難點之三：圓周運動的實例分析

1、難點之三：圓周運動的實例分析一、難點形成的原因1、對向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時不能靈活的應用。2、圓周運動線速度與角速度的關系及速度的合成與分解的綜合知識應用不熟練，只是了解大概，在解題過程中不能靈活應用；3、圓周運動有一些要求思維長度較長的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或 其它力，因為一點小失誤，導致全盤皆錯。4、圓周運動的周期性把握不準。5、缺少生活經(jīng)驗，缺少仔細觀察事物的經(jīng)歷，很多實例知道大概卻不能理解本質，更不 能把物理知識與生活實例很好的聯(lián)系起來。二、難點突破（1）勻速圓周運動與非勻速圓周運動a.圓周運動是變速運動，因為物體的運動方向（即速度方向）在不斷變化

2、。圓周運動也 不可能是勻變速運動，因為即使是勻速圓周運動，其加速度方向也是時刻變化的。b.最常見的圓周運動有：天體（包括人造天體）在萬有引力作用下的運動；核外電 子在庫侖力作用下繞原子核的運動；帶電粒子在垂直勻強磁場的平面里在磁場力作用下的運動；物體在各種外力（重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等）作用下的圓周運動。c.勻速圓周運動只是速度方向改變，而速度大小不變。 做勻速圓周運動的物體，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。 非勻速圓周運動的物體所受的合外力沿著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產(chǎn)生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產(chǎn)生切 向加速度，其效果是改變速度的大小。例1

3、:如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個質量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩 AC長L=2m當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45° ,求當小球隨軸一起在水平面內做勻速圓周運動角速度為=4rad/s時，上下兩輕繩拉力各為多少？【審題】兩繩張緊時，小球受的力由0逐漸增大時，3可能出現(xiàn)兩個臨界值?！窘馕觥咳鐖D3-1所示，當BC剛好被拉直，但其拉力 正恰為零，設此時角速度為 cos AC繩上拉力設為對小球有：T1 cos 30 0 = mg2. .一eT1 sin 30 = m 311AB sin 30 （2代入數(shù)據(jù)得：1 =2.4rad /

4、s要使BC繩有拉力，應有co >3 1,當AC繩恰被拉直，但其拉力Ti恰為零，設此時角速度為 032, BC繩拉力為T=,則有T2 cos 45 = mg T 2sin45 ° =mw 2 LACsin30 ° 代入數(shù)據(jù)得：co 2=3.16rad/s 。要使 AC繩有拉力，必須 w < w 2,依題意 w =4rad/s> 32, 故AC繩已無拉力，AC繩是松馳狀態(tài)，BC繩與桿的夾角。>45° ,對小球有：T2 cos 1 = mgT2cos 0 =m w Lesin 0 而 LAcsin30 ° =LBcsin45 °

5、;Lbc= & md由、可解得T2 =2.3N . T1 =0【總結】當物體做勻速圓周運動時，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。(2)同軸裝置與皮帶傳動裝置在考查皮帶轉動現(xiàn)象的問題中，要注意以下兩點：a、同一轉動軸上的各點角速度相等；b、和同一皮帶接觸的各點線速度大小相等，這兩點往往是我們解決皮帶傳動的基本方 法。例2：如圖3-2所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r, a是它圖3-2邊緣上的一點，左側是一輪軸，大輪半徑為4r,小輪半徑為2r,b點在小輪上，到小輪中心距離為 r, c點和d點分別位于小輪和A. a點與bB. a點與cC. a

6、點與dD. a、b、c、d四點，加速度最小的是 b【審題】 分析本題的關鍵有兩點：其一是同一輪軸上的各點角速度相同；其二是皮帶不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度大小相同。這兩點抓住了，然后再根據(jù)描述圓周運動的 各物理量之間的關系就不難得出正確的結論?！窘馕觥坑蓤D3-2可知，a點和c點是與皮帶接觸的兩個點，所以在傳動過程中二者的線速度大小相等，即Va= Vc,又v=w R,所以w ar =w c , 2 r,即w a = 2 w c.而b、c、d 轉動，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的嚙合，如圖 3-3所示，同樣符合例1的條件。 （3）向心力的來源三點在同一輪軸上，它們的角速度相等，則CO b=

