機械振動和電磁振蕩

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出（彈簧振子）什么是振動？什么是振動？振動振動: 任何物理量在某一定值附近隨時間周期性變化任何物理量在某一定值附近隨時間周期性變化力學量（如位移、速度）力學量（如位移、速度）電磁量（如電磁量（如I 、V、 E、 B）如何研究振動？如何研究振動？推廣上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出1 1掌握描述諧振動和簡諧波動的各掌握描述諧振動和簡諧波動的各物理量物理量（特別是（特別是位相和位相差）的物理意義及各量的相互

2、關系。位相和位相差）的物理意義及各量的相互關系。2 2掌握掌握旋轉矢量法旋轉矢量法，并能用以分析有關問題。，并能用以分析有關問題。3 3掌握諧振動的基本特征。能根據給定的初始條件掌握諧振動的基本特征。能根據給定的初始條件建立一維諧振動的建立一維諧振動的運動方程運動方程，并理解其物理意義。理，并理解其物理意義。理解諧振動的能量及其特點。解諧振動的能量及其特點。4 4理解兩個同方向、同頻率理解兩個同方向、同頻率諧振動的合成諧振動的合成規(guī)律，以規(guī)律，以及合振動振幅極大和極小的條件。及合振動振幅極大和極小的條件。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 簡諧振動：簡

3、諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位物體運動時，離開平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時間變化。規(guī)律隨時間變化。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出連接在一起的一個忽略了質量的彈簧和連接在一起的一個忽略了質量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統。一個不發(fā)生形變的物體系統。彈簧振子：彈簧振子：理想模型理想模型忽略物體運動時的一切阻力；忽略物體運動時的一切阻力；忽略彈簧的質量；忽略彈簧的質量；忽略物體的彈性忽略物體的彈性.xO上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出FFxOx

4、O受力情況：受力情況：oxxmmgNF“”表示力與位移的方向相反表示力與位移的方向相反.kxF 物體在任意位置物體在任意位置x 所受的力為所受的力為上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出動力學方程動力學方程022 xmkdtxd所所以以kxdtxdmmaF 222 mk令令由牛頓第二定律知由牛頓第二定律知0222 xdtxd 則則受力分析：受力分析：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出0costAx解此二階常系數線性微分方程可得解此二階常系數線性微分方程可得運動方程運動方程動力學方程動力學方程0222 xdtxd 振

5、幅振幅角頻率角頻率初相位初相位為積分常數為積分常數,Ax可代表任意物理量可代表任意物理量或或0i()etxA上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出用旋轉矢量圖畫簡諧運動的用旋轉矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出0costAx 此式表示出了作簡諧振動物體的位移隨此式表示出了作簡諧振動物體的位移隨時間變化的關系時間變化的關系. x-t 曲線稱之為振動曲線曲線稱之為振動曲線. 簡諧振動的運動學方程為簡諧振動的運動學方程為oAA tx02上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁

6、 返回返回 退出退出 tAdtdxvsin對振動速度求導得振動的加速度為對振動速度求導得振動的加速度為 tAdtxdacos222 從以上兩式可知，作簡諧振動物體的速從以上兩式可知，作簡諧振動物體的速度和加速度是時間的周期函數，而且加速度度和加速度是時間的周期函數，而且加速度和位移成正比但方向相反和位移成正比但方向相反.x2 對運動學方程求導得振動速度為對運動學方程求導得振動速度為 tAxcosoxxm上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 簡諧振動中質點位移、速度、加速度與時間的關系簡諧振動中質點位移、速度、加速度與時間的關系: :42tAdtdxvsi

7、ntAdtxdacos222 tAxcos初始相位為零時初始相位為零時xttat上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 1.1.振幅振幅: : 物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。 2 2 周期和頻率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全振動所經歷的時間。物體作一次完全振動所經歷的時間。頻率：頻率：單位時間內物體所作完全振動的次數。單位時間內物體所作完全振動的次數。00cos()cos ()xAtATt2T12T(簡諧振動的三要素簡諧振動的三要素)0cos()xAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁

8、 返回返回 退出退出角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內所作的完全振動的次數。秒內所作的完全振動的次數。2利用上述關系式，得諧振動表達式：利用上述關系式，得諧振動表達式：22T對于彈簧振子，因有對于彈簧振子，因有mk，得，得2,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時的相位。時的相位。0怎樣用初始條件求振幅和初相位？怎樣用初始條件求振幅和初相位？ 假設作簡諧振動的物體在初始時刻的速

