2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、3.4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、復(fù)習(xí)與引入：一、復(fù)習(xí)與引入：1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.2.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.3.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.4.例如求函數(shù)例如求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),那么我們可以把平方式那么我們可以把平方式 展開展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo).然后能否用其它然后能否用其它 的辦法求導(dǎo)呢的辦法求導(dǎo)呢?又如我們知道函數(shù)又如我們知道函數(shù)y=1/x2的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是 =-2/x3,那么函那么函數(shù)數(shù) y=1/(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)又是什么呢的導(dǎo)數(shù)又是什么呢?y 為了解決上面的問題

2、為了解決上面的問題,我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算我們需要學(xué)習(xí)新的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則法則,這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)這就是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、新課二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)的概念:對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f (x),令令u= (x),若若y=f(u)是中間變量是中間變量u的函數(shù)的函數(shù), u= (x)是自變量是自變量x的函數(shù)的函數(shù),則稱則稱y=f (x)是自變量是自變量x的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù). 2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,函數(shù)函數(shù)y=f(u)在在點(diǎn)點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)處有導(dǎo)數(shù) ,則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)

3、處也有導(dǎo)數(shù),且且 或記或記)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;uyyxux ).()()(xufxfx 如如:求函數(shù)求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù),我們就可以有我們就可以有,令令y=u2,u=3x-2,那么那么 從而從而 .結(jié)果與結(jié)果與我們利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果完全一致我們利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求得的結(jié)果完全一致., 3,2 xuuuy1218 xuyyxux 在書寫時(shí)不要把在書寫時(shí)不要把 寫成寫成 ,兩者是不完兩者是不完全一樣的全一樣的,前者表示對(duì)自變量前者表示對(duì)自變量x的求導(dǎo)的求導(dǎo),而后者是對(duì)中間而后者是對(duì)中間變量變量 的求導(dǎo)的求導(dǎo).)()(xfxfx )(x

4、 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則: 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量. 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系系,合理選定中間變量合理選定中間變量,明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變明確求導(dǎo)過程中每次是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),一般地一般地,如果所設(shè)中間變量可直接如果所設(shè)中間變量可直接求導(dǎo)求導(dǎo),就不必再選其他中間變量就不必再選其他中間變量. 復(fù)合

5、函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要有復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則要有機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用機(jī)的結(jié)合和綜合的運(yùn)用.要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)要通過求一些初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù),逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則逐步掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.三、例題選講：三、例題選講：例例1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):5) 12() 1 ( xy解解:設(shè)設(shè)y=u5,u=2x+1,那么那么:xuxuyy 21254)( x41210)(xxuxu)()(125254 u解解:設(shè)設(shè)y=u-4,u=1-3x,那么那么:xuxuyy4)31 (1) 2(xy )( 345u53112)(xxuxu)()(31442)si

6、n1()3(xy 解解:設(shè)設(shè)y=u4,u=1+v2,v=sinx,那么那么:xvuxvuyy 說明說明:在對(duì)法則的運(yùn)用熟練后在對(duì)法則的運(yùn)用熟練后,就不必再寫中間步驟就不必再寫中間步驟.xvuxvu)(sin)()(241xvucos243xxxcossin)sin(21432xx21432sin)sin( 例例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解解:)()(xxxxxxy12124333(2)51 xxy解解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)( )(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx(3)y=tan3x;解解:)(t

7、an)(tanxxy23)cossin(tanxxx23xxxxxxx223cos)sin(sincoscos)cossin( xxx2213cos)cossin( xx423secsin (4)221) 32 (xxy xxxxxy212132142122212)()()(22132xxy)(解解:2122132)(xx22213214xxxxx)(.2316xxx例例3:如果圓的半徑以如果圓的半徑以2cm/s的等速度增加的等速度增加,求圓半徑求圓半徑R= 10cm時(shí)時(shí),圓面積增加的速度圓面積增加的速度.解解:由已知知由已知知:圓半徑圓半徑R=R(t),且且 = 2cm/s.tR 又圓面積又

8、圓面積S=R2,所以所以=40(cm)2/s.210221010 RtRtRRS|故圓面積增加的速度為故圓面積增加的速度為40(cm)2/s.例例4:在曲線在曲線 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn),使通過該點(diǎn)的切線平行使通過該點(diǎn)的切線平行于于 x軸軸,并求此切線的方程并求此切線的方程.211xy 解解:設(shè)所求點(diǎn)為設(shè)所求點(diǎn)為P(x0,y0).則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知?jiǎng)t由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:切線斜率切線斜率.,)(|)()(00121102200200 xxxxxfkxx把把x0=0代入曲線方程得代入曲線方程得:y0=1.所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0,1),切線方程為切線方程為y-1=0.例例5:設(shè)設(shè)f(x)可導(dǎo)

9、可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy );1(1122)1() 2(2222xfxxxxxfy ).(cos)(sin2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin)(cos(cos)(sin(sin )(cos)(sin) 3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy 說明說明:對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo)對(duì)于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的

10、求導(dǎo)法則另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則. 我們?cè)?jīng)利用導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個(gè)結(jié)論我們?cè)?jīng)利用導(dǎo)數(shù)的定義證明過這樣的一個(gè)結(jié)論:“可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)重新加以證明:證證:當(dāng)當(dāng)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時(shí)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時(shí),則則f(-x)=f(x).兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得: ,故故 為為 奇函數(shù)奇函數(shù).)()()()(xfxfxfxxf )(xf 同理可證另一個(gè)命題同理可證另一個(gè)命題. 我們還可以證明類似的一個(gè)結(jié)論我們還可以證明類

11、似的一個(gè)結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).證證:設(shè)設(shè)f(x)為可導(dǎo)的周期函數(shù)為可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個(gè)周期為其一個(gè)周期,則對(duì)定義則對(duì)定義 域內(nèi)的每一個(gè)域內(nèi)的每一個(gè)x,都有都有f(x+T)=f(x). 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得求導(dǎo)得: 即即 也是以也是以T為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).),()(xfTxTxf ).x (f)Tx (f) x (f例例6:求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 11311)(2xxxxxf說明說明:這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題這是分段函數(shù)的求導(dǎo)問題,先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá)先根據(jù)各段的函數(shù)表達(dá) 式式,求出在各可導(dǎo)求出在各可導(dǎo)(開開)

12、區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)區(qū)間的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后再用然后再用 定義來討論分段點(diǎn)的可導(dǎo)性定義來討論分段點(diǎn)的可導(dǎo)性.解解:當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí), . 1312)(xxxxf又又 ,故故f(x)在在x=1處連續(xù)處連續(xù).2) 1 ()(lim)(lim11 fxfxfxx而而; 2) 1(lim121lim1) 1 ()(lim1211 xxxxfxfxxx;33lim12)1(3lim1)1()(lim111 xxxxxxfxf,11)(lim1) 1 ()(lim11 xxfxfxfxx從而從而f(x)在在x=1處不可導(dǎo)處不可導(dǎo).1312)( xxxxf四、小結(jié)：四、小結(jié)： 利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求導(dǎo)數(shù)時(shí),選擇中間變選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵.必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的,分清其