4.1.2圓的一般方程-(修改)

1、圓的一般方程圓的一般方程 rbyax2)(2)(2ba ,圓的標準方程的形式是怎樣的？從中可以看出圓心和半徑各是什么？r【課前練習】1.1.圓心在（圓心在（-1,2-1,2），與），與 y 軸相切的圓的方程軸相切的圓的方程. .(x+1)2+(y-2)2=12.2.已知圓經(jīng)過已知圓經(jīng)過P(5,1),(5,1),圓心在圓心在C(8,3),(8,3),求圓方程求圓方程(x-8)2+(y-3)2=133.3.已知兩點已知兩點A(4,9)(4,9)、B(6,3), (6,3), 以以AB為直徑的為直徑的圓的方程是圓的方程是(x-5)2+(y-6)2=10(x-2)2+(y-2)2=4 或或 (x+2)

2、2+(y+2)2=420C(2,2)C(-2,-2)xy-2-2y=x4.4.求圓心在直線求圓心在直線y = = x上上, ,與兩軸同時相切與兩軸同時相切, ,半徑為半徑為2 2的圓的方程的圓的方程. .小結(jié)小結(jié):利用圓的標準方程解題需要確定圓的圓心和半徑利用圓的標準方程解題需要確定圓的圓心和半徑.二、二、導入新課 1、同學們想一想，若把圓的標準方程、同學們想一想，若把圓的標準方程展開后，會得出怎樣的形式？展開后，會得出怎樣的形式？rbyax2)(2)(202222222rbabyaxyx2、那么我們能否將以上形式寫得更簡單一點呢？、那么我們能否將以上形式寫得更簡單一點呢？022FEyDxyx

3、3、反過來想一想，形如上式方程的曲線就一定是圓嗎？、反過來想一想，形如上式方程的曲線就一定是圓嗎？ 022FEyDxyx4422)2(2)2(2FEDEyDx2,2ED4、將、將左邊配方，得左邊配方，得(1)當當時時, 可以看出它表示以可以看出它表示以為圓心為圓心,以以為半徑的圓為半徑的圓;D2+E2-4F02422FEDr(2)當當D2E24F0時，方程表示一個時，方程表示一個點點 ；)2,2(ED (3)當當D2E24F0時，方程無實數(shù)解時，方程無實數(shù)解,不表示任何圖形不表示任何圖形觀察：圓的標準方程與圓的一般 方程在形式形式上的異同點.圓的標準方程圓的一般方程 )04(02222FEDF

4、EyDxyxrbyax2)(2)(222222212610(2)26100(3)26130 xyxyxyxyxyxy 判斷以下方程是不是圓的方程?（）是是不是不是不是不是例例1： 下列方程各表示什么圖形下列方程各表示什么圖形? 若是圓則求出圓心、半徑若是圓則求出圓心、半徑.0112422)1 (22yxyx22(2)20(0)xyaxa22222(2)20)0 xyaxxaya由得（22(1) 224121 0 xyxy 解：由2212602xyxy得22211)(3)2xy即：（13故它表示以（， ）為圓心,422為半徑的圓.a,0a故它表示以（）為圓心， 為半徑的圓例例2：(1)圓的一般方

5、程與圓的標準方程的聯(lián)系:一般方程配方展開標準方程小結(jié)一:FEDED421),2,2(22半徑圓心例例4：求過三點 的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。解：設(shè)圓的方程是 . 12(0,0),(1,1),(4,2)OMM 因為O，M1，M2三點都在圓上，所以他們的坐標都是方程的解，把它們的坐標依次代入方程，得到關(guān)于D，E，F(xiàn)的三元一次方程組所以，圓的方程為圓心坐標是（4，-3），半徑長220 xyDxEyF02042200FDEFDEF860DEF 22860.xyxy221452rDEF 例例5：已知線段已知線段AB的端點的端點B的坐標是（的坐標是（4，3），端點），端點A在圓在圓 上運動

6、，求線段上運動，求線段AB的中點的中點M的軌跡方程。的軌跡方程。22(1)4xy解：設(shè)點M的坐標（x,y）,點A的坐標 .由于點B的坐標是（4,3），且點M是線段AB的中點，所以 00(,)xy0043,22xyxy0024,23.xxyy22(1)4,xy2200(1)4xy22(24 1)(23)4,xy2233()()1.22xy3 3( , )2 2所以點M的軌跡是以 為圓心，半徑長是1的圓.于是有 ，整理得即把代入，得 因為點A在圓 小結(jié)小結(jié)1.圓的一般方程圓的一般方程: X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0(+Dx+Ey+F=0(其中其中D D2 2+E+E2 2-4F0

