束聯(lián)接組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱為物系。物系。 2.2.外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力 系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力內(nèi)力。 3.3.物系平衡物系平衡 物系處于平衡，那么物系的各個構件都處于平衡。因此在求解時，既可以選整個物系為

18、研究對象；也可以選單個構件或部分構件為研究對象。 例如例如求圖示結構中AB、BC桿的約束力。 BCAFFFFBACFBxFByFBxFByFAxFAyFCyFCxBFFACFAxFAyFCyFCx6=6 6=6 例例3-9圖示為一靜定組合梁的平面力學簡圖。已知l=2m,均布載荷q=15kN/m，力偶M0=20kNm, 求A、B端約束力和C鉸鏈所受的力。 解：解：1.分別取AC、CB畫受力圖lll/2AM0qBCll/2M0qBCFCyFBFCxlACFCxFCyFAxFAyMA:0)(FMC0223lqllFB:0 xF0CxF:0yF0qlFFBCy 2.取CB列平衡方程求約束力kN1032

19、153qlFBkN2021510qlFFBCy:0)(FMA00lFMMCyA:0 xF0AxF:0yF0CyAyFF 3.取AC列平衡方程求約束力mkN20220200lFMMCyAkN20CyAyFF例例3-10 曲柄連桿機構在圖示位置時，F(xiàn)=5kN，試求曲柄OA上應加多大的力偶矩才能使機構平衡? 解解1 1：1.分別取曲柄OA、滑塊B畫受力圖FO10cm20cm10cmBAMF10cm20cm10cmOABMFABFBFABFOxFOy112tan,sin,cos255cos0ABFF 2.取滑塊B列平衡方程求約束力:0)(FMOsin0.1cos0.10ABABMFF 解解1 1：取O

20、A為研究對象:0 xF555.6kNcos2ABFF0sinABBFF:0yFkN5 . 2516 . 5sinABBFFmkN75. 01 . 0)5251(6 . 5M10cm20cm10cmOBAM解解2 2：取整體為研究對象FBFOxFOy:0)(FMO(0.10.2)0BMF2.5 (0.10.2)0.75kN mM F3-1 圖示為一靜定組合梁的力學簡圖。作用集中力F，集中力偶M0, 畫AC、CB段的受力圖。 課堂練習課堂練習llABCM0F3-2 圖示結構由AB、BC、DE桿組成。作用集中力F，畫AB、BC、DE 桿的受力圖。 aaaaABCDEF 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學練

21、習冊練習九練習九本課節(jié)小結本課節(jié)小結一、靜定與靜不定問題的概念一、靜定與靜不定問題的概念1.1.靜定問題靜定問題 力系中未知數(shù)的個數(shù)少于或等于獨立平衡方程個數(shù)，全部未知數(shù)可由獨立平衡方程解出。二、物體系統(tǒng)的平衡問題二、物體系統(tǒng)的平衡問題 外力和內(nèi)力外力和內(nèi)力系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)的作用力稱為物系外力外力，系統(tǒng)內(nèi)部各構件之間的相互作用力稱為物系內(nèi)力內(nèi)力。 物系平衡物系平衡 物系處于平衡，那么物系的各個構件都處于平衡。因此在求解時，既可以選整個物系為研究對象；也可以選單個構件或部分構件為研究對象。2.2.靜不定問題靜不定問題 力系中未知數(shù)個數(shù)多于獨立平衡方程個數(shù)時，全部未知數(shù)不能完全由獨立平衡方程解出。

22、 一、滑動摩擦的概念一、滑動摩擦的概念 課題課題34 34 考慮摩擦時構件的平衡考慮摩擦時構件的平衡 兩物體接觸面間產(chǎn)生相對滑動產(chǎn)生相對滑動或具有相對滑具有相對滑動趨勢動趨勢時，接觸面間就存在有阻礙相對滑動或相對滑動趨勢的力，稱為滑動摩擦力滑動摩擦力。 1. 1.靜滑動摩擦力（物體具有相對滑動趨勢時所產(chǎn)生的摩擦力）靜滑動摩擦力（物體具有相對滑動趨勢時所產(chǎn)生的摩擦力）靜摩擦力介于零到最大（臨界）靜摩擦力之間即0FfFfmax 。FGF1GFNFf 靜摩擦定律靜摩擦定律 大量實驗表明，臨界摩擦力的大小與物體接觸面間的正壓力成正比（即庫侖定律）。F2GFNFfFljGFNFfmax滑動趨勢狀態(tài)臨界狀

23、態(tài)相對滑動狀態(tài)NsfFFmax 2. 2.動滑動摩擦力（物體相對滑動時所產(chǎn)生的摩擦力）動滑動摩擦力（物體相對滑動時所產(chǎn)生的摩擦力）實驗表明，動滑動摩擦力Ff的大小與接觸面間的正壓力FN成正比，即NfFF 為靜摩擦因數(shù) s 為動摩擦因數(shù) 二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象 1.1.全約束力全約束力FR 若將正壓力FN和靜摩擦力Ff兩力合成，其合力FR就代表了物體接觸面對物體的全部約束反作用，F(xiàn)R稱為全約束力全約束力。F1GFNFfFljGFNFfmaxsNNsNfmFFFFmaxtanFRFRmm2.2.摩擦角摩擦角m 最大全約束力FRm與法線之間的夾角稱為摩擦角摩擦角。此式表明摩擦角的正

24、切值等于摩擦因數(shù)摩擦角的正切值等于摩擦因數(shù)。 FljGFNFfmaxFRmm3.3.摩擦錐摩擦錐 摩擦角表示全約束力與法線間的最大夾角。若物體與支承面的靜摩擦因數(shù)在各個方向都相同，則這個范圍在空間就形成一個錐體，稱為摩擦錐。摩擦錐。 4.4.自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象 全約束力作用線落在摩擦錐內(nèi)的這種現(xiàn)象稱為自鎖自鎖。自鎖的條件應為：全約束力與法線的夾角小于或等于摩擦角全約束力與法線的夾角小于或等于摩擦角（在此（在此范圍內(nèi)增加外力時，物體將保持靜止）范圍內(nèi)增加外力時，物體將保持靜止） 。即mFR三、考慮摩擦時構件的平衡問題三、考慮摩擦時構件的平衡問題 求解考慮摩擦時構件的平衡問題，除列出平衡方程外，還需

25、列出補充方程FfsFN。在臨界狀態(tài)，補充方程Ff=Ffmax=sFN（但不能隨意假定摩擦力的方向），故所得結果也將是平衡范圍的極限值。解：解：1.取AB為研究對象畫受力圖 例例3-11 3-11 圖示重G的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端放在水平面上，A端摩擦不計，B端摩擦因數(shù)為s，試求維持梯子不致滑倒的最小min角。 lABGlABGFBFfFA:0)(FMBsincos02AlFlG:0 xF0fAFF:0yF0GFB 2.列平衡方程fAFF GFB 3.列補充方程GFFsBsf 4.聯(lián)立求解sincos2AlFlGfsincos2GFsincos2sGGs21tanmin1arctan2s 解：解：1.分別取鼓輪、制動桿AB為研究對象畫受力圖。 例例3-12 3-12 圖示為一制動裝置的平面力學簡圖。已知作用于鼓輪上的轉矩為，鼓輪與制動片間的