（整理版）“統(tǒng)一定義”初顯神威

1、“統(tǒng)一定義初顯神威一、“統(tǒng)一定義破解曲線形狀例1、方程的曲線是 a、橢圓 b、雙曲線 c、線段 d、拋物線分析：一般情況下，判別點的軌跡是通過化簡方程來實現(xiàn)，但針對此題此法處理不僅麻煩，且由于其曲線的對稱軸與坐標(biāo)軸不平行，化簡了方程的形式仍很難識別，假設(shè)能用圓錐曲線“統(tǒng)一定義去分析，不難破解。解：原方程可化為。即點到定點的距離與到定直線的距離的比值為1，點p的軌跡是橢圓。故應(yīng)選a。激活思維：此題將轉(zhuǎn)化為其左端的幾何意義可以理解為動點到定點和定直線的距離之比，其比值為，根據(jù)橢圓的第二定義可知所求的曲線是橢圓。因此此題變形是十分關(guān)鍵的，它要求對橢圓定義有較為深刻的理解才能做到。同時說明在第二定義中

2、的定直線并一定是垂直于坐標(biāo)軸的如此題。二、“統(tǒng)一定義活解曲線方程。例2、在平面內(nèi)到定點0，4的距離比它到定直線的距離小1的動點的軌跡方程?！敖y(tǒng)一定義求解，十分簡便。解：由題設(shè)可知：平面內(nèi)動點到定點0，4的距離等于到定直線距離，由“統(tǒng)一定義可知，動點的軌跡是以0，4為焦點，為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為。例3、橢圓的短軸長為4，離心率為，該橢圓有一個焦點在函數(shù)的圖象上，且與這焦點相應(yīng)的準(zhǔn)線為x軸，求這個橢圓的方程。分析：顯然橢圓的對稱中心不在坐標(biāo)原點，由題設(shè)知可利用圓錐曲線統(tǒng)一定義，列出關(guān)系式，經(jīng)過化簡整理，求得軌跡方程解：由，得解得，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，由于準(zhǔn)線是x軸，焦點坐標(biāo)為，又焦點在的

3、圖象上，得焦點為4，2或。根椐圓錐曲線定義，設(shè)為橢圓上一點，那么所求橢圓方程為：或。整理后得或所求的橢圓方程為或三、“統(tǒng)一定義妙解圓錐曲線的最值例4、點a3，0、f2，0，在雙曲線上求一點p，使的值最小。分析：題設(shè)中|pf|是雙曲線的焦半徑，又是雙曲線的離心率的倒數(shù)，由圓錐曲線“統(tǒng)一性定義可知：就是雙曲線上p點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再觀察圖象，便可解決問題。解：。設(shè)點p到與焦點f2，0相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d，那么。，這問題就轉(zhuǎn)化為在雙曲線上求點p，使p到定點a的距離與到準(zhǔn)線的距離和最小。即直線pa垂直于準(zhǔn)線時合題意，p1，0。四、“統(tǒng)一定義 鑒別直線與圓錐曲線的位置關(guān)系yxcbanmfod例5、在拋

4、物線中如圖a為拋物線上異于頂點的任一點，問以|pa|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系如何。分析：判斷直線與圓的位置關(guān)系可考慮圓心到直線的距離。解：如圖，設(shè)過a點且平行于x軸的直線交y軸于b點，交直線l于c點，由統(tǒng)一定義可知|ac|=|af|，設(shè)x軸與準(zhǔn)線l交于d，那么|of|=|od|=|bc|，取af的中點m，過點m且平行于x軸的直線交于y軸于n，那么。所以|fa|為直徑的圓與y軸相切。五、“統(tǒng)一定義妙求離心率例6、一直線過圓錐曲線的焦點f，且傾斜角為600，它與圓錐曲線交于a、b兩點，假設(shè)|fa|=2|fb|，求該圓錐曲線的離心率。分析：因ab是焦點弦，故其焦半徑可以轉(zhuǎn)化為點a、b到準(zhǔn)線的距離，利用平面幾何圖形性質(zhì)，結(jié)合統(tǒng)一定義可得以解決。解：設(shè)|fb|=x，那么|fa|=2 x，|ab|=3 x，過a、b兩點且平行于x軸的直線分別交其相應(yīng)的準(zhǔn)線于m、n兩點，那么，為圓錐曲線的離心率，過b點作bkam，k為垂足，由于直線ab與x軸成600，由此可求得：，又|am|=|ak|+|bn|，即，所以。六、“統(tǒng)一定義妙求參數(shù)的取值范圍例7、雙曲線的右焦點為f，右準(zhǔn)線為l，又以f為焦點，l為準(zhǔn)線的橢圓，截直線所得的弦恰好被x軸平分，求實數(shù)k的取值范圍。解析：由焦點和準(zhǔn)線方程，自然聯(lián)想到統(tǒng)一定義來解題，由雙曲線方程易得f2，0，準(zhǔn)線l：，設(shè)p為橢圓上任一點，由定義知，其中，平