9、假設作簡諧振動的物體在初始時刻的速度和位移分別為度和位移分別為 和和0v0 x sincos00AvAx有有則則0 t解之可得解之可得 tAdtdxvsin tAxcos上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出22020 vxA 00 xvtg 存在兩個值，可根據存在兩個值，可根據0在在到到之間，之間，通常通常00sinvA進行取舍。進行取舍。 相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調上的差異。步調上的差異。 設有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為設有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為)cos(1011tAx)cos(20

10、22tAx相位究竟是什么東西？相位究竟是什么東西？上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出A/2xto二者的二者的相位差相位差為為20102010()()tt2010t 2010t 20cosA10cosA上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出xto b. b.當當 時時, ,稱兩個振動為稱兩個振動為反相反相；(21)kxto a. a.當當 時時, ,稱兩個振動為稱兩個振動為同相同相；2 k討論：討論：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 d. d.當當 時時, ,稱第二個振稱第

11、二個振動動落后落后第一個振第一個振動動 。0 xtoxto c. c.當當 時時, ,稱第二個振動稱第二個振動超前超前第一個振動第一個振動 ；0上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 相位可以用來比較不同物理量變化的步調。相位可以用來比較不同物理量變化的步調。對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat

12、 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 tAxcos簡諧振動的表達式簡諧振動的表達式振幅振幅A：給出了簡諧振動的振動范圍給出了簡諧振動的振動范圍角頻率角頻率 ：決定于振動系統的固有屬性；決定于振動系統的固有屬性；初相位初相位 ：決定于初始時刻的狀態(tài)。決定于初始時刻的狀態(tài)。彈簧振子mk sincos00AvAx時刻0t22020 vxA 00 xvtg 解解析析法法上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題分析例題分析 1.一個質量為一個質量為m 的物體系于一倔強系數為的物體系于一倔強系數為 k 的輕彈簧的輕彈簧下，掛

13、在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長下，掛在固定的支架上，由于物體的重量使彈簧伸長了了l =9.8 10-2m. 如圖所示，如果給物體一個向下的瞬如圖所示，如果給物體一個向下的瞬時沖擊力，使它具有向下的速度時沖擊力，使它具有向下的速度v =1m s-1，它就上下它就上下振動起來，試寫出振動方程振動起來，試寫出振動方程. .解解: : 物體處于平衡時的位置為坐標原點物體處于平衡時的位置為坐標原點o，向下為向下為y 軸的正向，如圖所示當物體偏離軸的正向，如圖所示當物體偏離平衡位置時它所受的合力為平衡位置時它所受的合力為- -ky ，因此動因此動力學方程為力學方程為oyykmkydtydmmaF

14、 22mgklmgF平衡時受力分析平衡時受力分析上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出kydtydm 22則上式變?yōu)閯t上式變?yōu)閙k 2 令令0222 ydtyd 物體在作簡諧振動，只要求出三要素，物體在作簡諧振動，只要求出三要素，即可寫出振動方程即可寫出振動方程.oyykmmk lg 1s10098. 08 . 9 mgklF上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 以物體處于平衡位置且向下運動時為計以物體處于平衡位置且向下運動時為計時起點，則時起點，則y0=0 ，v0= 1m s-1， 于是有于是有 1sin0cos0

15、0 AvAy23,2 23 結結合合此此式式該物體的振動方程為該物體的振動方程為m2310cos1 . 0 ty22020 vyA m1 . 01012 00 xvtg 23,2 230式知從22020 vyA m1 . 01012 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出求解振動三要素中的初相位：求解振動三要素中的初相位：（一）解析法（一）解析法（二）圖像法（二）圖像法由振動曲線決定初相由振動曲線決定初相Ax00arccos為四象限角為四象限角 0sin0000000sincosAvAxt0 xx0t0A0v上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁

16、下頁下頁 返回返回 退出退出 28、一水平彈簧簡諧振子的振動曲線如圖、一水平彈簧簡諧振子的振動曲線如圖所示當振子處在位移為零、速度為所示當振子處在位移為零、速度為-A、加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)時，應對應加速度為零和彈性力為零的狀態(tài)時，應對應于曲線上的于曲線上的_點當振子處在位移的點當振子處在位移的絕對值為絕對值為A、速度為零、加速度為、速度為零、加速度為-2A和彈和彈性力為性力為-kA的狀態(tài)時，應對應于曲線上的的狀態(tài)時，應對應于曲線上的 x t O A -A a b c d e f _點點a,eb,foxxm上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 30