7、CO c = CO d= CO a,2所以選項B錯.Vb =w b , r = w ar = - ,所以選項A也錯.向心加速度:22aa = War; ab=a)b , r =coco a raa; acw c 2 r ( co a)4424r =o)a2r=aa.所以選項 G D均正確。co a r aa； adco d > 4 r22【總結】該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關系外，中，從動輪的轉動是靜摩擦力作用的結果.從動輪受到的摩擦力帶動輪子轉動,在皮帶傳動裝置故輪子受到的摩擦力方向沿從動輪的切線與輪的轉動方向相同；主動輪靠摩擦力帶動皮帶，故主動輪所受摩擦力方向沿輪的

8、切線與輪的轉動方所有的題目都要是例1這種類型的呢？當然 不是，當輪與輪之間不是依靠皮帶相連向相反。是不是a.向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，切記在物體的作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外不要再添加一個向心力。b.對于勻速圓周運動的問題，一般可按如下步驟進行分析：確定做勻速圓周運動的物體作為研究對象。明確運動情況，包括搞清運動速率 v,軌跡半徑R及軌跡圓心。的位置等。只有明確了上 述幾點后，才能知道運動物體在運動過程中所需的向心力大?。╩v 2/R ）和向心力方向（指向圓心）。分析受力情況，對物體實際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確定指向圓心的合外2R ；解得

9、結果。T力F （即提供向心力）。V22選用公式 F=m =mR =mRc.圓周運動中向心力的特點：勻速圓周運動：由于勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力?？梢?，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且 指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件。變速圓周運動：速度大小發(fā)生變化，向心加速度和向心力都會相應變化。求物體在某一點受到的向心力時，應使用該點的瞬時速度，在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時間改變， 其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力 （或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和）提供向心力，使物體產(chǎn)生向心加速度，改變速度的方向；合外

10、力沿軌道切線方向的分 力，使物體產(chǎn)生切向加速度，改變速度的大小。當物體所受的合外力 F小于所需要提供的向心力 mV/R時，物體做離心運動。 例3:如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內，有一個具有一定質量的物體 A, A與碗壁間的動摩擦因數(shù)為 科，當碗繞豎直軸 OO勻速轉動時，物體 A剛好能 緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉動而不發(fā)生相對滑動，求碗轉動的角速度.【審題】物體A隨碗一起轉動而不發(fā)生相對滑動，則物體做勻速圓周運動的角速度3就等于碗轉動的角速度 3。物體A做勻速圓周運動所需的向心 力方向指向球心 O故此向心力不是由重力而是由碗壁對物體的彈力提供，此時物體所受的摩擦力與重力平衡。圖3-4【解

11、析】物體A做勻速圓周運動，向心力： Fn =mco2R而摩擦力與重力平衡，則有：NFn = mg即:Fnmg由以上兩式可得：m-2R =mg即碗勻速轉動的角速度為:圖3-5mr【總結】分析受力時一定要明確向心力的來源，即搞清楚什么力充當向心力.本題還考查了摩擦力的有關知識：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎上，角速度再大，此后摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。例4：如圖3-5所示，在電機距軸。為r處固定一質量為 m的鐵塊.電機啟動后，鐵塊以角速度 3繞軸。勻速轉動.則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為/水'【審題】鐵塊在豎直面內做勻速圓周運動， 其

12、向心力是重力 mg與輪對它的 力F的合力.由圓周運動的規(guī)律可知：當 m轉到最低點時F最大，當m轉到最 高點時F最小?！窘馕觥吭O鐵塊在最高點和最低點時，電機對其作用力分別為Fi和F2,且在最高點： mg+ Fi = mw 在最低點：F2 mg= mw電機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現(xiàn)在鐵塊m位于最低點和最高點時，且壓力差的大小為：AFn=Fz+F 由式可解得： AFN=2mw 2r【總結】(1)若m在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動 ？(2)當角速度 3為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無作用力？(3)本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖。若電機的質量為M,則多大時，電機可以“跳”起來？此

