（整理版）　曲線與方程2

1、55曲線與方程導學目標： 了解曲線的方程與方程的曲線的對應關系自主梳理1曲線的方程與方程的曲線在直角坐標系中，如果某曲線c(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下的關系：(1)_都是這個方程的_(2)以這個方程的解為坐標的點都是_，那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2平面解析幾何研究的兩個主要問題(1)根據(jù)條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過曲線的方程研究曲線的性質(zhì)3求曲線方程的一般方法(五步法)求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示_；(2)寫出適合條件p的點m的集

2、合p_；(3)用坐標表示條件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為_；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在_自我檢測1(·湛江月考)動點p在曲線2x2y0上移動，那么點a(0，1)與點p連線中點的軌跡方程是()ay2x2 by8x2c2y8x21 d2y8x212一動圓與圓o：x2y21外切，而與圓c：x2y26x80內(nèi)切，那么動圓的圓心p的軌跡是()a雙曲線的一支 b橢圓c拋物線 d圓3(·佛山模擬)直線l的方程是f(x，y)0，點m(x0，y0)不在l上，那么方程f(x，y)f(x0，y0)0表示的曲線是()a直線l b與l垂直的一條直線c

3、與l平行的一條直線 d與l平行的兩條直線4假設m、n為兩個定點且|mn|6，動點p滿足·0，那么p點的軌跡是()a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線5(·江西)假設曲線c1：x2y22x0與曲線c2：y(ymxm)0有四個不同的交點，那么實數(shù)m的取值范圍是()a(，) b(，0)(0，)c， d(，)(，)探究點一直接法求軌跡方程例1動點p與兩定點a(a,0)，b(a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點p的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線變式遷移1兩點m(2,0)、n(2,0)，點p為坐標平面內(nèi)的動點，滿足|·0，那么動點p(x，y)的軌跡方程為_探究點二定義法求軌跡方程

4、例2(·包頭模擬)兩個定圓o1和o2，它們的半徑分別是1和2，且|o1o2m與圓o1內(nèi)切，又與圓o2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓圓心m的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線變式遷移2在abc中，a為動點，b、c為定點，b，c，且滿足條件sin csin bsin a，那么動點a的軌跡方程是()a.1 (y0)b.1 (x0)c.1 (y0)的左支d.1 (y0)的右支探究點三相關點法(代入法)求軌跡方程例3如下圖，從雙曲線x2y21上一點q引直線xy2的垂線，垂足為n.求線段qn的中點p的軌跡方程變式遷移3長為1的線段ab的兩個端點a、b分別在x軸、y軸上滑動，p是ab上一點，且.求點p

5、的軌跡c的方程分類討論思想的應用例(12分)過定點a(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點m，l2與y軸交于點n，如下圖，求線段mn的中點p的軌跡方程p坐標，必須先求m、n兩點，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點且垂直，只要l1的斜率存在，設一參數(shù)k1即可求出p點坐標，再消去k1即得點p軌跡方程【答題模板】解(1)當l1不平行于y軸時，設l1的斜率為k1，那么k1l1l2，所以l2的斜率為，l1的方程為ybk1(xa)，l2的方程為yb(xa)，在中令y0，得m點的橫坐標為x1a，4分在中令x0，得n點的縱坐標為y1b，6分設mn中點p的坐標為(x，y)，那么有

6、消去k1，得2ax2bya2b20 (x)8分(2)當l1平行于y軸時，mn中點為，其坐標滿足方程.綜合(1)(2)知所求mn中點p的軌跡方程為2ax2bya2b20.12分【突破思維障礙】引進l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出m、n的坐標，求出點p的坐標，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，此題還要注意直線l1的斜率是否存在【易錯點剖析】當amx軸時，am的斜率不存在，此時mn中點為，易錯點是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點.1求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表達成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之

7、為直接法用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點，列式，代換，化簡，證明五個步驟，但最后的證明可以省略(2)定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關系式，從而求出軌跡方程(3)代入法：動點所滿足的條件不易表達或求出，但形成軌跡的動點p(x，y)卻隨另一動點q(x，y)的運動而有規(guī)律的運動，且動點q的軌跡為給定或容易求得，那么可先將x，y表示為x、y的式子，再代入q的軌跡方程，然后整理得p的軌跡方程，代入法也稱相關點法(4)參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關系，那么可借助中間變量(參數(shù))，使x、y

