[初三數(shù)學(xué)]九年級數(shù)學(xué)-一元二次方程復(fù)習(xí)課精品復(fù)習(xí)

1、第二章第二章 一元二次方程復(fù)習(xí)課一元二次方程復(fù)習(xí)課本章知識網(wǎng)絡(luò) 概念:-一般形式:ax2+bx+c=0(a0) 直接開平方法:x2=p(p0) (mx+n)2 =p(p0) 解法 配方法 一 公式法: 因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 元 判別式:b2-4ac=0 判別式 不解方程,判別方程根的情況, 二 用處 求方程中待定常數(shù)的值或取值范圍, 進行有關(guān)的證明, 次 關(guān)系: x1+x2=-b/a x1.x2=c/a 已知方程的一個根,求另一個根及字母的值, 方 根與系數(shù)的關(guān)系 求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值, 用處 求作一元二次方程, 程 已知兩數(shù)的和與積,求此兩數(shù) 判斷方程兩根的特殊關(guān)

2、系, 實際問題與一元二次方程:審,設(shè),列.解,驗,答,1.一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整的整式方程叫做一元二次方程。式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的一般形式 20axbx c 20axbxc x + x - 20 = 02觀察方程觀察方程等號兩邊都是整式等號兩邊都是整式 只含有一個未知數(shù)只含有一個未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是未知數(shù)的最高次數(shù)是2次次特征如下：特征如下：有何特征？有何特征？(1) 2x = y 2 - 1(3) x 2- - 3 = 02x(4) 3z2+1

3、 = z (2z2 - 1)(5) x 2 = 0結(jié)論：以上方程中結(jié)論：以上方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程是一元二次方程(6) ( x + 2) 2 = 433)2(2 yy請判斷下列方程是否為一元二次方程：請判斷下列方程是否為一元二次方程：一元二次方程的解法一元二次方程的解法1.因式分解法因式分解法。2.開平方法。開平方法。3.配方法。配方法。4.公式法公式法）或，則若000(BABA的形式或（化成baxax22)1.把二次項把二次項,一次項移到等號左邊一次項移到等號左邊,常數(shù)項移到等號右邊。常數(shù)項移到等號右邊。2.兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平方。兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平方。

4、aacbbxacb24, 0422若則方程無實數(shù)根若, 042 acb1.直接開平方法 對于形如ax2=p(p0)或(mx+n)2=p(po)的方程可以用直接開平方法解2.配方法用配方法解一元二次方程的步驟:w1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項系數(shù));w2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;w3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;w4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;w5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:寫出原方程的解.w我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法3.公式法

5、w 一般地,對于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) .04.2422acbaacbbxw上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式.w用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法(:,042它的根是時當(dāng) acbw老師提示:w用公式法解一元二次方程的前提是:w1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). w2.b2-4ac0.公式法是這樣生產(chǎn)的w 你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a0) 嗎?心動 不如行動. 0:2acxabx解.2422aacbabx.22222acababxabx.442222aacbabx.04.2422acbaacbbx.2acxabxw1

6、.化1:把二次項系數(shù)化為1;w3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;w4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;w5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;w6.求解:解一元一次方程;w7.定解:寫出原方程的解.w2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;,042時當(dāng) acb4.分解因式法w 當(dāng)一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為分解因式法.w老師提示:w1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;w2. 關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識;w3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那

7、么至少有一個因式等于零.” (y+ )(y- )=2(2y-3) (y+ )(y- )=2(2y-3) 3t(t+2)=2(t+2) 3t(t+2)=2(t+2) x x2 2=4 x-11=4 x-11 (x+101) (x+101)2 2-10(x+101)+9=0-10(x+101)+9=0223比一比，看誰做得快：比一比，看誰做得快：w 我們知道:代數(shù)式b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用.一元二次方程的根的判別式.2422, 1aacbbx有兩個不相等的實數(shù)根方程時當(dāng)00,0422acbxaxacb:00,0422有兩個相等的實數(shù)根方程時當(dāng)acbxaxacb.22, 1abx沒有實

8、數(shù)根方程時當(dāng)00,0422acbxaxacb.4.004222acbacbxaxacb即來表示用根的判別式的叫做方程我們把代數(shù)式若方程有兩個若方程有兩個 不相等的實數(shù)根不相等的實數(shù)根,則則b2-4ac0 回顧與反思判別式逆定理判別式逆定理若方程有兩個若方程有兩個 相等的實數(shù)根相等的實數(shù)根,則則b2-4ac=0若方程沒有實數(shù)根若方程沒有實數(shù)根,則則b2-4ac0若方程有兩個若方程有兩個 實數(shù)根實數(shù)根,則則b2-4ac0判別式的用處 1.不解方程.判別方程根的情況, 2.根據(jù)方程根的情況,確定方程中待定常數(shù)的值或取值范圍, 3.進行有關(guān)的證明,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)

