江蘇省2012高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案 第62講 多項(xiàng)式

1、教育資源第62講 多項(xiàng)式理論多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在理論上和方法上對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有深刻的影響，與多項(xiàng)式有關(guān)的問(wèn)題除了出現(xiàn)在函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)領(lǐng)域中，還涉及到幾何、數(shù)論等知識(shí)，是一個(gè)綜合性的工具，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題多項(xiàng)式的基本理論主要包括：余數(shù)定理與因式定理；多項(xiàng)式恒等條件；韋達(dá)定理；插值公式等具體如下：1多項(xiàng)式恒等：(1) 多項(xiàng)式恒等條件：兩個(gè)多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們同次冪的系數(shù)相等(2)帶余除恒等式：多項(xiàng)式f(x)除以多項(xiàng)式g(x)，商式為q(x)，余式為r(x)，(則r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)），則特別是多項(xiàng)式f(x)除以x-a，商式為g(x)，余數(shù)為r，則f(

2、x)=(x-a)g(x)+r(3)多項(xiàng)式恒等定理：若有n+1個(gè)不同的x值使n次多項(xiàng)式f(x)與g(x)的值相同，則 在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，經(jīng)常用到先猜想后證明的思想：比如先找出一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)符合題意，再驗(yàn)證f(x)與g(x)在n+1個(gè)不同的x值處，均有f(x)=g(x)，則2余數(shù)定理與因式定理：(1)余數(shù)定理：多項(xiàng)式f(x)除以x-a所得的余數(shù)等于f(a)(2)因式定理：多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a的充要條件是f(a)=0(3)幾個(gè)推論：若f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式，則f(x)除以(x-a)所得的商也為整系數(shù)多項(xiàng)式，余數(shù)為整數(shù)若f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式，a、b為不同整數(shù)，則f(x)除以所的的余數(shù)為

3、3代數(shù)基本定理(1)代數(shù)基本定理：一個(gè)n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)至少有一個(gè)根(2)根的個(gè)數(shù)定理：一個(gè)n次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有且僅有n個(gè)根4韋達(dá)定理與虛根成對(duì)定理(1)韋達(dá)定理：如果一元n次多項(xiàng)式的根是，那么有簡(jiǎn)寫成(2)復(fù)根成對(duì)定理：若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)虛根那么它的共軛復(fù)數(shù)也是f(x)的根，并且和有相同重?cái)?shù)運(yùn)用時(shí)要注意必須是實(shí)系數(shù)方程5拉格朗日（Lagrange）插值公式設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，數(shù)a1，a2，an+1兩兩不等，則 簡(jiǎn)寫成f(x)=A類例題例1 將關(guān)于的多項(xiàng)式表為關(guān)于的多項(xiàng)式其中則 （2005年全國(guó)聯(lián)賽一試）分析 先利用等比數(shù)列的求和公式求出f(x)的表達(dá)式，然

4、后用變量代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的多項(xiàng)式，最后對(duì)它賦值即可解 由題設(shè)知，和式中的各項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式，得：令得取有說(shuō)明 賦值法在解決多項(xiàng)式系數(shù)之和問(wèn)題中經(jīng)常被使用例2 在一次數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們解一個(gè)五次方程，明明因?yàn)樯险n睡覺(jué)，沒(méi)有將方程抄下，到下課時(shí)，由于黑板被擦去了大半，明明僅抄到如下殘缺的方程，若該方程的五個(gè)根恰構(gòu)成等差數(shù)列，且公差，試幫明明解出該方程分析 題目已知一個(gè)五次方程的五次項(xiàng)系數(shù)、四次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，可由韋達(dá)定理確定出方程5個(gè)根的和與積，再利用其為等差數(shù)列的特點(diǎn)，解方程解 設(shè)該方程的5個(gè)根為，則由韋達(dá)定理可得由此得及令，得或1于是或由條件，可知因此

5、這5個(gè)根為1，2，3，4，5說(shuō)明 韋達(dá)定理給出了如果一元n次多項(xiàng)式方程的n個(gè)根與方程的系數(shù)的之間關(guān)系，在解決方程問(wèn)題時(shí)，有著極其廣泛的應(yīng)用運(yùn)用韋達(dá)定理時(shí)，特別要注意符號(hào)不能搞反例3 若可被整除，求f(a)分析 由于可被整除，故可以用待定系數(shù)法設(shè)出f(x)因式分解后的形式，利用多項(xiàng)式恒等條件確定p,q,a的關(guān)系，最后求出f(a)解 設(shè)展開(kāi)得比較兩邊系數(shù)得故說(shuō)明 多項(xiàng)式恒等條件即兩個(gè)多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們同冪次得系數(shù)相等，往往是解決多項(xiàng)式分解及恒等問(wèn)題的重要依據(jù)，常通過(guò)待定系數(shù)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化鏈接 由于題目條件f(x)可被整除可知f(x)可被 x-1，x+1整除，故可以利用因式定理確定出p，q，a之間的