8、之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程2本節(jié)易錯點：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時，應考慮是否符合曲線的定義(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1橢圓的焦點是f1、f2，p是橢圓的一個動點，如果m是線段f1p的中點，那么動點m的軌跡是()a圓 b橢圓c雙曲線的一支 d拋物線2(·唐山模擬)a、b是兩個定點，且|ab|3，|cb|ca|2，那么點c的軌跡為()a雙曲線 b雙曲線的一支c橢圓 d線段3長為3的線段ab的端點a、b分別在x軸、y軸上移動，2，那么點c的軌跡是()a線段 b圓 c橢圓 d雙曲線4(·

9、;銀川模擬)如圖，圓o：x2y216，a(2，0)，b(2,0)為兩個定點直線l是圓o的一條切線，假設經(jīng)過a、b兩點的拋物線以直線l為準線，那么拋物線焦點所在的軌跡是()a雙曲線 b橢圓c拋物線 d圓5f1、f2是橢圓1的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點m滿足|mf1|mf2|2，那么動點m的軌跡是()a雙曲線 b雙曲線的一個分支c兩條射線 d一條射線二、填空題(每題4分，共12分)6兩定點a(2,0)，b(1,0)，如果動點p滿足|pa|2|pb|，那么點p的軌跡所包圍的圖形的面積等于_7(·泰安月考)abc的頂點b(0,0)，c(5,0)，ab邊上的中線長|cd|3，那么頂點a的軌跡方程

10、為_8平面上有三點a(2，y)，b，c(x，y)，假設，那么動點c的軌跡方程為_三、解答題(共38分)9(12分)拋物線y24px (p>0)，o為頂點，a，b為拋物線上的兩動點，且滿足oaob，如果omab于點m，求點m的軌跡方程10(12分)(·寧夏，海南)橢圓c的中心為平面直角坐標系xoy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.(1)求橢圓c的方程；(2)假設p為橢圓c上的動點，m為過p且垂直于x軸的直線上的一點，求點m的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線11(14分)(·石家莊模擬)在平面直角坐標系xoy中，有一個以f1(0，)和f2(0，

11、)為焦點、離心率為的橢圓，設橢圓在第一象限的局部為曲線c，動點p在c上，c在點p處的切線與x軸，y軸的交點分別為a，b，且.求：(1)點m的軌跡方程；(2)|的最小值55曲線與方程自主梳理1(1)曲線上的點的坐標解(2)曲線上的點3.(1)曲線上任意一點m的坐標(2)m|p(m)(4)最簡形式(5)曲線上自我檢測5bc1：(x1)2y21，c2：y0或ymxmm(x1)當m0時，c2：y0，此時c1與c2顯然只有兩個交點；當m0時，要滿足題意，需圓(x1)2y21與直線ym(x1)有兩交點，當圓與直線相切時，m±，即直線處于兩切線之間時滿足題意，那么<m<0或0<m

12、<.綜上知<m<0或0<m<.課堂活動區(qū)例1解題導引在判斷含參數(shù)的方程所表示的曲線類型時，不能僅僅根據(jù)方程的外表草率地作出判斷；由于條件中，直線pa、pb的斜率存在，因此軌跡曲線應除去a、b兩點；一般地，方程1所表示的曲線有以下幾種情況：1°a>b>0，表示焦點在x軸上的橢圓；2°ab>0，表示圓；3°0<a<b，表示焦點在y軸上的橢圓；4°a>0>b，表示焦點在x軸上的雙曲線；5°a<0<b，表示焦點在y軸上的雙曲線；6°a，b<0，無軌跡解設

13、點p(x，y)，那么kap，kbp.由題意得·k，即kx2y2ka2.點p的軌跡方程為kx2y2ka2 (x±a)(*)(1)當k0時，(*)式即y0，點p的軌跡是直線ab(除去a、b兩點)(2)當k0時，(*)式即1，假設k>0，點p的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去a、b兩點)假設k<0，(*)式可化為1.1°當1<k<0時，點p的軌跡是焦點在x軸上的橢圓(除去a、b兩點)；2°當k1時，(*)式即x2y2a2，點p的軌跡是以原點為圓心，|a|為半徑的圓(除去a、b兩點)；3°當k<1時，點p的軌跡是焦點在y軸