9、設(shè)x1,x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩個根的兩個根,則有則有x1+x2= , x1x2= .abac解應(yīng)用題 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是: 1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系? 2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位; 3.列:列代數(shù)式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意; 6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活. 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是: 找出相等關(guān)系.回顧與復(fù)習(xí)解解:設(shè)底邊邊長應(yīng)增加設(shè)底邊邊長應(yīng)增加xcm,由題意由題意,可列出方程可列出方程_1、如圖、如圖,禮品

10、盒高為禮品盒高為10cm,底面為正方形底面為正方形,邊長為邊長為4cm,若保持盒子高度不變?nèi)舯３趾凶痈叨炔蛔?問底邊邊長應(yīng)增加多少厘米才能問底邊邊長應(yīng)增加多少厘米才能使其體積增加使其體積增加200cm3?10(x+4)10(x+4)2 2=10=104 42 2+200+20080cm50cmxxxx2 2、在一幅長、在一幅長80cm80cm，寬，寬50cm50cm的矩形風(fēng)景畫的四周的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果使整個掛圖的面積是如果使整個掛圖的面積是5400cm5400cm2 2，設(shè)金邊的寬為，設(shè)金邊的寬為xcm

11、xcm，則列出的方程是則列出的方程是 . .（80+2x80+2x）（）（50+2x50+2x）=5400=54002.幾何與方程 例1 .一塊長方形草地的長和寬分別為20cm和15cm,在它的四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.已知小路的面積為246cm2,求小路的寬度. 得根據(jù)題意設(shè)小路的寬度解,:xm.2461525215)220(xx:整理得).,(241; 321舍去不合題意xx, 01233522xx:解得.3:m小路的寬度為答201515+2x20+2x幾何與方程n例2. 如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形

12、小塊,水渠應(yīng)挖多寬.得根據(jù)題意設(shè)水渠的寬度解,:xm.885660)292(xx:整理得).,(105; 121舍去不合題意xx, 01051062xx:解得.1:m水渠的寬度為答幾何與方程n例3. 將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段圍成一個正方形.n(1).要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2,該怎樣剪?n(2).要使這兩個正方形的面積之和等于196cm2,該怎樣剪?n(3).這兩個正方形的面積之和可能等于200m2嗎? 得根據(jù)題意設(shè)剪下的一段為解,.2:xcm.100456)4(22xx:整理得, 0562xx:解得.,0,5621舍去不合題意xx.196,:2cm面積能等

13、于可圍成一個正方形的其不剪答w 例例2.某公司計劃經(jīng)過兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低某公司計劃經(jīng)過兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低19%，那么平均每年需降低百分之幾，那么平均每年需降低百分之幾?增長率與方程. 022500300:2 xx整理得得解這個方程,得根據(jù)題意分?jǐn)?shù)為設(shè)每年平均需降低的百解,:x%.191)1 (2x:解這個方程).,(9 . 01%;109 . 0121舍去不合題意xx,81. 0)1 (2 x, 9 . 0)1 (x, 9 . 01x%.10:數(shù)為每年平均需降低的百分答w例例1.一次會議上一次會議上,每兩個參加會議的人都互相握了一每兩個參加會議的人都互相握了一次手次手,有人

14、統(tǒng)計一共握了有人統(tǒng)計一共握了66次手次手.這次會議到會的人數(shù)這次會議到會的人數(shù)是多少是多少?4.美滿生活與方程得根據(jù)題意設(shè)這次到會的人數(shù)為解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合題意xx. 01322 xx:解得,223125291x.12:人這次到會的人數(shù)為答思考思考(09年廣東中考年廣東中考)（本題滿分（本題滿分9分）分） 某種電腦病毒傳播非?？?，如果某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有會有81臺電腦被感染請你用學(xué)過的臺電腦被感染請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦知識分析，每輪感染中平均

15、一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，控制，3輪感染后，被感染的電腦會輪感染后，被感染的電腦會不會超過不會超過700臺？臺？w例.某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子,現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量.試驗發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹,每棵棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個.如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)種多少棵桃樹?5.經(jīng)濟效益與方程得根據(jù)題意棵設(shè)多種桃樹解,:x.%2 .1511000100)121000)(100(xx. 0760040:2xx整理得得解這個方程,.380,2021xx.38020:棵棵或應(yīng)多種桃樹答3 3、黨的十六大提出全面建設(shè)小康社

