隨機(jī)向量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1隨機(jī)向量的數(shù)字隨機(jī)向量的數(shù)字(shz)特征特征第一頁(yè)，共31頁(yè)。ijiijjijjiXYPPPPP設(shè)（ ， ）為離散型隨機(jī)變量，其分布列為邊際分布列iiiijiijiijijEXPPPxxx jjjijjijjjiijEYPPPyyy 同理+-+-XYP() EX=P()d dEY=P()d dxyxxyx yyxyx y類似，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量（ ， ）的密度為，則有：，一、數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)(shxu)期望：期望：第1頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè)，共31頁(yè)。上式給出了求函數(shù)期望上式給出了求函數(shù)期望(qwng)的直接方法，我們還可以的直接方法，我們還可以 先求函數(shù)的分布列，再由期望先求函數(shù)的分布列，再

2、由期望(qwng)的定義求期望的定義求期望(qwng)。 1XYE(XY)例3.4.、 已知（ ， ）的聯(lián)合分布列,求Y1110.10.310.40.2 XZ11p0.70.3E XY( 1)( 1)*0.1 1*( 1)*0.4( 1)*1*0.3 1*1*0.20.4 法一：法二：先求分布列EZ1*0.71*0.30.4 ijijf( ,) P3.4.1Ef(X,Y)f( , )P( , )d dx yx yx yx y 定理第2頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè)，共31頁(yè)。3.4.2,aXY例在長(zhǎng)度為 的線段上任取兩點(diǎn) 和 ，求兩點(diǎn)間的平均長(zhǎng)度？XY0aXY解： 因?yàn)?和 都在 ， 上均勻分布，且 和

3、相互獨(dú)立。210,aXYP()a0 x yxy所以（ ， ）的聯(lián)合密度為，其他aa2001E |X-Y|X-Y|adxdy aaa2000 x1a(x-y)(y-x)a3xdxdydxdy 第3頁(yè)/共31頁(yè)第四頁(yè)，共31頁(yè)。二、期望二、期望(qwng)的性質(zhì)的性質(zhì) 1. E(XY)EXEYijijijE(XY)() pxy iijiijijijppxx iijjijppEXEYxy（以離散（以離散(lsn)型為例證明）型為例證明）nnnniiiiiii=1i 1i=1i 1EX )EX ,Ek X )k EX可推得： （2.XYEX YEX EY若， 相互獨(dú)立，則（）=ijijXYppp證明：

4、， 獨(dú)立，ijijijE(XY)()px y iijjijppxyEX EY第4頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，共31頁(yè)。例、將一枚骰子連續(xù)例、將一枚骰子連續(xù)(linx)擲擲20次，求點(diǎn)數(shù)之和的期望？次，求點(diǎn)數(shù)之和的期望？iiXi=1 220X解： 設(shè)第 次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為， ，點(diǎn)數(shù)之和為。i1P(Xk)k1,2,3,4,6.5,66ik 1117EXk(123456)662 20ii 1EXE(X )20ii 17EX20702 第5頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，共31頁(yè)。三、方差三、方差(fn ch) 2ii2i2X (EX) PDX=EX-EXEXP ( )dxxxx（）2iijij2(EX)PEXP( , )d

5、dxxx yyx（） （）2iijij2(EX) PEXP( , )d dxxx yx y （）DY ？第6頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，共31頁(yè)。:四、方差的性質(zhì)XY(X+Y)XYDDD若 ， 獨(dú)立，則2D XYE XYE XY 證： 2E XEXYEY 22E XEXYEY2 XEXYEY DXDY2E XEXYEY E XEXYEY E(XYXEYYEXEXEY)而EXYEX EEEEE EEEEEEEE0D()DD所以 D()DD請(qǐng)問(wèn)- 對(duì)嗎？第7頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè)，共31頁(yè)。 D()DD切記 nniii=112i 13nnXXX .X(1 DXDX)此式可推廣到 個(gè)隨機(jī)變量：若，相互獨(dú)立，則有

