基于貝葉斯公式的無(wú)參考信號(hào)Lamb波時(shí)間反轉(zhuǎn)損傷識(shí)別方法

1、基于貝葉斯公式的無(wú)參考信號(hào)Lamb波時(shí)間反轉(zhuǎn)損傷識(shí)別方法 繆傲（武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 武漢 430072）摘 要 現(xiàn)有的主動(dòng)Lamb波損傷監(jiān)測(cè)大多采用基于參考信號(hào)的差信號(hào)方法獲取損傷散射信號(hào)，然后用確定性的方法進(jìn)行損傷定位，因此在適用性方面受到很大影響。本文引入Lamb波的時(shí)間反轉(zhuǎn)過(guò)程，提出了一種無(wú)參考主動(dòng)Lamb波損傷識(shí)別方法，且考慮損傷識(shí)別過(guò)程中的不確定性因素，通過(guò)貝葉斯公式，推導(dǎo)出損傷位置、波速等未知參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)概率分布后，利用蒙特卡洛馬爾科夫鏈（MCMC）方法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行采樣估計(jì)，所得到的馬爾可夫鏈的極限分布即為未知參數(shù)的后驗(yàn)分布。最后，通過(guò)在鋁板上的數(shù)值仿真結(jié)果表明，該方法

2、能夠較為準(zhǔn)確的識(shí)別出損傷的位置、大致范圍等特征。 關(guān) 鍵 詞 損傷監(jiān)測(cè)；時(shí)間反轉(zhuǎn)；無(wú)參考；貝葉斯；MCMC1 前言V1V2V12V11V21V21V22Lamb波作為一種超聲導(dǎo)波，在結(jié)構(gòu)中衰減慢，能夠傳播較遠(yuǎn)的距離，并且對(duì)結(jié)構(gòu)中的小損傷敏感，所以在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。由于損傷會(huì)引起結(jié)構(gòu)中傳播的Lamb波的散射，故損傷散射信號(hào)直接與損傷位置有關(guān)?，F(xiàn)有的主動(dòng)Lamb波損傷監(jiān)測(cè)方法大多基于參考信號(hào)，即以健康狀態(tài)響應(yīng)信號(hào)為基準(zhǔn)，通過(guò)差信號(hào)的方法獲取損傷散射信號(hào)，但真實(shí)結(jié)構(gòu)和外界環(huán)境的變化對(duì)其影響很大，因此在適用性方面受到了很大的影響，且傳統(tǒng)的基于損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間的損傷定位方法中，例

3、如，脈沖回波法、橢圓定位法、四點(diǎn)圓弧定位法等，把損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間、一定頻厚積下的波速都作為確定值，但實(shí)際的量測(cè)誤差和損傷定位中不確定性是不可避免的。例如，在損傷識(shí)別前，損傷的尺寸、程度是我們所不知道的，損傷對(duì)波速變化產(chǎn)生的影響也是不確定的，這將反過(guò)來(lái)影響通過(guò)理論計(jì)算所得到得損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間，再者，用做激勵(lì)和傳感的壓電片的尺寸也沒(méi)有考慮，這都給損傷的識(shí)別帶來(lái)誤差。除此之外，由于Lamb波的頻散特性，損傷散射信號(hào)波包在傳播過(guò)程中會(huì)發(fā)生畸變，從而也會(huì)對(duì)損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間產(chǎn)生影響。在這種情況下，概率的方法在損傷識(shí)別過(guò)程中能夠考慮各種不確定性因素，因此，比用確定性的方法更合適。針對(duì)上述的諸多問(wèn)

4、題，本文首先根據(jù)板結(jié)構(gòu)中主動(dòng)Lamb波時(shí)間反轉(zhuǎn)理論，分析了存在單損傷板結(jié)構(gòu)中Lamb波時(shí)間反轉(zhuǎn)聚焦過(guò)程，提出了Lamb波無(wú)基準(zhǔn)損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間的提取。然后從概率的角度，考慮損傷識(shí)別過(guò)程中模型本身和量測(cè)所存在的不確定性和誤差，把利用時(shí)間反轉(zhuǎn)所得到的傳感器列陣中損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間D作為損傷位置、波速等未知參數(shù)的樣本信息，再結(jié)合其先驗(yàn)信息，采用貝葉斯公式，得出未知參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)概率分布。最后通過(guò)MCMC方法，得到單個(gè)未知參數(shù)的后驗(yàn)分布。2基于貝葉斯方法的時(shí)間反轉(zhuǎn)損傷定位2.1單損傷板結(jié)構(gòu)中Lamb波的時(shí)反聚焦時(shí)間反轉(zhuǎn)法是法國(guó)科學(xué)家Fink最先由光學(xué)應(yīng)用引入到Lamb波領(lǐng)域中，并開(kāi)展了大量的理論