13、情況下，對地面的最大壓力是多少 ？ 解：(1)做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運動。mg= mw i(3)鐵塊在最高點時，鐵塊與電動機的相互做用力大小為FiFi+ mg= mw 2 2rFi= Mg即當 J(M +m)g時,電動機可以跳起來，當32 = (M+m)g時,鐵塊在最低點時mrF2 mg= mw 2 rFn= F2 + Mg解得電機對地面的最大壓力為Fn=2 (M+ m) g(4)圓周運動的周期性利用圓周運動的周期性把另一種運動(例如勻速直線運動、平拋運動)聯(lián)系起來。圓周運動是一個獨立的運動， 而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時間相等來聯(lián)系。在這類問題中

14、，要注意尋找兩種運動之間的聯(lián)系，往往是通過時間相等來建立聯(lián)系的。同時，要注意圓周運動具有周期性，因此往往有多個答案。例5:如圖3-6所示，半徑為R的圓盤繞垂直于盤面的中心軸勻速轉動，其正上方h處沿OB方向水平拋出一個小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B,則小球的初速度v=,圓盤轉動的角速度 【審題】小球做的是平拋運動，在小球做平拋運動的這段時間內,圓盤做了一定角度的圓周運動?！窘馕觥啃∏蜃銎綊佭\動，在豎直方向上:h= -gt22則運動時間2h又因為水平位移為R所以球的速度v = = R" t在時間t內，盤轉過的角度。=n 2兀，又因為0 = cot 則轉盤角速度：i-3= L22L=

15、2nTt J旦(n = 1, 2, 3,)t2h這兩種不同運動規(guī)律在解Q球轉到圖示位置時,【總結】上題中涉及圓周運動和平拋運動這兩種不同的運動， 決同一問題時，常常用“時間”這一物理量把兩種運動聯(lián)系起來。 例6:如圖3-7所示，小球Q在豎直平面內做勻速圓周運動，當 有另一小球P在距圓周最高點為 h處開始自由下落.要使兩球在圓周最高點相碰，則 球的角速度3應滿足什么條件？【審題】下落的小球P做的是自由落體運動，小球 Q做的是圓周運動，若要想碰, 必須滿足時間相等這個條件。【解析】設P球自由落體到圓周最高點的時間為 t ,由自由落體可得Q圖3-7-gt2=h求得t=2h2Q球由圖示位置轉至最高點的

16、時間也是t,但做勻速圓周運動，周期為T,有t=（4n+l） T（n=0, 1, 2, 3,）4兩式聯(lián)立再由 T=" 得（4n+1） CO(n=0 , 1, 2, 3,)所以 w = (4n+1) 2故具有重復性。在做這類題目【總結】由于圓周運動每個周期會重復經(jīng)過同一個位置,時，應該考慮圓周運動的周期性。(5)豎直平面內圓周運動的臨界問題 圓周運動的臨界問題：V y圖3-8(1)如上圖3-8所示，沒有物體支撐的小球，在繩和軌道的約束下，在豎直平面做圓周運臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的做用:能過最高點的條件：v> ,'Rg ,當v>/Rg時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對

17、球產(chǎn)生壓力。不能過最高點的條件：vv v臨界(實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道) (2)如圖3-9當v = 0時，F(xiàn)N = mg ( Fn為支持力)。當0vvv；Rg時，F(xiàn)n隨v增大而減小，且 mg> R>0, Fn為支持力。當v= q鬲時，F(xiàn)n=0。當v > r Rg時，F(xiàn)N為拉力，F(xiàn)N隨v如圖所示3-10的小球在軌道的最高點時，如果v>、,；Rg此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產(chǎn)生拉力。例7：半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖 3-11所示。頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度v0 =、'gR ,則物體甲將(A.沿球面下滑至M點B.先沿

18、球面下滑至某點 N,然后便離開球面作斜下拋運動C.按半彳5大于 R的新的圓弧軌道作圓周運動D.立即離開半圓球作平拋運動【審題】物體在初始位置受豎直向下的重力，因為v0=&R,所以，球面支持力為零,又因為物體在豎直方向向下運動， 所以運動速率將逐漸增大， 若假設物體能夠沿球面或某一 大于R的新的圓弧做圓周運動， 則所需的向心力應不斷增大。 而重力沿半徑方向的分力逐漸 減少，對以上兩種情況又不能提供其他相應的指向圓心的力的作用， 故不能提供不斷增大的向心力，所以不能維持圓周運動?！窘馕觥课矬w應該立即離開半圓球做平拋運動，故選D。【總結】當物體到達最高點，速度等于 、：gR時，半圓對物體的支