6、nn2iiiii=1i 1DXDX(2)第8頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè)，共31頁(yè)。二項(xiàng)分布可看作二項(xiàng)分布可看作(kn zu)n個(gè)獨(dú)立的兩點(diǎn)分布之個(gè)獨(dú)立的兩點(diǎn)分布之和和12nX ,X ,.X 獨(dú)立同分布，服從兩點(diǎn)分布iiEXpDXp(1p)nii=1AX=X二項(xiàng)分布中， 發(fā)生的次數(shù): EX=np DX=np(1-p)由期望和方差的性質(zhì)iiXX01P1 pp的分布列第9頁(yè)/共31頁(yè)第十頁(yè)，共31頁(yè)。練習(xí)練習(xí) 2、袋中裝有、袋中裝有m只顏色各不相同的球，從中任取一只，只顏色各不相同的球，從中任取一只， 有返回地取有返回地取n次，用次，用X表示表示(biosh)n次摸球中摸到不同次摸球中摸到不同顏色的數(shù)顏色的

7、數(shù) 目，求目，求EX=？1231231231231X ,X ,X,XU(0,6), XN(1,3), XE p( )E(X +2X -3X )=?D(X +2X -3X )=?x練習(xí) 、相互獨(dú)立求：123XU(0,6), XN(1,3), XE p(3)x解：123EX =3EX =1EX =3， ，123E(X +2X -3X )=3+2*1-3*3=-422312361D(X +2X -3X )=2 *33 *16129212361DX =DX =3DX129，請(qǐng)同學(xué)請(qǐng)同學(xué)(tng xu)們做下面?zhèn)冏鱿旅娴木毩?xí)：的練習(xí)：第10頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，共31頁(yè)。i1in1X0in1第 種顏色的

8、球在 次摸球中至少被摸到 次，解：令第 種顏色的球在 次摸球中 次也沒(méi)有被摸到，iinnniXX01p(1 1/m)1(1 1/m)EX1(1 1/m) 有分布列mmniii 1i 1EXEXEXm 1 (1 1/m)6mn6EX6 1(1 1/6)3.99若分析：分析：X表示表示n次摸球中摸到不同顏色的數(shù)目，而次摸球中摸到不同顏色的數(shù)目，而某一種某一種(y zhn)顏色可能被摸到一次二次顏色可能被摸到一次二次n次次，情況復(fù)雜，所以要研究它的對(duì)立事件。，情況復(fù)雜，所以要研究它的對(duì)立事件。即：袋中裝有即：袋中裝有6只顏色各不相同的球，從中任取一只顏色各不相同的球，從中任取一只，有返回地取只，有返

9、回地取6次，可以平均次，可以平均(pngjn)摸到摸到 4 不不同顏色的數(shù)。同顏色的數(shù)。第11頁(yè)/共31頁(yè)第十二頁(yè)，共31頁(yè)。五、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù),:我們?cè)谇懊孀C明方差性質(zhì)過(guò)程中曾得到如下命題X,Y,XXYY0EEE若相互獨(dú)立 則有:其逆否命題為XXYY0,X.,YEEE若則不獨(dú)立X,YXY,:1.?2?不獨(dú)立和 有關(guān)系試問(wèn)何種關(guān)系.親密 程度如何第12頁(yè)/共31頁(yè)第十三頁(yè)，共31頁(yè)。(X,Y),(XX)(YY)(XX)(YY)XY.:cov(X,Y)(XX)(YY)EEEEEEEEE 定義 若為二維隨機(jī)變量 又則稱為 和 的協(xié)方差記為(XY)XYEEE: 1Cov(X,Y)E XYEXEY2