16、會，加快推進社會、黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會，加快推進社會主義現(xiàn)代化，力爭國民生產(chǎn)總值到主義現(xiàn)代化，力爭國民生產(chǎn)總值到20202020年比年比20002000年翻年翻兩番。本世紀(jì)的頭二十年（兩番。本世紀(jì)的頭二十年（20012001年年20202020年），要實年），要實現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位，設(shè)每個十年的國民生產(chǎn)現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位，設(shè)每個十年的國民生產(chǎn)總值的增長率都是總值的增長率都是x x，那么，那么x x滿足的方程為滿足的方程為 （ ） A A、(1+x)(1+x)2 2=2=2B B、(1+x)(1+x)2 2=4=4 C C、1+2x=21+2x=2 D D、（、（1+x1+

17、x）+2+2（1+x)=41+x)=4B B關(guān)鍵是理解關(guān)鍵是理解“翻兩番翻兩番”是原來的是原來的4倍倍，而不是原來的，而不是原來的2倍。倍。 6.我是商場精英n例.某商場銷售一批名牌襯衫,現(xiàn)在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?得根據(jù)題意元設(shè)每件襯衫應(yīng)降價解,:x.1200)1220)(40(xx. 020030:2xx整理得得解這個方程,.10,2021xx.20,:元應(yīng)降價為了盡快減少庫存答.40220,60220 xx或n例.

18、某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品,若每件商品售價為x元,則每天可賣出(350-10 x)件,但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%.商店要想每天賺400元,需要賣出多少年來件商品?每件商品的售價應(yīng)為多少元?7.利潤與方程得根據(jù)題意元設(shè)每件商品的售價應(yīng)為解,:x.400)10350)(21(xx. 077556:2xx整理得得解這個方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售價應(yīng)為答.,31, 2 .25%2012131舍去不合題意xx例例1、有一堆磚能砌、有一堆磚能砌12米長的圍墻米長的圍墻,現(xiàn)要圍一個現(xiàn)要圍一個20平方米的雞場平方米的雞場,雞場的一邊靠墻雞場的一邊靠墻(墻

19、長墻長7米米),其余三其余三邊用磚砌成邊用磚砌成,墻對面開一個墻對面開一個1米寬的門米寬的門,求雞場的長求雞場的長和寬各是多少米和寬各是多少米?解：設(shè)雞場的寬為解：設(shè)雞場的寬為x x米，則長為（米，則長為（12+1-2x12+1-2x）= =（13-2x13-2x）米，列方程得：）米，列方程得：X X（13-2x13-2x）=20=20解得：解得：x x1 1=4=4，x x2 2=2.5=2.5經(jīng)檢驗：兩根都符合題意經(jīng)檢驗：兩根都符合題意答：此雞場的長和寬分別為答：此雞場的長和寬分別為5 5和和4 4米或米或8 8與與2.52.5米。米。13-2x=513-2x=5或或8 8例例2 2、某商

20、場的音響專柜、某商場的音響專柜, ,每臺音響進價每臺音響進價40004000元元, ,當(dāng)售價當(dāng)售價定為定為50005000元時元時, ,平均每天能售出平均每天能售出1010臺臺, ,如果售價每降低如果售價每降低100100元元, ,平均每天能多銷售平均每天能多銷售2 2臺臺, ,為了多銷售音響為了多銷售音響, ,使利潤使利潤增加增加12%,12%,則每臺銷售價應(yīng)定為多少元則每臺銷售價應(yīng)定為多少元? ?解解:法一：設(shè)每臺降價法一：設(shè)每臺降價x元元 (1000 x)(10+100 x2)=10000(1+12%)解得解得: x =200: x =200或或 x=300 x=300每臺的利潤每臺的利

21、潤售出的臺數(shù)售出的臺數(shù)= =總利潤總利潤解解: :法二：設(shè)每天多銷售了法二：設(shè)每天多銷售了x x臺。臺。 （10+x)(1000-50 x)=10000(1+12%)10+x)(1000-50 x)=10000(1+12%) 例例3、如圖所示，已知一艘輪船以、如圖所示，已知一艘輪船以20海里海里/時的速時的速度由西向東航行，在途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中度由西向東航行，在途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中心正以心正以40海里海里/時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中時的速度由南向北移動，距臺風(fēng)中心心20 10 海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到臺風(fēng)的影響，當(dāng)輪船到臺風(fēng)的影響，當(dāng)輪

22、船到A處時測得臺風(fēng)中心移動處時測得臺風(fēng)中心移動到位于點到位于點A正南方向的正南方向的B處，且處，且AB=100海里，若海里，若這艘輪船自這艘輪船自A處按原速原方向繼續(xù)航行，在途中處按原速原方向繼續(xù)航行，在途中是否會受到臺風(fēng)的影響？若會，試求出輪船最初是否會受到臺風(fēng)的影響？若會，試求出輪船最初遇臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由。遇臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由。AB 學(xué)以致用 某軍艦以某軍艦以20海里海里/時的速度由西向東航行，一艘電時的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以子偵察船以30海里海里/時的速度由南向北航行，它能時的速度由南向北航行，它能偵察出周圍偵察出周圍50海里（包括海里（包括50海里