19、持力等于零，所以接 下來物體的運動不會沿著半圓面，而是做平拋運動。（6）圓周運動的應用a.定量分析火車轉彎的最佳情況。受力分析：如圖所示 3-12火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓 心，成為使火車拐彎的向心力。動力學方程：根據(jù)牛頓第二定律得2其中r是轉彎處軌道的半徑,V0是使內外軌均不受側向力的最佳速度。Vo mgtan 0 = m r分析結論：解上述方程可知2Vo =rgtan 0可見，最佳情況是由 V。、r、0共同決定的。當火車實際速度為 v時，可有三種可能,當V= V0時，內外軌均不受側向擠壓的力;當V>v0時，外軌受到側向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力）當vv。時

20、，內軌受到側向擠壓的力（這時向心力減少，內軌抵消一部分力）還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉彎，高速公路上汽車轉彎等等我們討論的火車轉彎問題，實質是物體在水平面的勻速圓周運動，從力的角度看其特點是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至 少再受到一個力，才有可能使物體產(chǎn)生在水平面做勻速圓周運動的向心力.實際在修筑鐵路時，要根據(jù)轉彎處的半徑 r和規(guī)定的行駛速度 V。,適當選擇內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力完全由重力G和支持力Fn的合力來提供，如上圖 3-12所示.必須注意，雖然內外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內做圓周運動，因此向心力是沿水平方

21、2向的，而不是沿"斜面"向上， F=Gtg 0 =mgtg 0 ,故mgtg 0 =m0 rb.汽車過拱橋汽車靜止在橋頂、或通過橋頂，雖汽車靜止在橋頂與通過橋頂是否同種狀態(tài)？不是的, 然都受到重力和支持力。但前者這兩個力的合力為零，后者合力不為零。汽車過拱橋橋頂?shù)南蛐牧θ绾萎a(chǎn)生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖 3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。運動有什么特點？動力學方程: 由牛頓第二定律2cVG- f1 = m- r在“日v 2v 2斛付 F1 = G m = mg - m rr汽車處于失重狀態(tài)汽車具有豎直向下的加速度，F(xiàn)1V mg,對橋的壓力

22、小于重力.這也是為什么橋一般做成拱形的原因.汽車在橋頂運動的最大速度為rg根據(jù)動力學方程可知，當汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越小，當汽車的速度為Jr1時，壓力為零，這是汽車保持在橋頂運動的最大速度，超過這個速度，汽車將飛出橋頂，做平拋運動。另：c.人騎自行車轉彎由于速度較大，人、車要向圓心處傾斜， 與豎直方向成（）角，如圖3-14 所示，人、車的重力 mg與地面的作用力 F的合力作為向心力.地面的作用 力是地面對人、車的支持力Fn與地面的摩擦力的合力，實際上仍是地面的摩擦力作為向心力。v由 圖知， F向=mgtan 4 =m r2 .圓錐擺擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運動的

23、向心力.如圖3-15所示，質量為m的小球用長為L的細線連接著，使小球在水平面內做勻速圓周運動. 細 線與豎直方向夾角為 a，試分析其角速度 w的大小。對小球而言，只受兩個力：重力 mg和線的拉力T.這兩個力的合力 mgtana 提供向心力，半徑 r=Lsin a ,所以由 F=mrco2得，mgtan a = mLsin a - w2整理得3可見，角速度越大，角 a也越大。3 .雜技節(jié)目“水流星”表演時，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內 做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如圖所示，這是為什么？第-8 -頁共14頁2分析：以杯中之水為研究對象進行受力分析，根據(jù)牛

24、頓第二定律可知：F向=mv,此時重r力G與Fn的合力充當了向心力即 5向=6+ Fn2故：G+ Fn= m r由上式可知v減小，F(xiàn)減小，當Fn=0時，v有最小值為Vgr 。討論：當m驢mv-,即v=dgr時，水恰能過最高點不灑出，這就是水能過最高點的臨界條件；r當mg>mv,即v< Pgr時，水不能過最高點而不灑出； r當mg mv,即v>qgr時，水能過最高點不灑出，這時水的重力和杯對水的壓力提供 r向心力。例8:繩系著裝有水的水桶，在豎直面內做圓周運動，水的質量 m= 0.5 kg,繩長L=60 cm, 求：最高點水不流出的最小速率。水在最高點速率 v= 3 m/s時，水

