第11課拋物線的畫法和性質(zhì)

1、幾何畫板簡(jiǎn)明教程 甘肅省環(huán)縣第一中學(xué)劉金堂第十一課 拋物線的畫法和性質(zhì) 一拋物線的定義1 在平面內(nèi)，與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： 從定點(diǎn)F向定直線l作垂線，垂足為K，取KF的中點(diǎn)O作為原點(diǎn)，KF所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)|KF|p，則F點(diǎn)的坐標(biāo)是 (, 0),準(zhǔn)線l的方程是x，設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是M(x, y)，自M點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足是D，則|MF|MD| |x| 圖111 整理得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y22px. (p>0) 二拋物線的畫法 畫法1：圖112 1先畫出定點(diǎn)

2、F和定直線l，按要求畫出直角坐標(biāo)系； 2在圖形外畫一條射線BC，在射線BC上取一點(diǎn)M(M點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn))； 3在BC反方向上取一點(diǎn)A，使|AB|OF|，作線段AM； 4以F為圓心，|AM|為半徑作圓； 5先后選定A、M點(diǎn)，用“變換”菜單中的“標(biāo)記向量”功能，標(biāo)記向量AM，選中 直線l，用“變換”菜單中的“平移”功能，將直線l平移；6平移后的直線與圓相交，定義交點(diǎn)為P、Q；將它們定義為“追蹤點(diǎn)”；先后選定 P、M兩點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線的一部分，同樣先后 選定Q、M兩點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線的另一部分； 在射線BC上拖動(dòng)M點(diǎn)，則P、Q兩點(diǎn)的軌跡畫出拋物線。

3、 理論根據(jù)：P點(diǎn)在以F為圓心，|AM|為半徑的圓上， |PF|AM|，又將準(zhǔn)線平移了AM的長(zhǎng)度， P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于|AM|。 畫法2圖113 1先畫出定點(diǎn)F和定直線l，按要求畫出直角坐標(biāo)系； 2在直線l上取一點(diǎn)M(M點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn))； 3連接MF，作線段MF的中垂線； 4過M點(diǎn)作直線l的垂線與MF的中垂線相交于P點(diǎn)，將它定義為追蹤點(diǎn)； 5先后選定P、M兩點(diǎn)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，得到拋物線； 6在直線l上拖動(dòng)M點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡是拋物線 理論根據(jù)： PM準(zhǔn)線，PM是P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，又|PF|是P點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離，P點(diǎn)在MF的中垂線上，所以|PM|PF|。 畫法3 1作長(zhǎng)方形ABCD，取

4、CD的中點(diǎn)O，作OHCD； 2將OD平均分成n份，在每個(gè)分點(diǎn)作CD的垂線A1A1，A2A2，； 3將DA也分成n份，連接每個(gè)分點(diǎn)與O點(diǎn)的線段OB1，OB2，； 4將A1A1與 OB1，A2A2與OB2，的交點(diǎn)畫出，用平滑的曲線依次連接對(duì)應(yīng)各點(diǎn)，得到拋物線的一半； 5同樣方法畫出另一半。 6在線段OD上取一點(diǎn)M，作MNOD，計(jì)算OM與OD的比，標(biāo)記為比例因子； 7以D點(diǎn)為放縮中心，將A點(diǎn)用標(biāo)記比縮放得到R點(diǎn)； 8連接OR，與MN交于P點(diǎn)； 9將P點(diǎn)標(biāo)記為追蹤點(diǎn)； 10把OH標(biāo)記為鏡面，作P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P，同時(shí)標(biāo)記為追蹤點(diǎn)； 11在OD上拖動(dòng)M點(diǎn)，則P點(diǎn)和P點(diǎn)的軌跡是拋物線。 說明： 第二步到第五步

5、，是解析幾何課本上給 圖114出的畫法，我們用第六步到第十一步在幾何畫板上實(shí)現(xiàn)。 三有關(guān)拋物線的問題研究 (一) 拋物線的焦點(diǎn)弦理論根據(jù)：拋物線y22px的焦點(diǎn)F(, 0)，過F點(diǎn)的弦AB兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)y1, y2，則y1y2p2， 在拋物線上選定A點(diǎn)之后，可以計(jì)算出B點(diǎn)的縱坐標(biāo)。利用它畫出B點(diǎn)。圖115 畫法： 1用焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即F點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”得到A點(diǎn)； 3從A點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，計(jì)算M點(diǎn)到x軸的距離； 4用y1y2p2，算出另一點(diǎn)N的縱坐標(biāo)y2, 5在準(zhǔn)線上找到縱坐標(biāo)為y2的B'點(diǎn)； 6用拋物線畫法2中的方法

6、畫出B'點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B； 7連接AB，則AB為拋物線的焦點(diǎn)弦； 8作AB的中點(diǎn)C，以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑作圓，此圓與準(zhǔn)線相切； 9選中A點(diǎn)，在拋物線上拖動(dòng)A點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)始終在拋物線上，且圓C與準(zhǔn)線相切。 結(jié)論：以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。 (二) 拋物線中過定點(diǎn)P(x0, y0)的弦 理論根據(jù)： 在拋物線y22px中作過定點(diǎn)P(x0, y0)的弦MN，設(shè)M(x1, y1), N(x2, y2), MN的中點(diǎn)C(x0, y0), 有, 兩式相減得 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2) , 直線MPN的斜率k, 由M、P兩點(diǎn)求出斜率k，即可求出y0的值，這樣就求得了M

