材料力學(xué)簡單的超靜定問題

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案1第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題6- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法6- -2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題6- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題6- -4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案26- -1 超靜定問題及其解法超靜定問題及其解法. 關(guān)于超靜定問題的概述第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案3 圖a所示靜定桿系為減小桿1 ,2中的內(nèi)力或節(jié)點A的位移(如圖b)而增加了桿3。此時有三個未知內(nèi)力FN1 ,FN2

2、,FN3，但只有二個獨立的平衡方程 一次超靜定問題。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案4 圖a所示簡支梁為減小內(nèi)力和位移而如圖b增加了中間支座C成為連續(xù)梁。此時有四個未知約束力FAx, FA, FB, FC，但只有三個獨立的靜力平衡方程 一次超靜定問題。 超靜定問題(statically indeterminate problem)：單憑靜力平衡方程不能求解約束力或構(gòu)件內(nèi)力的問題。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電

3、電 子子 教教 案案5. 解超靜定問題的基本思路例例1超靜定結(jié)構(gòu)(statically indeterminate structure)解除“多余”約束基本靜定系(primary statically determinate system)(例如桿3與接點A的連接)第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案6在基本靜定系上加上原有荷載及“多余”未知力并使“多余”約束處滿足變形(位移)相容條件相當(dāng)系統(tǒng) (equivalent system)12BCAF AFN3AA FN3ADA 第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)

4、學(xué) 電電 子子 教教 案案7331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容條件 ，利用物理關(guān)系(位移或變形計算公式)可得補(bǔ)充方程：AA 第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題12BCAF AFN3AA FN3ADA 材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案8基本靜定系A(chǔ)Bl補(bǔ)充方程為048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題位移相容條件Cq+CFC=0 相相當(dāng)系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)ABl/2qlFC例例2超靜定梁yxl/2l/2CABq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教

5、案案9. 注意事項 (1) 超靜定次數(shù)=“多余”約束數(shù)=“多余”未知力=位移相容條件數(shù)=補(bǔ)充方程數(shù)，因而任何超靜定問題都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移等均可利用相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計算。 (3) 無論怎樣選擇“多余”約束，只要相當(dāng)系統(tǒng)的受力情況和約束條件確實與原超靜定系統(tǒng)相同，則所得最終結(jié)果是一樣的。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案10 (4) “多余”約束的選擇雖然是任意的，但應(yīng)以計算方便為原則。 如上所示連續(xù)梁若取B處鉸支座為“多余”約束，則求解比較復(fù)雜。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題

6、xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案116 6- -2 2 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題. 拉壓超靜定基本問題 例題例題6- -1 求圖a所示等直桿AB上,下端的約束力，并求C截面的位移。桿的拉壓剛度為EA。 解解: 1. 有兩個未知約束力FA , FB(見圖a)，但只有一個獨立的平衡方程 FA+FB-F=0故為一次超靜定問題。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案12 2. 取固定端B為“多余”約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖b，它應(yīng)滿足相容條件BF+BB=0，參見圖c，d。第六章第六章

7、 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 3. 補(bǔ)充方程為 0EAlFEAFaBlFaFB由此求得所得FB為正值，表示FB的指向與假設(shè)的指向相符，即向上。材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案13得 FA=F-Fa/l=Fb/l。5. 利用相當(dāng)系統(tǒng)(如圖)求得 lEAFabEAalFbEAaFAC 4. 由平衡方程 FA+FB-F=0第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案14 例題例題 求圖a所示結(jié)構(gòu)中桿1, 2, 3的內(nèi)力FN1 , FN2 , FN3。桿AB為剛性桿，桿1, 2 , 3的拉壓剛度均為EA。第六章第六章 簡單的超靜定問題

8、簡單的超靜定問題aaaACDB132EFF(a)a材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案15 解：解：1. 共有五個未知力，如圖b所示，但只有三個獨立的靜力平衡方程，故為二次超靜定問題。 2. 取桿1與結(jié)點C處的連接以及桿2與結(jié)點D處的連接為多余約束，得基本靜定系如圖c。CD3(c)第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題FFAyFAxFN1FN3FN2(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案16 3. 相當(dāng)系統(tǒng)應(yīng)滿足的變形相容條件如圖d所示為121322llll，F(xiàn)N2Dl2FFCAl1l3l2FBFN2DFN13(d)第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題

9、FN1Cl1E 4. 根據(jù)相容條件，利用物理方程得補(bǔ)充方程：EAaFEAaFEAaFEAaFN12N1NN32 212，即 FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案17 5. 將上述二個補(bǔ)充方程與由平衡條件MA=0所得平衡方程0)3()2(212N3N1NaFaFaFaF聯(lián)立求解得2101212421012622101233N2N3N1NN3FFFFFFFF，第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題FN1=2FN3, FN2=2FN1=4FN3FFAyFAxFN1FN3FN2(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案18. 裝