25、對桶底的壓力。【審題】當v0=q,gR時，水恰好不流出，要求水對桶底的壓力和判斷是否能通過最高點，也要和這個速度 v比較，v>v0時，有壓力；v=v0時，恰好無壓力；vWv。時，不能到達 取 Wj點。【解析】水在最高點不流出的條件是重力不大于水做圓周運動所需要的向心力即mg2 mv則最小速度 v0= g gR = g gL =2. 42 m/s。當水在最高點的速率大于v°時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設為F,由牛頓第二定律2 v F+mg= m得：F= 2. 6 N。L由牛頓第三定律知，水對水桶的作用力F'F= 2.6 N,即方向豎直向上。

26、【總結】當速度大于臨界速率時，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因 此桶底對水產(chǎn)生向下的壓力。例2:汽車質量 m為1.5X 104 kg ,以不變的速率先后駛過凹形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為15 m如圖3-17所示.如果路面承受的最大壓力不得超過2X105N,汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過路面的最小壓力是多少？【審題】首先要確定汽車在何位置時對路面的壓力最大，汽車經(jīng)過凹形路面時，向心加速度方向向上，汽車處于超重狀態(tài)；經(jīng)過凸形路面時，向心加速度向下，汽車處于失重狀態(tài)， 所以汽車經(jīng)過凹形路面最低點時，汽車對路面的壓力最大?！窘馕觥慨斊嚱?jīng)過凹形路面最低點時，設路面支持力

27、為Fni,受力情況如圖3-18所示,由牛頓第二定律，2v有 Fni mg= mR要求 FniW2X 105 N解得允許的最大速率 Vm= 7. 07 m/s圖 3-19圖 3-18由上面分析知，汽車經(jīng)過凸形路面頂點時對路面壓力最小，設為Fn2,如圖3-19所示，由牛頓第二定律有mg- Fn2 =mv解得 Fn2=1X105 n?！究偨Y】汽車過拱橋時，一定要按照實際情況受力分析，沿加速度方向列式。(7)離心運動離心現(xiàn)象條件分析做圓周運動的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動， 只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如圖 3-20中B所示。當產(chǎn)生向心力的合外力

28、消失，F(xiàn)=0,物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖 3-20中A所示。當提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于應當具有的向心力，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動，如圖3-20所示。在實際中，有一些利用離心運動的機械，這些機械叫做離心機械。 離心機械的種類很多, 應用也很廣。例如，離心干燥(脫水)器，離心分離器，離心水泵。例9: 一把雨傘邊緣的半徑為 r,且高出水平地面h.當雨傘以角速度 3旋轉時，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個大圓周.這個大圓的半徑為 【審題】想象著實際情況,形成一個大圓。【解析V。= co rs = Vot = w rr2 + /

29、產(chǎn)生=r；1 +g當以一定速度旋轉雨傘時,圖 3-21【總結】通過題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向 上是自由落體運動， 雨滴做的是平拋運動， 把示意圖畫出來，通過示意圖就可以求出大圓半 徑。(8)難點突破一一圓周運動的功和能應用圓周運動的規(guī)律解決實際生活中的問題，由于較多知識交織在一起，所以分析問題時利用能量守恒定律和機械能守恒定律的特點作為解題的切入點，可能大大降低難度。例9:使一小球沿半徑為 R的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達到軌道的最高點？【審題】小球到達最高點 A時的速度s不能為零，否則小球早在到達A點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達 A點(自然不脫離圓形軌道)，則小球在A點的速度必須滿足Mg+N=mv，式中，N為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在 A點作圓周運動所需要的R向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當NA=0時，Va最小，VA=%gR 。這就是說，要使小球到達 A點，則應該使小球在 A點具有的速度VAgR 。【解析】以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。小球在圓形軌道最高點 A時滿足方程mg+NA =m(1)K根據(jù)機械能守恒，小球在圓形軌道最低點B時的速度滿足方程1 212-m