17、 30、一簡諧振動用余弦函數表示，其振動、一簡諧振動用余弦函數表示，其振動曲線如圖所示，則此簡諧振動的三個特征量曲線如圖所示，則此簡諧振動的三個特征量為為 A =_； =_； =_ x (cm)t (s)105-101471013O10 cm( /6) rad/s /3上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出6 6 、 已 知 一 質 點 沿 軸 作 簡 諧 振 動 其 振 動 方 程、 已 知 一 質 點 沿 軸 作 簡 諧 振 動 其 振 動 方 程為為 與之對應的振動曲線是與之對應的振動曲線是)4/3cos(tAy(D)AAoyt oyt(C)AAAo

18、yt Aoyt (A)(B)上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出求解振動三要素中的初相位：求解振動三要素中的初相位：（一）解析法（一）解析法（二）圖像法（二）圖像法（三）旋轉矢量法（三）旋轉矢量法上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 旋轉矢量旋轉矢量: :一長度等于振幅一長度等于振幅A的矢量的矢量 在紙平面在紙平面A 可直觀地領會簡諧振可直觀地領會簡諧振動表達式中各個物理量的動表達式中各個物理量的意義。意義。 內繞內繞O點沿逆時針方向旋轉，其角速度與諧振動的點沿逆時針方向旋轉，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量

19、稱為旋轉矢量。角頻率相等，這個矢量稱為旋轉矢量。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出A xox t 0 x在任意刻在任意刻t，矢量，矢量 端點在端點在x軸上的投影為軸上的投影為 A tAxcos沿沿ox 軸作簡諧振動的物體在軸作簡諧振動的物體在t 時刻相對于原點的位移時刻相對于原點的位移.所以所以簡諧振動可以用簡諧振動可以用旋轉矢量表示旋轉矢量表示. .旋轉矢量旋轉矢量 的模的模A簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅旋轉矢量旋轉矢量 轉動角速度轉動角速度A簡諧振動角頻率簡諧振動角頻率上頁

20、上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出旋轉矢量法優(yōu)點：旋轉矢量法優(yōu)點：直觀地表達諧振動的各特征量直觀地表達諧振動的各特征量便于解題便于解題, 特別是確定初相位特別是確定初相位便于振動合成便于振動合成由由x、v 的符號確定的符號確定 所在所在的象限：的象限：A上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出)cm(x24o解：解：作作t = 0時刻的旋轉矢量時刻的旋轉矢量0A求：求：質點運動到質點運動到 x = -12 cm處所需最短時間。處所需最短時間。已知：已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0時時, 00vcm,

21、120 x作作x = -12cm處的旋轉矢量處的旋轉矢量A12-120AAs5 . 061minTt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出利用旋轉矢量法作利用旋轉矢量法作 x-t 圖圖:xx(cm)t(s)t=0OOTA12Tt6Tt2Tt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出AXM 點點: :MAvmAam20taxa 沿沿X 軸的投軸的投影為簡諧運動的速度、影為簡諧運動的速度、加速度表達式加速度表達式。a,xv)2cos(tvm)cos(taama上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回

22、退出退出兩個同頻率的簡諧運動：兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為相位之差為采用旋轉矢量直觀表示為采用旋轉矢量直觀表示為)cos(111tAx)cos(222tAx.)()(1212ttxO1A1Df22A上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-110-1 一物體沿一物體沿x軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。當。當t=0時時, ,物體的位移物體的位移x=0.06 m, ,且向且向x軸正軸正向運動。求向運動。求:(1):(1)簡諧振動表達式簡諧振動表達式;(2);(2)t =T/4時物體的時物體的位置、速度

23、和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物體從物體從x =- -0.06 m向向x軸負方軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解解: : (1)(1)取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點, ,諧振動方程寫為諧振動方程寫為初始條件初始條件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出0 12cos(t 3) mx.-=據初始條件據初始條件 xO0f若用旋轉矢量法求解

24、若用旋轉矢量法求解0，根據初始條件可畫出振幅的初始位置，如下圖所示。振幅的初始位置，如下圖所示。A00sin0vA 得0 3 從而可得從而可得0 3 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出(2) (2) 由由(1)(1)求得的簡諧振動表達式得求得的簡諧振動表達式得在在t=T/4=0.5 s時，從前面所列的表達式可得時，從前面所列的表達式可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos

25、( 0.5)m s1.03m s3a(2)t =T/4時物體的位置、速度和加速度時物體的位置、速度和加速度 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出( (3) 3) 當當x=- -0.06 m時，該時刻設為時，該時刻設為t1 1, ,得得因該時刻速度為負，應舍去因該時刻速度為負，應舍去 ，43s11t設物體在設物體在t2 2時刻第一次回到平衡位置，相位是時刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 1233t (3)物體從物體從x =-0.06 m向向x軸負方向運動，第一次回到平衡位置所軸負方向運動，第一次回到平衡