10、配應(yīng)力和溫度應(yīng)力(1) 裝配應(yīng)力 超靜定桿系(結(jié)構(gòu))由于存在“多余”約束，因此如果各桿件在制造時長度不相匹配，則組裝后各桿中將產(chǎn)生附加內(nèi)力裝配內(nèi)力，以及相應(yīng)的裝配應(yīng)力。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案19 圖a中所示桿系(E1A1=E2A2)中桿3的長度較應(yīng)有長度短了e，裝配后各桿的位置將如圖中虛線所示。此時，桿3在結(jié)點 A 處受到裝配力FN3作用(圖b)，而桿1,2在匯交點A 處共同承受與桿3相同的裝配力FN3作用(圖b)。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案20求

11、算FN3需利用位移(變形)相容條件(圖a)列出補(bǔ)充方程由此可得裝配力FN3，亦即桿3中的裝配內(nèi)力為eAAAA eAElFAElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(拉力）(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案21 至于各桿橫截面上的裝配應(yīng)力只需將裝配內(nèi)力(軸力)除以桿的橫截面面積即得。 由此可見，計算超靜定桿系(結(jié)構(gòu))中的裝配力和裝配應(yīng)力的關(guān)鍵,仍在于根據(jù)位移(變形)相容條件并利用物理關(guān)系列出補(bǔ)充方程。而桿1和桿2中的裝配內(nèi)力利用圖b中右側(cè)的圖可知為壓力21113333N2N1Ncos2cos2c

12、os2AElAEleFFF第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案22 例題例題6- -3 兩端用剛性塊連接在一起的兩根相同的鋼桿1, 2(圖a)，其長度l =200 mm，直徑d =10 mm。試求將長度為200.11 mm，亦即e=0.11 mm的銅桿3(圖b)裝配在與桿1和桿2對稱的位置后(圖c)各桿橫截面上的應(yīng)力。已知：銅桿3的橫截面為20 mm30 mm的矩形，鋼的彈性模量E=210 GPa，銅的彈性模量E3=100 GPa。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案23 解解：1.

13、 如圖d所示有三個未知的裝配內(nèi)力FN1, FN2 , FN3，但對于平行力系卻只有二個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。也許有人認(rèn)為，根據(jù)對稱關(guān)系可判明FN1=FN2，故未知內(nèi)力只有二個，但要注意此時就只能利用一個獨立的靜力平衡方程：所以這仍然是一次超靜定問題。02 01NN3FFFx，第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(d)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案242. 變形相容條件(圖c)為這里的l3是指桿3在裝配后的縮短值，不帶負(fù)號。ell313. 利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：eAElFEAlF33N3N1第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力

14、學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案254. 將補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立求解得： 所得結(jié)果為正，說明原先假定桿1,2的裝配內(nèi)力為拉力和桿3的裝配內(nèi)力為壓力是正確的。5. 各桿橫截面上的裝配應(yīng)力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAF第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題（拉應(yīng)力）（壓應(yīng)力）材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案26(2) 溫度應(yīng)力 也是由于超靜定桿系存在“多余”約束，桿件會因溫度變化產(chǎn)生的變形受到限制而產(chǎn)生溫度內(nèi)力及溫度應(yīng)力。鐵路上無縫線路的長鋼軌在溫度變化時由于不能自由伸

15、縮，其橫截面上會產(chǎn)生相當(dāng)可觀的溫度應(yīng)力。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案27 例題例題6- -4 試求兩端與剛性支承連接的等截面桿(圖a)當(dāng)溫度升高t 時橫截面上的溫度應(yīng)力。桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為l。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案28 解解: : 1. 由平衡方程只能知道桿兩端的軸向支約束力數(shù)值相等而指向相反，但不能給出約束力的值，可見這是一次超靜定問題。 2. 以剛性支撐B為“多余”約束后的基本靜定系由于溫度升高產(chǎn)生的伸長變形lt和“多

16、余”未知力FN產(chǎn)生的縮短變形lF分別如圖所示。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案293. 變形相容條件為4. 補(bǔ)充方程為5. 由此得多余未知力0Ftll0NEAlFltltEAFlN6. 桿的橫截面上的溫度應(yīng)力為tEAFlN材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案30 若該桿為鋼桿而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，則當(dāng)溫度升高t =40時有MPa100 Pa10100C40GPa10210C/102 . 1695tEl第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題（壓應(yīng)力）tEAFlN材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電