10、XYCov(X,Y)03Cov(X,a)04Cov(X,Y)cov(Y,X)性質(zhì)、若 ， 獨(dú)立，則（反之不然）、12125Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)6Cov(X ,Y)(X ,Y)(X ,Y)7D(XY) =DX+DY Cov(X,Y)CovCov、n21122nniiijiji=11 i 0XYCov(XY)= 0XYCov(XY) 0XY從協(xié)方差的定義來(lái)看，它是“ 的偏差”與“ 的偏差”乘積的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)，時(shí)，稱 與 正相關(guān)，當(dāng)，時(shí)，稱 與 不相關(guān)，當(dāng)，時(shí)，稱 與 負(fù)相關(guān)。第14頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)，共31頁(yè)。,.EEDD現(xiàn)在 我們把和先進(jìn)行 標(biāo)準(zhǔn)化 再求協(xié)方差令:EE0D

11、D1顯然Cov(,) EEE() ()DDCov( ,)DD3.4.2(,),定義若 為二維隨機(jī)變量 則cov( ,)CorrDD為和的相關(guān)系數(shù).,是一個(gè)非常理想的數(shù)字特征 如下定理完滿的回答了我們提出的問(wèn)題。第15頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，共31頁(yè)。 定理: 設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為則有：（）(） 常數(shù)，使得（）2XY,E 引理：設(shè)（ ， ）為二維隨機(jī)變量，若則() 2222( )( XY)X2(XY)Ytg tE ttEt EE證明：考慮實(shí)變量 的二次函數(shù),( )0tRg t 對(duì)( )0g t二次方程沒(méi)有實(shí)根，或只有一重根，XYXY判別式 (） XYXY即(） 第16頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè)，共31頁(yè)。C

12、ov(X,Y)1XY2證明( )DD2XXYYXX(YY)EE22E( -E )( -E )E( -E )1由許瓦茲不等式可知20(2)1( )0( XY)0g tE t 0有重根t使得必要性0( XY)0E t22000( XY)( XY) ( XY)0D tE tE t從而有XY有方差的性質(zhì)知（ ） YX即（ a+b)=1 定理: 設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為則有：（）(） 常數(shù)，使得（）第17頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，共31頁(yè)。,0).是兩個(gè)隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差 它表示兩個(gè)隨機(jī)變量具有線性關(guān)系。（數(shù)值的大小表示相關(guān)的程度和性質(zhì)見(jiàn)下面的圖示：充分性充分性P(Y=aX+b)=1.XYYaXb若則 與 “

13、幾乎處處”有線性關(guān)系：Cov(X,Y)=EX-EXaX+b-E(aX+b)Cov(X,Y)DX DY2222aEX-EXa|a |EX-EXa EX-EX| 1即2=aEX-EX2DYD(aXb)a DX第18頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，共31頁(yè)。.0,表示正相關(guān).0, 表示負(fù)相關(guān).0,表示線性無(wú)關(guān)第19頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，共31頁(yè)。注，獨(dú)立但是 未必有，獨(dú)立。2234 41xy例 . . ，設(shè)（，）在單位圓上均勻分布，試問(wèn)和是否獨(dú)立？是否相關(guān)？ 2211P( )=0qita xyx解：222+ 1-X - 1-21-| 11P ( )=P( , )dd0 xxxxxx yyy其他2Y 21-|

14、1P ( )0yyy同理其他XYP()P ( ) P ( )xyxx顯然，XY即， ， 不獨(dú)立。第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，共31頁(yè)。+-EXP()d dxxyx y，22+1+ 1-1- 1-1d dxxxx y0EY=0同理+-EXYP()d dxyxyx y（），22+1+ 1-1- 1-1d dxxxyx y0CoVXYE(XY)EXEY000所以（ ， ）CoVXY00DXDYDXDY（ ， ）有XY即： ， 不相關(guān)。第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，共31頁(yè)。2212123.4.5 (X,Y)N(, ), 例，求相關(guān)系數(shù)？2211222221212122-12()()()()122(