26、位置所需時間需時間上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出因此從因此從x=- -0.06 m處第一次回到平衡位置的時間：處第一次回到平衡位置的時間：另解：從另解：從t1 1時刻到時刻到t2 2時刻所對應的相差為時刻所對應的相差為210.83sttt 3252360.83st 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例例. .已知已知 x xt t 曲線曲線, ,寫出振動方程寫出振動方程cmA2 解解 ? t 34134 1cmtx)3234cos(2 32 2A 0 t t 32 x34 34 s1上頁上頁 下頁下頁 返回

27、返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出作業(yè)：作業(yè)：P46101，102， 103上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出1. 1. 單擺單擺一根不會伸長的細線，上端固定，下端懸掛一個一根不會伸長的細線，上端固定，下端懸掛一個很小重物，重物略加移動就可以在豎直平面內來回擺動。很小重物，重物略加移動就可以在豎直平面內來回擺動。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出單擺受力分析如右圖所示，單擺受力分析如右圖所示，sinmgFCol根據牛頓第二運動定律可得根據牛頓第二運動定律可得5oq很小時（小于很小時（小于），可

28、取），可取22dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出單擺在擺角很小時，在平衡位置附近作單擺在擺角很小時，在平衡位置附近作角諧振動角諧振動，周期，周期的表達式可寫為的表達式可寫為q轉角轉角22gTlm0cos(t)=+qqf由初始條件求得。由初始條件求得。角振幅角振幅和初相和初相0m上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 根據上述周期的級數公式，可以將周期計算到根據上述周期的級數公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。所要求的任何精度。當當q不是很小，物體不再作諧振動，

29、而不是很小，物體不再作諧振動，而T單擺周期單擺周期的關系為的關系為m與角振幅與角振幅0T很小時單擺的周期。很小時單擺的周期。m為為224mm022211 31sinsin222 42TT上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出o2. 2. 復擺復擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺( (物理擺物理擺) )。 剛體的質心為剛體的質心為C, , 對過對過O 點的轉點的轉軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為J, , O、C 兩點間距兩點間距離的距離為離的距離為h。據轉動定律，得據轉動定律，得gmhC角度較小時角度較小時若若sindd22mgh

30、tJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222t22JTmgh上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-210-2 一質量為一質量為m的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。向的振動周期。解：解： 船靜止時浮力與重力平衡，船靜止時浮力與重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置時，以水面為坐標原點船在任一位置時，以水面為坐標原點, ,豎豎直向下的坐標軸為直向下的坐標軸為y軸，船的位移用軸，船的位移用y表示。表示。上頁上頁

31、 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出船的位移為船的位移為y時船所受合力為時船所受合力為船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為因因得得,mSh()FhySgmgy Sg Sgm22mTgS2hTg上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出動能動能勢能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統的能量。以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統的能量。系統總的系統總的機械能：機械能：2222011sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin (

32、)cos ()22KPEEEmAtkAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出簡諧振動的機械能守恒。簡諧振動的機械能守恒。能量能量平均值平均值上述結果對任一諧振系統均成立。上述結果對任一諧振系統均成立?？紤]到考慮到，系統總能量為，系統總能量為2km212EkA，表明，表明222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線:pEk

33、EEOtOtx221kAE tAxcos上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出步驟：步驟：一階微分方程，再根據初始條件，即可求出振動一階微分方程，再根據初始條件，即可求出振動從給定系統的能量關系式出發(fā)，得到振動的從給定系統的能量關系式出發(fā)，得到振動的方程。方程。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-3 在橫截面為在橫截面為S的的U形管中有適量液體，形管中有適量液體，液體總長度為液體總長度為l，質量為，質量為，密度為，密度為，求液面上下，求液面上下m起伏的振動頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）起伏的振動頻率（忽

34、略液體與管壁間的摩擦）。解：解：選如圖所示坐標系，兩液面相齊時的平衡位置選如圖所示坐標系，兩液面相齊時的平衡位置為勢能零點為勢能零點。系統的勢能為系統的勢能為2pEy Sg液體的動能為液體的動能為2k1d2dyEmt由能量守恒得由能量守恒得221d2d常量yEmy Sgt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出對時間求導，并整理可得對時間求導，并整理可得22d20dySgytm液體作簡諧振動，其角頻率及周期分別為液體作簡諧振動，其角頻率及周期分別為2 Sgm222mTSg又因為又因為mlS22lTg上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 解：解：設棒長為設棒長為2 2R, , 質量為質量為m，在，在lABOO且不