17、子子 教教 案案316- -3 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題 例題例題6- -5 兩端固定的圓截面等直桿AB，在截面C處受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。已知桿的扭轉(zhuǎn)剛度為GIp。試求桿兩端的約束力偶矩以及C截面的扭轉(zhuǎn)角。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案32 解解: : 1. 有二個未知約束力偶矩MA, MB，但只有一個獨立的靜力平衡方程故為一次超靜定問題。0 0eBAxMMMM，第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)MAMB材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案33 2. 以固定端B為“多余”約束，約束力偶矩

18、MB為“多余”未知力。在解除“多余”約束后基本靜定系上加上荷載Me和“多余”未知力偶矩MB，如圖b；它應(yīng)滿足的位移相容條件為注：這里指的是兩個扭轉(zhuǎn)角的絕對值相等。BBMBMe第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案34另一約束力偶矩MA可由平衡方程求得為3. 根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程：由此求得“多余”未知力，亦即約束力偶矩MB為ppeGIlMGIaMB第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案354. 桿的AC段橫截面上的扭矩為lb

19、MMTAACe第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題從而有 peplGIabMGIaTACC(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案36 例題例題6- -6 由半徑為a的銅桿和外半徑為b的鋼管經(jīng)緊配合而成的組合桿，受扭轉(zhuǎn)力偶矩Me作用，如圖a。試求銅桿和鋼管橫截面上的扭矩Ta和Tb，并繪出它們橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題(a)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案37 解解: : 1. 銅桿和鋼管的橫截面上各有一個未知內(nèi)力矩 扭矩Ta和Tb(圖b)，但只有一個獨立的靜力平衡方程Ta+Tb= Me，故為一次超靜定問題。

20、第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題TaTb(b)2. 位移相容條件為BbBa材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案383. 利用物理關(guān)系得補(bǔ)充方程為4. 聯(lián)立求解補(bǔ)充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題TaTb(b)材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案39第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題5. 銅桿橫截面上任意點的切應(yīng)力為aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep鋼管橫截面上任意點

21、的切應(yīng)力為baIGIGMGITbbaabbbbppep材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案40 上圖示出了銅桿和鋼管橫截面上切應(yīng)力沿半徑的變化情況。需要注意的是，由于銅的切變模量Ga小于鋼的切變模量Gb，故銅桿和鋼管在 = a處切應(yīng)力并不相等，兩者之比就等于兩種材料的切變模量之比。這一結(jié)果與銅桿和鋼管由于緊配合而在交界處切向的切應(yīng)變應(yīng)該相同是一致的。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題aaab材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案416- -4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁.超靜定梁的解法第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題 解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定

22、問題相同。求解圖a所示一次超靜定梁時可以鉸支座B為“多余”約束，以約束力FB為“多余”未知力。解除“多余”約束后的基本靜定系為A端固定的懸臂梁?；眷o定系材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案420BBBqww基本靜定系在原有均布荷載q和“多余”未知力FB作用下(圖b)當(dāng)滿足位移相容條件(參見圖c,d) 時該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系(參見教材中的附錄)所得的補(bǔ)充方程為03834EIlFEIqlB第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案43從而解得“多余”未知力qlFB83第六章第六章

23、 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題所得FB為正值表示原來假設(shè)的指向(向上)正確。固定端的兩個約束力利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為 28185qlMqlFAA，材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案44該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖所示。思考思考 1. 該梁的反彎點(彎矩變換正負(fù)號的點)距梁的左端的距離為多少？ 2. 該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案45 例題例題6- -7 試求圖a所示系統(tǒng)中鋼桿AD內(nèi)的拉力FN。鋼梁和鋼桿的材料相同，彈性模量E已知；鋼桿

24、的橫截面積A和鋼梁橫截面對中性軸的慣性矩I 亦為已知。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案46 解解: : 1. 該系統(tǒng)共有三個未知力(圖b)FN ,FB ,FC ，但平面平行力系僅有兩個獨立的平衡方程，故為一次超靜定問題。 2. 取桿和梁在點A處的連接鉸為“多余”約束，相應(yīng)的“多余”未知力為FN。位移(變形)相容條件(參見圖b)為wA=lDA。第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案473. 物理關(guān)系(參見圖c,d)為EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因lDA亦即圖b中的 是向下的，故上式中wAF為負(fù)的。1AA第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案484. 于是根據(jù)位移(變形)相容條件得補(bǔ)充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF第六章第六章 簡單的超靜定問題簡單的超靜定問題材材 料料 力力 學(xué)學(xué) 電電 子子 教教 案案49