15、1)1:Cov(X,Y)=()()21exxyyxydxdy 解2221222212122-12()()()1 12(1)1=()()21exyyxydxdy 1221222()()1u=1()v=xyy 作變換第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，共31頁(yè)。22uv-22122-Cov(X,Y)=uv 1v edudv2 22uv-2122-=uv 1edudv2 21212=0* 1+2* 2 1212Cov()Corr(X,Y)DX DY 22111222u 1v1dudvvxdxdyy 22uv-2122-+v edudv2 第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè)，共31頁(yè)。從本章第一節(jié)，我們知道：（，

16、）服從（ ， ）則有，獨(dú)立所以在二維正態(tài)分布中，所以在二維正態(tài)分布中，X，Y獨(dú)立和不相關(guān)獨(dú)立和不相關(guān)(xinggun)是是等價(jià)的。等價(jià)的。121122212123.4.611( ,).XYXYX Yxxxx x 例（投資風(fēng)險(xiǎn)組合）有一批資金，總量記為 ，今要投資甲、乙兩種證卷，設(shè)投資甲的資金為 ，投資乙的資金為 ，形成一個(gè)投資組合記 為投資甲證卷的收益率，記 為投資乙證卷的收益率，它們都是隨機(jī)變量，如果已知 和 的均值（平均收益）分別為 ，； 方差（代表風(fēng)險(xiǎn)）為， , 的相關(guān)系數(shù)為 ，試求該投資組合的平均收益與風(fēng)險(xiǎn)？并求使投資風(fēng)險(xiǎn)最小的方案。第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè)，共31頁(yè)。1211ZX

17、+ YX+(1- )Yxxxx解：組合收益111112 EZ=E( X+(1- )Y)=(1- )xxxx該組合的平均收益11221111DZD X+(1- )Y=DX(1- ) DY+2 (1- )Cov(X,Y)xxxxxx該組合的風(fēng)險(xiǎn)222211121112=(1- )+2 (1- )xxxx 22111211212DZ2-2(1- )-421dxxxdx 22121221212x 解之221DZ= -2 0ddx又22121221212x 所以，當(dāng)時(shí)，該組合平均收益最大。第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè)，共31頁(yè)。六、隨機(jī)六、隨機(jī)(su j)向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣向量的數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差陣

18、用矩陣的形式給出用矩陣的形式給出n維隨機(jī)向量的期望和方差，也就是設(shè)定維隨機(jī)向量的期望和方差，也就是設(shè)定(sh dn)一個(gè)一個(gè)“記號(hào)記號(hào)”，使復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化。，使復(fù)雜的式子簡(jiǎn)單化。 12n12n3.4.3nX(X ,X ,.X ) ,EX=(EX ,EX ,.EX )nXX定義，記 維隨機(jī)向量若每一個(gè)分量的期望都存在，則稱為維隨機(jī)向量 的數(shù)學(xué)期望向量。（簡(jiǎn)稱 的期望）112131n212232n313233nn13213nE(X-EX)(X-EX)DXCov(X ,X ) Cov(X ,X ).Cov(X ,X )Cov(X ,X )DXCov(X ,X ).Cov(X ,X )= Cov(X ,X ) Cov(X ,X )DX.Cov(X ,X ).Cov(X ,X ) Cov(X ,X ) Cov(X ,X ).DX稱第26頁(yè)/共31頁(yè)第二十七頁(yè)，共31頁(yè)。1112131n2122232n3132333nn1n2n3nn. .iijijDXij, i, j1,2,3,.nCov(X ,X ) ij.其中第27頁(yè)/共31頁(yè)第二十八頁(yè)，共31頁(yè)。ijn*n3.4.2, nCov(X)= Cov(XX )定理維隨機(jī)向量的協(xié)方差陣，是一個(gè)對(duì)稱的非負(fù)定矩陣。ijn*nCov(X)