5、和實(shí)驗(yàn)研究工作。Lamb波的時(shí)反是指將感器所接收到的各個(gè)模式的信號(hào)在時(shí)間域上反轉(zhuǎn)后，在傳感器上加載，即所接收到的信號(hào)先到后發(fā)，后到先發(fā)，從而實(shí)現(xiàn)了各個(gè)模式信號(hào)在原始激勵(lì)處的自適應(yīng)聚焦。已有的對(duì)板結(jié)構(gòu)中傳播的Lamb波傳感信號(hào)時(shí)反特性研究表明：不管是在單模式還是雙模式（S0，A0模式）下，Lamb波的頻散都得到了補(bǔ)償，同一模式經(jīng)過(guò)前向和反向傳播后都在主波峰處下聚焦，而在向前、反向的傳播時(shí)，不同的群速度將會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的的時(shí)間延遲，在主波峰旁辨形成旁瓣。為了降低信號(hào)處理的復(fù)雜度，選擇合適中心頻率的窄帶信號(hào)，采用雙面激勵(lì)方式，以激發(fā)出單模式的Lamb波信號(hào)。如圖a所示，對(duì)于單模式的Lamb波信號(hào)，由A傳

6、播到B存在兩條路徑，PZTB所接收到的傳感信號(hào)為直達(dá)波信號(hào)和損傷散射信號(hào)。如圖b所示，將B處的傳感信號(hào)經(jīng)時(shí)域反轉(zhuǎn)后再次加載在PZTB上，在PZTA處得到的時(shí)反重構(gòu)信號(hào)可以表示為： 式（7）中，為B點(diǎn)接收到的直達(dá)波信號(hào)再次以直接波的方式到達(dá)A處，、的命名規(guī)則一樣。根據(jù)式（5）可得： 將式（8）帶入式（7）可得： 式（9）中基于壓電片的激勵(lì)模型，傳遞函數(shù)、可以簡(jiǎn)化為由幅值和速度的方程表為： 式中：為激勵(lì)信號(hào)直線傳播至傳感器的路徑，為激勵(lì)信號(hào)經(jīng)損傷散射后再傳播至傳感器的路徑，為幅值頻散方程，為散射系數(shù)，為模式的波數(shù)?？紤]到此確定的模型中，傳播距離和窄帶激勵(lì)信號(hào)的中心頻率為確定值，故式（11）中的幅值

7、項(xiàng)也為確定值，為方便描述，。將式（11）帶入式（9），并進(jìn)行傅立葉反變換，可得時(shí)域內(nèi)的重構(gòu)信號(hào)為： 為了獲得這個(gè)方程的近似解，通過(guò)泰勒級(jí)數(shù)在中心頻率處展開(kāi)得： 帶入角頻率、波數(shù)、相速度和群速度的關(guān)系、，上式變?yōu)?其中， 帶入公式（14）、（15），公式（12）可表示為由式（17）可以看出：經(jīng)過(guò)時(shí)間反轉(zhuǎn)處理后，重構(gòu)信號(hào)主要由三部分組成，第一部分為聚焦信號(hào)的主瓣，與初始激勵(lì)信號(hào)的時(shí)反信號(hào)形狀相同，實(shí)現(xiàn)了初始激勵(lì)信號(hào)的重構(gòu)，Lamb波傳播過(guò)程中的頻散得到了補(bǔ)償；第二、三部分與主瓣部分有的時(shí)間延遲，對(duì)稱的出現(xiàn)在主波峰旁辨形成旁瓣。同時(shí)，重構(gòu)信號(hào)主瓣與旁瓣波峰對(duì)應(yīng)的時(shí)間差正好為損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間于直達(dá)

8、波傳播時(shí)間的時(shí)間差。在主動(dòng)監(jiān)測(cè)的傳感器列陣中，直達(dá)波傳感路徑已知，故根據(jù)時(shí)反響應(yīng)信號(hào)主、旁瓣之間的時(shí)間差就可以確定損傷散射信號(hào)的傳播時(shí)間，因而可以實(shí)現(xiàn)無(wú)參考信號(hào)的損傷定位和識(shí)別。貝葉斯分析方法貝葉斯分析方法是基于假設(shè)的先驗(yàn)概率、以及把量測(cè)所得到的數(shù)據(jù)作為樣本信息而得出的。由于考慮了先驗(yàn)信息和樣本信息，故未知參數(shù)的不確定性減少。隨著工程結(jié)構(gòu)的不確定性等問(wèn)題中概率方法的發(fā)展，貝葉斯方法在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中起著越來(lái)越重要的作用。在損傷的評(píng)價(jià)、損傷預(yù)測(cè)、傳感器優(yōu)化布置、監(jiān)測(cè)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)等工程上都得到了廣泛的研究和應(yīng)用。與一般確定性的方法給出未知參數(shù)的精確解相比，貝葉斯方法的基本理念是把未知參數(shù)向量的分布看