7、N的中點(diǎn)C，用C點(diǎn)作為中心，就得到了M點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N。 畫法： 1用焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即F點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”得到M點(diǎn)； 3作直線MP，計(jì)算直線MP的斜率，記為k； 4用p, k的值計(jì)算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 5作y軸上，將原點(diǎn)O用標(biāo)記距離平移得到D點(diǎn)，過D點(diǎn)作x軸的平行線交直線MP于C點(diǎn)；圖116 6用變換菜單將C點(diǎn)標(biāo)記為中心，以C為中心，將P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到N點(diǎn)； 7作線段MN，并隱藏直線MP，線段MN就是過定點(diǎn)P的弦。 8在拋物線上拖動(dòng)M點(diǎn)，則N點(diǎn)始終在拋物線上且MN經(jīng)過P點(diǎn)，此時(shí)C點(diǎn)為MN的中點(diǎn)

8、。 (三) 作拋物線中斜率一定的平行弦 理論根據(jù)： 在拋物線y22px中作斜率為k的平行弦MN，設(shè)M(x1, y1), N(x2, y2), MN的中點(diǎn)C(x0, y0), 有, 兩式相減得 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2) , k, y0, 可求出y0的值，用y0的值作平行于x軸的直線與過M點(diǎn)且斜為率k的直線相交，就得到了MN的中點(diǎn)C，用C點(diǎn)作為中心，可得到了M點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N。 畫法： 1用焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即F點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”得到P點(diǎn)； 3在外面畫一條線段，計(jì)算它的斜率k； 4選中P點(diǎn)和此線段，用作圖菜單中的平行線功

9、能作直線PR； 5用p, k的值計(jì)算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 6作y軸上，將原點(diǎn)O用標(biāo)記距離平移得到D點(diǎn)，過D點(diǎn)作x軸的平行線交直線PR于M點(diǎn)； 7用變換菜單將M點(diǎn)標(biāo)記為中心，以M為中心，將P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到N點(diǎn)； 8作線段PQ，并隱藏直線PR，線段PQ就是斜率為k的弦。 9在拋物線上拖動(dòng)P點(diǎn)，則Q點(diǎn)始終在拋物線上且PQ的斜率為k，此時(shí)M點(diǎn)為MN的中點(diǎn)。圖117 (四) 過拋物線的頂點(diǎn)且相互垂直的弦 理論根據(jù)： 在拋物線中，A點(diǎn)為任意一點(diǎn)，則直線AO的斜率k1可求， OAOB， 直線OB的斜率k2可以求出，根據(jù)前面的畫圖方法，在拋物線上過定點(diǎn)O且斜率為k2的弦OB是

10、可以畫出的，這樣得到B點(diǎn)， OB與OA始終垂直。 畫法： 1用焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線畫一條拋物線，計(jì)算p的值，即F點(diǎn)到的距離； 2選中拋物線，用作圖菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”得到A點(diǎn)，作線段OA； 3選中點(diǎn)O和線段OA，作OA的垂線OB； 4用前面作平行弦的方法，以O(shè)為定點(diǎn)，k2為斜率，計(jì)算y0, 用變換菜單將它作為“標(biāo)記距離”； 5將O點(diǎn)在y軸上用“標(biāo)記距離”平移得到點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的平行線交直線OB于點(diǎn)N； 6把點(diǎn)N定義為旋轉(zhuǎn)中心，將O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)B，則點(diǎn)B在拋物線上； 7連接AB，ABC是一個(gè)直角三角形，AOB90° 8作AB的中點(diǎn)M將M點(diǎn)定義為追蹤點(diǎn)，在拋物線上拖動(dòng)A點(diǎn)

11、，觀察M的軌跡。圖118四拋物線的切線(一)過拋物線上一點(diǎn)P的切線：1在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一條拋物線，同時(shí)畫出它的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)；2在拋物線上取定點(diǎn)P，準(zhǔn)備畫過點(diǎn)P的切線；3連接線段PF，過點(diǎn)P作Ox軸的平行線交準(zhǔn)線于點(diǎn)D；4連接線段DF，作它的中點(diǎn)M；5連接直線PM，則直線PM是拋物線過點(diǎn)P的切線。理論根據(jù)：這種作圖的方法實(shí)際上是把畫拋物線的方法反過來的一種作法。在畫拋物線時(shí)，我們是先在準(zhǔn)線上取一點(diǎn)D，然后連接DF，作DF的中垂線PM與過點(diǎn)D且平行于Ox軸的直線交于點(diǎn)P。 圖119點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，而且這樣由點(diǎn)D確定拋物線上的點(diǎn)只有這一個(gè)點(diǎn)P，所以直線PM與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，直線PM是拋物線過點(diǎn)P的切線。(二) 過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的切線：1在平面直角坐標(biāo)系中，畫出一條拋物線，同時(shí)畫出它的準(zhǔn)線和焦點(diǎn)；2在拋物線外取定點(diǎn)P，準(zhǔn)備畫過點(diǎn)P的切線；3連接線段PF，以點(diǎn)P為圓心。|PF|為半徑作圓交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M和點(diǎn)N；4分別連接MF和NF，作MF和NF的中垂線，這兩條