23、海里)范圍內(nèi)的目標(biāo)。范圍內(nèi)的目標(biāo)。如圖，當(dāng)該軍艦行至如圖，當(dāng)該軍艦行至A處時，電子偵察船正位于處時，電子偵察船正位于A處正南方向的處正南方向的B處，且處，且AB=90海里。如果軍艦和海里。如果軍艦和偵察船仍按原速沿原方向繼續(xù)航行，則航行途中偵察船仍按原速沿原方向繼續(xù)航行，則航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時偵察到？如果不能，請說明理由。偵察到？如果不能，請說明理由。AB案例案例1：關(guān)于關(guān)于x的方程的方程02) 1(2kkxxk有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個不相等的實數(shù)根，求求k的取值范圍。的取值范圍。解：解：) 1(4)2(2kkk解得解

24、得k又又k-10 k且且k0說一說說一說忽視二次項忽視二次項系數(shù)不為系數(shù)不為0案例案例2：已知已知k為實數(shù)，解關(guān)于為實數(shù)，解關(guān)于x的方程的方程0)3(322kxkkx解：解：0)1)(3(kxkx.1,321kxkx當(dāng)當(dāng)k=0時，時，方程為方程為3x=0, x=0將原方程左邊分解因式，得將原方程左邊分解因式，得當(dāng)當(dāng)k0時，時，說一說說一說忽視對方程忽視對方程分類討論分類討論1542)2222xxxx（xx22015)2( 2)2222xxxx（0) 32)(5222xxxx（522 xx322 xx案例案例3：已知實數(shù)已知實數(shù)x滿足滿足求：代數(shù)式求：代數(shù)式解：解：，的值。的值。或或522 xx

25、又又無實根，無實根， 322 xx說一說說一說忽視根的忽視根的存在條件！存在條件！案例案例4：已知關(guān)于已知關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程01122xkx有兩個實根，求有兩個實根，求k的取值范圍。的取值范圍。解：由解：由0，可得，可得04)12(2k解得解得 k - 2又又k+10, k1k 的取值范圍是的取值范圍是k1說一說說一說忽視系數(shù)中忽視系數(shù)中的隱含條件的隱含條件1x2x01522 xxxxxxxx2121212121xx案例案例5：已知已知 ，是方程是方程的兩根，求的兩根，求解：解： 的值。的值。22122212212121212121xxxxxxxxxxxxxxxx說一說說一說忽

26、視討論兩忽視討論兩根的符號！根的符號！)1 ()2(xxaxa1x2xxxS21a0) 12(22axxaaxx2121axx221xxS21212122xxxxSaa22211aa20aa案例案例6：已知方程已知方程的兩個實根為的兩個實根為、，設(shè)，設(shè),求求:整數(shù)時整數(shù)時S的值為的值為1。解：原方程整理解：原方程整理，=為非負(fù)整數(shù)為非負(fù)整數(shù)。取什么取什么由由= 4a+10得得，由，由02121axx得得21a410 a說一說說一說忽視系數(shù)中的忽視系數(shù)中的隱含條件與隱含條件與判別式判別式。 a取整數(shù)取整數(shù)0。41a0900222mmxx090222cba2522ba252)(2abba02142

27、 mm3, 721 mm3, 721 mm案例案例7：在在RtABC中，中，C=，斜邊斜邊c=5,的兩根，求的兩根，求m的值的值 。解：在解：在RtABC中，中， C=檢驗檢驗:當(dāng)當(dāng)時，時，都大于都大于0兩直角邊的長兩直角邊的長a、b是是又因為直角邊又因為直角邊a,b的長均為正所以的長均為正所以m 的值只有的值只有7。說一說說一說忽視實忽視實際意義際意義!理一理理一理一元二次方程中幾個容易忽視問題：一元二次方程中幾個容易忽視問題：重視重視二次項系數(shù)不為二次項系數(shù)不為0；重視重視對方程分類討論；對方程分類討論；重視重視系數(shù)中的隱含條件；系數(shù)中的隱含條件；重視重視根的存在條件根的存在條件 ；重視重視討論兩根的符號；討論兩根的符號；重視重視根要符合實際意義。根要符合實際意義。 說一說說一說系數(shù)系數(shù)根根1、某人將、某人將2000元人民幣按一年定期儲蓄存入銀行，元人民幣按一年定期儲蓄存入銀