9、成隨機(jī)變量聯(lián)合分布，然后對(duì)每個(gè)參數(shù)做出在區(qū)間范圍內(nèi)的估計(jì)。具體為：將時(shí)間反轉(zhuǎn)所得的Lamb波損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間D作為樣本信息，綜合未知參數(shù)的先驗(yàn)分布，再根據(jù)貝葉斯公式，得出后驗(yàn)信息，然后根據(jù)后驗(yàn)信息去推斷未知參數(shù)。對(duì)于薄板結(jié)構(gòu)，考慮具有條激勵(lì)傳感路徑的壓電片列陣，對(duì)于第（i=1,2）條傳感路徑的Lamb損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間可以示為lamb波從驅(qū)動(dòng)器傳播到損傷再到傳感器所經(jīng)歷的時(shí)間。如圖是一個(gè)簡(jiǎn)單的模型用來(lái)計(jì)算第條傳感路徑的Lamb損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間。在理論上，第i 條傳感路徑的Lamb損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間可以表達(dá)為： 式（18）中和分別是第條分別激勵(lì)傳感路徑中損傷、驅(qū)動(dòng)器、傳感器位置的中心

10、坐標(biāo)，是在一定的激勵(lì)頻率時(shí)lamb波損傷散射信號(hào)的傳播波速。在式（18）中，壓電片的尺寸、損傷的范圍都沒(méi)有考慮，材料屬性的不確定性也會(huì)使實(shí)際波速偏離理論值，故在公式1中沒(méi)有采用特定的頻厚積下所對(duì)應(yīng)的Lamb波波速，而是把波速也作為一個(gè)未知參數(shù)用來(lái)確定損傷的中心位置。因此在該損傷定位方法中，未知參數(shù)向量可以表示為。在下文中，為了方便，用來(lái)表示中的未知參數(shù)。在未知參數(shù)被確定后，損傷的定位則被轉(zhuǎn)化為從概率的角度來(lái)解決確定未知參數(shù)分布的問(wèn)題。假定建模誤差和量測(cè)的不確定性分別用變量和表示，那么第條激勵(lì)傳感路徑的損傷散射信號(hào)的傳播時(shí)間從概率的角度可以表示為：是在未知參數(shù)向量下，利用公式（18）所計(jì)算得到的

11、第條傳感路徑所對(duì)應(yīng)的損傷散射信號(hào)的傳播時(shí)間。為了簡(jiǎn)單和方便，通常將和假定為平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和的相互獨(dú)立的正態(tài)分布。由式（19）得： 變量服從正態(tài)分布，參數(shù)和的似然函數(shù)可以表示為： 式（21）中，方差，似然函數(shù)為在公式1和給定的未知參數(shù)向量下，對(duì)于所測(cè)得的損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間 D的概率分布。 為了方便，將公式3中的求和部分記為 由貝葉斯公式，根據(jù)所測(cè)得的TOF值，結(jié)合未知參數(shù)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)和使然函數(shù)，未知參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可以表示為 是 的聯(lián)合后驗(yàn)分布函數(shù)， 是的聯(lián)合先驗(yàn)分布函數(shù)。是一個(gè)常數(shù)，在后驗(yàn)分布中僅起到一個(gè)正則化因子的作用。對(duì)于每個(gè)參數(shù)的邊緣概率密度函數(shù) 表示參數(shù)向量中對(duì)

12、除外的其它參數(shù)和做一個(gè)多維積分根據(jù)所測(cè)得的損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間，公式7給出了每個(gè)變量的邊緣分布函數(shù)之后，根據(jù)后驗(yàn)分布函數(shù)，可以得到每個(gè)未知參數(shù)的后驗(yàn)分布，那么損傷的位置和波速度也就能夠確定。但是在實(shí)際應(yīng)用中，由于涉及到多個(gè)參數(shù)的高維積分，不便于用分析的方法計(jì)算，使得貝葉斯方法的應(yīng)用大為受阻。運(yùn)用MCMC方法，我們可以從復(fù)雜的多維積分分布中采樣，從而能夠?qū)ω惾~斯估計(jì)方法進(jìn)行很好的模擬采樣由于在貝葉斯方法中為一個(gè)常數(shù)，在計(jì)算后驗(yàn)分布中僅起到一個(gè)正則化因子的作用，如果將去掉，可將貝葉斯公式改寫(xiě)為可將貝葉斯公式改寫(xiě)為 其中符號(hào)表示左右兩邊相差一個(gè)常數(shù)因子式的右邊雖然不是正常的概率密度函數(shù)，但它確是后驗(yàn)