6、關(guān)系，再代入求值：可被(x-1)(x+1)整除，由因式定理可知f(-1)=f(1)=0因此得，由得故 因式定理是處理多項(xiàng)式問(wèn)題的常用工具運(yùn)用因式定理時(shí)，只要有f(a)=0，則f(x)必含有因式(x-a)容易看出，因式定理是余數(shù)定理的一個(gè)推廣情景再現(xiàn)1設(shè)，求的值為 （ ）(2005年浙江省數(shù)學(xué)競(jìng)賽) A B C D2設(shè)是關(guān)于變量x的一個(gè)恒等式，則ab的值為 ( )A -246 B -210 C 29 D 2103四次多項(xiàng)式的四個(gè)根中有兩個(gè)根的積為-32，求實(shí)數(shù)kB類例題例4 已知是多項(xiàng)式的三個(gè)零點(diǎn)，試求一個(gè)以為零點(diǎn)的三次多項(xiàng)式g(x)分析 由于原多項(xiàng)式和所求多項(xiàng)式的零點(diǎn)之間存在著平方關(guān)系，利用韋

7、達(dá)定理就能構(gòu)造出滿足題意的多項(xiàng)式g(x)解 設(shè)，則由韋達(dá)定理知故因此說(shuō)明 利用韋達(dá)定理構(gòu)造出滿足題意的多項(xiàng)式g(x)是本題的關(guān)鍵鏈接 本題還可以用因式分解的辦法尋找兩個(gè)多項(xiàng)式之間的關(guān)系：設(shè)，則例5 設(shè)a，b，c，d是4個(gè)不同實(shí)數(shù)，p(x)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，已知p(x)除以(x-a)的余數(shù)為a；p(x)除以(x-b)的余數(shù)為b；p(x)除以(x-c)的余數(shù)為c；p(x)除以(x-d)的余數(shù)為d求多項(xiàng)式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余數(shù)（1990年意大利數(shù)學(xué)奧賽題)分析 首先利用余數(shù)定理將條件轉(zhuǎn)化，再通過(guò)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(x)，使得它能被(x-a) (x-b) (x-

8、c) (x-d)整除，再確定出F(x)與p(x)的關(guān)系解法一 根據(jù)余數(shù)定理，p(x)除以(x-a)的余數(shù)為p(a)，故p(a)=a同理，p(b)=b，p(c)=c，p(d)=d考察多項(xiàng)式F(x)= p(x)-x，則有F(a)=0，F(xiàn)(b)=0，F(xiàn)(c)=0，F(xiàn)(d)=0由因式定理可知，F(xiàn)(x)含有因式(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)，而p(x) = F(x)x，故多項(xiàng)式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余數(shù)為x解法二 利用待定系數(shù)法 設(shè)p(x)= (x-a) (x-b) (x-c) (x-d)q(x)+r(x)，其中由題設(shè)得p(a)=a，p(b)=b，

9、p(c)=c，p(d)=d知a，b，c，d是的4個(gè)互不相同的根，但該方程是個(gè)三次方程，故m=n=l-1=t=0，即m=n=t=0，l=1故所求余式為x說(shuō)明 靈活運(yùn)用因式定理和余數(shù)定理，并巧妙構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，而這些都可以通過(guò)仔細(xì)觀察題目條件的特點(diǎn)后能自然得出本題還可以用待定系數(shù)法解決，一題多解，有利于拓寬視野，把問(wèn)題看的更加透徹鏈接 本題有一般性的結(jié)論，這就是下述問(wèn)題：設(shè)是n個(gè)不同的實(shí)數(shù)，p(x)是一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，已知p(x)除以的余數(shù)為，則多項(xiàng)式p(x)除以的余數(shù)為x 其中表示的是，為n個(gè)因式相乘例6 設(shè)為互不相同的兩組實(shí)數(shù)，將它們按如下法則填入100×100的方格