14、上的橢圓(除去a、b兩點)變式遷移1y28x解析由題意：(4,0)，(x2，y)，(x2，y)，|·0，·(x2)·4y·00，移項兩邊平方，化簡得y28x.例2解題導引(1)由于動點m到兩定點o1、o2的距離的差為常數(shù)，故應考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標轉(zhuǎn)化；(2)求動點的軌跡或軌跡方程時需注意：“軌跡和“軌跡方程是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)解如下圖，以o1o2的中點o為原點，o1o2所在直線為x軸建立平面直角

15、坐標系由|o1o2|4，得o1(2,0)、o2(2,0)設動圓m的半徑為r，那么由動圓m與圓o1內(nèi)切，有|mo1|r1；由動圓m與圓o2外切，有|mo2|r2.|mo2|mo1|3<4.點m的軌跡是以o1、o2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支a，c2，b2c2a2.點m的軌跡方程為1 (x<0)變式遷移2dsin csin bsin a，由正弦定理得到|ab|ac|bc|a(定值)a點軌跡是以b，c為焦點的雙曲線右支，其中實半軸長為，焦距為|bc|a.虛半軸長為 a，由雙曲線標準方程得為1 (y0)的右支例3解題導引相關點法也叫坐標轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法其題目特征是

16、：點a的運動與點b的運動相關，且點b的運動有規(guī)律(有方程)，只需將a的坐標轉(zhuǎn)移到b的坐標中，整理即可得點a的軌跡方程解設動點p的坐標為(x，y)，點q的坐標為(x1，y1)，那么點n的坐標為(2xx1,2yy1)n在直線xy2上，2xx12yy12.又pq垂直于直線xy2，1，即xyy1x10.聯(lián)立解得又點q在雙曲線x2y21上，xy1.代入，得動點p的軌跡方程是2x22y22x2y10.變式遷移3解設a(x0,0)，b(0，y0)，p(x，y)，又(xx0，y)，(x，y0y)，所以xx0x，y(y0y)得x0x，y0(1)y.因為|ab|1，即xy(1)2，所以2(1)y2(1)2，化簡得

17、y21.點p的軌跡方程為y21.課后練習區(qū)1b如下圖，由題知|pf1|pf2|2a(設橢圓方程為1，其中a>b>0)連接mo，由三角形的中位線可得|f1m|mo|a (a>|f1o|)，那么m的軌跡為以f1、o為焦點的橢圓2ba、b是兩個定點，|cb|ca|2<|ab|，所以點c軌跡為雙曲線的一支3c設c(x，y)，a(a,0)，b(0，b)，那么a2b29，又2，所以(xa，y)2(x，by)，即代入式整理可得x21.4b設拋物線的焦點為f，因為a、b在拋物線上，所以由拋物線的定義知，a、b到f的距離af、bf分別等于a、b到準線l的距離am、bn(如下圖)，于是|a

18、f|bf|am|bn|.過o作orl，由于l是圓o的一條切線，所以四邊形amnb是直角梯形，or是中位線，故有|af|bf|am|bn|2|or|8>4|ab|.根據(jù)橢圓的定義知，焦點f的軌跡是一個橢圓5d因為|f1f2|2，|mf1|mf2|2，所以軌跡為一條射線64解析設p(x，y)，由題知有：(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y24，可知圓的面積為4.7(x10)2y236 (y0)解析方法一直接法設a(x，y)，y0，那么d，|cd| 3.化簡得(x10)2y236，a、b、c三點構(gòu)成三角形，a不能落在x軸上，即y0.方法二定義法如下圖，設a(

19、x，y)，d為ab的中點，過a作aecd交x軸于e，那么e(10,0)|cd|3，|ae|6，a到e的距離為常數(shù)6.a的軌跡為以e為圓心，6為半徑的圓，即(x10)2y236.又a、b、c不共線，故a點縱坐標y0.故a點軌跡方程為(x10)2y236 (y0)8y28x解析，.，·0，得2·x·0，得y28x.9解設m(x，y)，直線ab斜率存在時，設直線ab的方程為ykxb.由omab得k.設a、b兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，由y24px及ykxb消去y，得k2x2x(2kb4p)b20，所以x1x2.消去x，得ky24py4pb0，所以y1y2.(4分)由oaob，得y1y2x1x2，所以，b4kp.故ykxbk(x4p)(8分)用k代入，得x2y24px0 (x0