13、分布的主要部分，故只要式的右邊已知，就可以從后驗(yàn)分布中采樣，從而避免了計(jì)算的問(wèn)題。MCMC方法蒙特卡洛模擬中，在后驗(yàn)分布中取樣，當(dāng)這些樣本獨(dú)立時(shí)，利用大數(shù)定律樣本均值會(huì)收斂到期望值。但在貝葉斯分析領(lǐng)域中，后驗(yàn)分布是復(fù)雜的、高維分布，很難得到獨(dú)立的樣本。目前MCMC方法已經(jīng)成為一種處理復(fù)雜統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的特別流行的工具，尤其在經(jīng)常需要復(fù)雜的高維積分運(yùn)算的貝葉斯分析領(lǐng)域，通過(guò)合理的定義和實(shí)施，MCMC方法總能得到一條具有平穩(wěn)分布的馬爾科夫鏈，該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布就是我們所需要的后驗(yàn)分布。下面給出M-H算法1、構(gòu)造一個(gè)輔助的概率密度函數(shù)，通常被稱為“提議函數(shù)”；2、在第n次迭代時(shí)，根據(jù)從提議函數(shù)中產(chǎn)生一

14、個(gè)新?tīng)顟B(tài)；3、計(jì)算接受概率 概率置我們稱之為接受提議，以概率置，我們稱之為拒絕提議。重復(fù)上述過(guò)程，當(dāng)n足夠時(shí)，知道得到的馬爾可夫鏈?zhǔn)諗康揭粋€(gè)平穩(wěn)分布。在利用馬爾可夫鏈進(jìn)行抽樣時(shí)，在收斂之前的一段時(shí)間，各個(gè)狀態(tài)的邊際分布還不能認(rèn)為是穩(wěn)定分布的，所以在進(jìn)行估計(jì)之前，應(yīng)該把前面的這n-1次迭代值去掉，這個(gè)過(guò)程稱之為burn-in。提議函數(shù)可以是任意的分布形式，但是選擇合適的提議函數(shù)得到的馬爾可夫鏈能夠更好地收斂，通常，選取的提議函數(shù)滿足對(duì)稱型，即，這將使接受概率變得更簡(jiǎn)單些。本文采用基于高斯分布和均勻分布的MCMC算法從后驗(yàn)分布中對(duì)未知參數(shù)向量進(jìn)行采樣。與傳統(tǒng)的MH算法相比，本文所提供算法結(jié)合吉布斯

15、采樣的理念：如果在其它參數(shù)值已知時(shí)，那么某個(gè)參數(shù)的條件分布可以作為后驗(yàn)分布來(lái)使用。根據(jù)其它變量的當(dāng)前值，依次對(duì)分布的每個(gè)變量生成一個(gè)樣本序列。在此算法中，引入優(yōu)化參數(shù)L，調(diào)節(jié)調(diào)節(jié)接受概率，使得馬爾可夫鏈經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)牡螖?shù)后收斂。結(jié)合未知參數(shù)的先驗(yàn)分布、量測(cè)所得到得損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間，運(yùn)用MCMC算法，可以得到聯(lián)合概率分布中各個(gè)位置參數(shù)的后驗(yàn)分布概率。參數(shù)可以直接從伽馬分布中進(jìn)行采樣，對(duì)于參數(shù)的估計(jì)，具體算法如下：設(shè)定總的迭代次數(shù)NT，在收斂之前的一段時(shí)間，其分布不能認(rèn)為是穩(wěn)定分布，所以在估計(jì)時(shí)，應(yīng)該把前面NB的迭代值去掉。1、初始迭當(dāng)n=0時(shí)，； 從中采樣 2、n=1時(shí)， 從U(0,1)中產(chǎn)