10、表內(nèi)，即在位于第i行第j列處的方格處填入現(xiàn)知任何一列數(shù)的乘積為1，求證：任一行數(shù)的積為-1分析 注意到100×100的方格表內(nèi)，位于第i行第j列處的方格處填入的數(shù)為，且任何一列的乘積為1，故可以構(gòu)造兩個(gè)恒等的多項(xiàng)式解之解 考察多項(xiàng)式由于任何一列的乘積為1，故知是p(x)的根，故有由多項(xiàng)式恒等可知取，代入上式可得： 即故知任何一行數(shù)的乘積為-1 說(shuō)明 本題的關(guān)鍵是巧妙地構(gòu)造兩個(gè)恒等的多項(xiàng)式，是一利用多項(xiàng)式恒等定理解決問(wèn)題的精妙之作鏈接 拉格朗日插值公式的推導(dǎo)也是利用多項(xiàng)式恒等定理的經(jīng)典之作：設(shè)f(x)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，數(shù)a1，a2，an+1兩兩不等，則 簡(jiǎn)寫成證明：(1)存在

11、性：令觀察的特點(diǎn)，可知故故該多項(xiàng)式滿足題目條件(2)惟一性：設(shè)g(x)是一個(gè)滿足題意的n次多項(xiàng)式，則則由多項(xiàng)式恒等定理可知故惟一性得證 拉格朗日插值公式在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造是十分巧妙，值得好好領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用，以下一例就是拉格朗日插值公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例7 已知函數(shù)滿足則f(3)的取值范圍是 ( )ABCD分析 由于所給函數(shù)為偶函數(shù)，故有，再運(yùn)用拉格朗日插值公式將f(3)表示為關(guān)于f(-1)、f(1)和f(2)的關(guān)系式即可解 選C由拉格朗日插值公式，得從而故OxyAB1鏈接 本題除了用拉格朗日插值公式來(lái)處理以外，還可以用線性規(guī)劃的方法來(lái)處理，具體如下：由得而故問(wèn)題轉(zhuǎn)

12、化為求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值和最小值問(wèn)題先作出可行域如圖：則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，7），則線性目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值為在點(diǎn)B處取得最大值為故的取值范圍為本題還可以利用不等式知識(shí)來(lái)處理：又，故由不等式的性質(zhì)知 例8 是否存在二元多項(xiàng)式，滿足條件(1)對(duì)任意的(2)對(duì)于任意的c>0，存在x，y，使得分析 本題是關(guān)于二元多項(xiàng)式問(wèn)題，關(guān)鍵是消去一元轉(zhuǎn)化成一元多項(xiàng)式問(wèn)題 解 存在取將y看成常數(shù)，則關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的判別式對(duì)所有的x，y均有又將p(x，y)看成x的函數(shù)(y固定)，則p(x，y)的值域?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)所以對(duì)于任意的c>0，存在從而存在 情景再現(xiàn)4若

13、可被整除，則m，p，q應(yīng)符合的條件是 ( )A BCD5求次數(shù)小于3的多項(xiàng)式f(x)，使f(1)=1，f(-1)=3，f(2)=36求所有的值a，使多項(xiàng)式的根滿足（奧地利數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）C類例題例9 已知數(shù)列滿足求證：對(duì)于任何自然數(shù)n， 是x的一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式（1986年全國(guó)聯(lián)賽一試題）分析 由知是等差數(shù)列，則從而可將表示成的表達(dá)式，再化簡(jiǎn)即可解 因?yàn)?，所以?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d有，從而 由二項(xiàng)定理，知又因?yàn)閺亩援?dāng)式，P(x)為x的一次多項(xiàng)式，當(dāng)d=0時(shí)，P(x)為零次多項(xiàng)式例10 求一切實(shí)數(shù)p，使得三次方程的三個(gè)根均為自然數(shù)(1995年全國(guó)聯(lián)賽二試題) 分析 容易看出x=1是原三

14、次方程的一個(gè)自然數(shù)根，原方程可用綜合除法降次為 當(dāng)且僅當(dāng)二次方程的兩個(gè)根均為自然數(shù)時(shí)，原三次方程的三個(gè)根才均為自然數(shù)設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根為u，v，則由韋達(dá)定理得從而p為正整數(shù)因此本題相當(dāng)于解不定方程消去p得66(u+v)=5uv+1，由該不定方程解出u，v，再求出p=u+v即可解 容易看出x=1是原三次方程的一個(gè)自然數(shù)根，由綜合除法，原三次方程可降次為二次方程 當(dāng)且僅當(dāng)二次方程的兩個(gè)根均為自然數(shù)時(shí)，原三次方程的三個(gè)根才均為自然數(shù)設(shè)方程的兩個(gè)正整數(shù)根為由韋達(dá)定理則得故p為正整數(shù)消去p得66(u+v)=5uv+1，由得v(5u-66)=66u-1>0，從而5v-66>0對(duì)方程兩邊乘5后