7、).-4F0).2.2.圓的一般方程與圓的標準方程的關(guān)系圓的一般方程與圓的標準方程的關(guān)系: :(1)(1)(2)(2)圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確指出了圓的圓心及半徑圓的標準方程的優(yōu)點在于它明確指出了圓的圓心及半徑, ,而而一般方程突出了方程形式上的特點一般方程突出了方程形式上的特點. .3.3.圓的標準方程與二元二次方程圓的標準方程與二元二次方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的關(guān)的關(guān)系系: :(1)(1)A=CA=C0,(2)B=0,(3) D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0時時, ,二元二次方程才表示圓的二元二次方程才表示圓

8、的一般方程一般方程. .4.4.圓的一般方程的特點圓的一般方程的特點: :(1)(1)x x2 2和和y y2 2的系數(shù)相同且不等于的系數(shù)相同且不等于0.0.(2)(2)沒有沒有xyxy這樣的二次項這樣的二次項, ,因此只要求出了因此只要求出了D,E,FD,E,F就求出了圓的就求出了圓的一般方程一般方程. ., , , ,D DE Ea ab br rD DE EF F 22122241. 本節(jié)課的主要內(nèi)容是圓的一般方程,其表達式為(用配方法求解)3. 給出圓的一般方程,如何求圓心和半徑? 0402222FEDFEyDxyx 配方展開2. 圓的一般方程與圓的標準方程的聯(lián)系一般方程標準方程(圓心

9、,半徑)小結(jié)小結(jié)幾何方法 求圓心坐標 （兩條直線的交點）（常用弦的中垂線） 求半徑 （圓心到圓上一點的距離） 寫出圓的標準方程待定系數(shù)法22222()()0)xaybrxyDxEyF設(shè)方程為(或列關(guān)于a，b，r（或D，E，F(xiàn)）的方程組解出a，b，r（或D，E，F(xiàn)），寫出標準方程（或一般方程）小結(jié)求圓的方程例例3：求過三點：求過三點A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圓的方程的圓的方程圓心：兩條弦的中垂線的交點圓心：兩條弦的中垂線的交點半徑：圓心到圓上一點半徑：圓心到圓上一點xyOEA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )幾何方法幾何方法方法一：方

10、法二：待定系數(shù)法方法二：待定系數(shù)法待定系數(shù)法待定系數(shù)法解：設(shè)所求圓的方程為解：設(shè)所求圓的方程為：因為因為A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 所求圓的方程為所求圓的方程為例例3：求過三點：求過三點A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圓的方程的圓的方程方法三：待定系數(shù)法方法三：待定系數(shù)法解：設(shè)所求圓的方程為解：設(shè)所求圓的方程為：因為因為A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圓上都在圓上22222251507( 1)7028280DEFDEFDEF 4612DEF

11、 所求圓的方程為所求圓的方程為22220(40)xyDx Ey FDEF2246120 xyxy例例3：求過三點：求過三點A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圓的方程的圓的方程注意:求圓的方程時,要學會根據(jù)題目條件,恰當選擇圓的方程形式:若知道或涉及圓心和半徑若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用我們一般采用 圓的標準方程圓的標準方程較簡單較簡單.若已知三點求圓的方程若已知三點求圓的方程,我們常常采用我們常常采用 圓的一般方程圓的一般方程用待定系數(shù)法求解用待定系數(shù)法求解. 小結(jié)二:( (特殊情況時特殊情況時, ,可借助圖象求解更簡單可借助圖象求解更簡單) )綜合檢測：自點綜合檢測：自

12、點A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸軸 反射，反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0 相切，相切， 求反射光線所在直線的方程求反射光線所在直線的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 課堂檢測：課堂檢測：1.已知圓過點已知圓過點P(4，3)，圓心在直線圓心在直線 2xy10上，且半徑為上，且半徑為5，求這個，求這個 圓的方程圓的方程變式變式1 求滿足下列條件的各圓求滿足下列條件的各圓C的方程：的方程：(1)和直線和直線4x3y50相切，圓心在直相切，圓心在直線線xy1=0上，半徑為上，半徑為4；(2)經(jīng)過兩點經(jīng)過兩點A(1，0)，B(3，2)，圓心圓心 在直線在直線x2y0上上的內(nèi)部，求實數(shù)的內(nèi)部，求實數(shù)a 的取值范圍的取值范圍變式變式2 若點若點(1， )在圓在圓x2y22ax2 ay0(a0)的外部，求實數(shù)的外部，求實數(shù)a的取值范圍的取