16、生一個(gè)隨機(jī)數(shù)u，當(dāng)u<r時(shí)， ，調(diào)節(jié)參數(shù)，；否則 ，調(diào)節(jié)參數(shù)， 式中： k=1時(shí)，； k=2時(shí) ， k=3時(shí) ， ， 直接從分布中進(jìn)行采樣。重復(fù)步奏直到，當(dāng)n超過(guò)Nb時(shí)，調(diào)節(jié)參數(shù)不再變化。舍棄前Nb次的迭代值，剩下的采樣 值可以作為一條收斂的馬爾可夫鏈，可以代表位 置參數(shù)的后驗(yàn)分布。 數(shù)值仿真結(jié)果本文設(shè)計(jì)了相應(yīng)的驗(yàn)證系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值仿真方法對(duì)上述理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。仿真試件及壓電原件布置情況如圖所示：采用鋁板結(jié)構(gòu), 楊氏模量72Gpa,密度2700kg/m3，泊松比0.3,其尺寸為580mm* 580mm*2mm，在其相同位置的上下表面布置壓電片，構(gòu)成雙面激勵(lì)方式。以鋁板中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，選

17、用4對(duì)壓電片作為激勵(lì)/傳感器，其編號(hào)和坐標(biāo)分別為：1#（-90，-90）、2#（90，-90）、3#（90,90）、4#（-90,90）。3數(shù)值仿真結(jié)果1 2 1 1 1 200mm 1 180mm 1 200mm 1 O仿真結(jié)果1 580mm 1 580mm 1 4數(shù)值仿真結(jié)果1 In the plate view In the thickness view (a)平面視圖 (b)側(cè)視圖 鋁板與PZT布置方案的幾何模型 The geometric model of Aluminum plate and PZT layout scheme 應(yīng)用ANSYS12.0進(jìn)行建模，結(jié)構(gòu)中損傷是以（20,

18、10）為圓心，直徑為8mm的圓形通孔，采用刪除有限元單元的方法模擬。劃分網(wǎng)格時(shí)，單元形狀選六面體，基體單元類型采用三維8節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元solid45, 單元尺寸為1mm* 1mm*1mm，損傷周?chē)植考用埽瑝弘娫x用三維耦合場(chǎng)體單元solid5。為了保證壓電層與金屬面板重合部分傳遞力和位移的連續(xù)性,建模中采用黏結(jié)處理，模型的邊界全都設(shè)置為自由。在仿真實(shí)驗(yàn)中，激勵(lì)信號(hào)采用正弦調(diào)制窄帶信號(hào)，表達(dá)式為：式中為激勵(lì)信號(hào)的中心頻率，取為100kHz,為階梯函數(shù)，為調(diào)制信號(hào)的波峰數(shù)，取為5，激勵(lì)信號(hào)的時(shí)頻域特性如圖所示。激勵(lì)信號(hào) (a)時(shí)域波形（b）頻域圖Load signal(a)Time domain

19、 input signal （b） Frequency spectrum 實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，采用雙面同相激勵(lì)，垂直于板平面方向加載，此時(shí)產(chǎn)生的Lamb波以A0模式為主。逐個(gè)選取壓電原件為激勵(lì)源，其余的壓電元件作為傳感器，根據(jù)聲波互易性原理，有6個(gè)通道的信號(hào)是獨(dú)立的，表示為、 、(下標(biāo)數(shù)字表示激勵(lì)器和傳感器的編號(hào))，然后對(duì)采集到的各監(jiān)測(cè)通道結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)施加合適的窗函數(shù)進(jìn)行截取，消除邊界反射信號(hào)，僅保留直達(dá)波信號(hào)和損傷散射信號(hào)，并對(duì)截取后的信號(hào)進(jìn)行時(shí)間反轉(zhuǎn)并用作為二次激勵(lì)，得到結(jié)構(gòu)的時(shí)反聚焦信號(hào)。最后提取時(shí)各監(jiān)測(cè)通道時(shí)反重構(gòu)信號(hào)中的損傷損傷散射傳播時(shí)間用于損傷識(shí)別。取通道相應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分析Response signal of sensor波相應(yīng)信號(hào)波形截取并作時(shí)間反轉(zhuǎn)后的信號(hào)The signal after the interception and time reversal時(shí)反聚焦響應(yīng)信號(hào)Reconstructed Time reversedsingal 根據(jù)式所表述的時(shí)反聚焦信號(hào)中主、旁瓣信號(hào)對(duì)應(yīng)波峰的時(shí)間關(guān)系，提取各監(jiān)測(cè)通道下的損傷散射信號(hào)傳播時(shí)間，如表所示。對(duì)于監(jiān)測(cè)通道 、，由于損傷距離直達(dá)波路徑很近，信號(hào)散射角度大、傳播距離遠(yuǎn)，加上Lamb波的頻散效應(yīng)導(dǎo)致的波包延拓和幅值衰減，損傷散射