15、，移項(xiàng)、分解得(5u-66)(5v-66)=19×229，其中19，229均為素?cái)?shù)，于是或（無(wú)解）從而得到不定方程的唯一自然數(shù)解，u=17，v=59，這樣p=u+v=17+59=76所以當(dāng)且僅當(dāng)p=76時(shí)方程有三個(gè)自然數(shù)根1，17，59說(shuō)明 由于我們對(duì)三次方程的求根公式（卡當(dāng)公式）不很熟悉，因此在遇到此類問(wèn)題時(shí)，我們一般先用觀察法找到它的一個(gè)根，通常是整數(shù)根，再將原三次方程降次為二次方程，降次的一般用綜合除法然后再設(shè)法處理我們熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題鏈接 除了將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解二元二次不定方程66(u+v)=5uv+1外，也可以用求根公式，從而利用判別式為完全平方數(shù)求解，其中涉及到奇偶分析

16、具體如下：容易看出x=1是原三次方程的一個(gè)自然數(shù)根，由綜合除法，原三次方程可降次為二次方程 當(dāng)且僅當(dāng)二次方程的兩個(gè)根均為自然數(shù)時(shí)，原三次方程的三個(gè)根才均為自然數(shù)由韋達(dá)定理知，p為自然數(shù)顯然方程的判別式是完全平方數(shù)設(shè)，則A，B的奇偶性相同，且均為偶數(shù)（若A，B都是奇數(shù)，則矛盾）令則由及19與229的素性可得即從而正整數(shù)p只能為76情景再現(xiàn)7求證：不能表示成的形式，其中為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且互質(zhì)習(xí)題1已知多項(xiàng)式是的展開(kāi)式，則等于( )A1 B-1 C0 D 22滿足條件的二次函數(shù)f(x)有（ ）A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D無(wú)窮多個(gè)3設(shè)一個(gè)二次三項(xiàng)式的完全平方展開(kāi)式是那么這個(gè)二次三項(xiàng)式是_4已知實(shí)數(shù)均不為

17、0，多項(xiàng)式的三個(gè)根為，則 （德國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）5若f(x)、g(x)為兩個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且可被整除，則 ， 6當(dāng)時(shí),是某個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根，求滿足上述條件的次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式（1997年日本數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）7設(shè)若則的值為 ( )A8014 B40 C160 D82708以有理數(shù)a，b，c為根的三次多項(xiàng)式有 ( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D無(wú)窮多個(gè)9多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有多少個(gè)零點(diǎn)?10設(shè)都是多項(xiàng)式，且求證：x-1是的公因式11設(shè)p(x)是2n次多項(xiàng)式,滿足12任給實(shí)多項(xiàng)式：其中n為正整數(shù)，系數(shù)用下面方法來(lái)確定：甲，乙兩人，從甲開(kāi)始，依次輪流給出一個(gè)系數(shù)的值，最后一個(gè)系數(shù)由甲給出后，如

18、果所得的多項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根，則甲勝；若所得的多項(xiàng)式有實(shí)根，則乙勝試問(wèn)不管甲如何選取系數(shù)，乙必勝嗎？(2004年江蘇省數(shù)學(xué)夏令營(yíng)一級(jí)教練員測(cè)試題十)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1C 2A 解 將該恒等式變形成多項(xiàng)式恒等，則有比較兩邊系數(shù)得解得因此386 解 設(shè)多項(xiàng)式的四個(gè)根為則由韋達(dá)定理，得設(shè)故又故4C 解5 解 由拉格朗日插值公式得69 7解 (反證法)假設(shè)有且互質(zhì)，又，又但當(dāng)f(x)的次數(shù)時(shí)，恒有的次數(shù)大于的次數(shù)，為常數(shù)同理g(x)也為常數(shù)，故為常數(shù)，矛盾故原命題得證本節(jié)“習(xí)題”解答：1A 2B 3 41 50， 0 6 解 記則代入方程,得即兩邊平方，得故所求的多項(xiàng)式為7 A 解 設(shè)，則，故于是8 C 解 由韋達(dá)定理知 如果a=0(或b=0)得c=0，b=0如果如果a，b，c均不為零，得故滿足題設(shè)的多項(xiàng)式為91 解 顯然，x=0不是f(x)=0的根令，則又單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，因此，恰有一個(gè)根10解 設(shè)取1的5次虛單位根所以即方程故再把x=1代入所設(shè)等式，得s(1)=0命題得證11解 令又其中將x=2n+1代入上式,得這表明p(x)是四次多項(xiàng)式,由得12解 乙有必勝策略證明如下在選取過(guò)程中，不管甲取了那個(gè)系數(shù)，接下去，乙必取余下的一個(gè)偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)，如果已經(jīng)沒(méi)有偶數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)，乙才取奇數(shù)次項(xiàng)的系數(shù)因