（整理版）高考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)參考

1、廣東省高考數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)參考一、總體分析與-新課程高考相比，考綱所提內(nèi)容與要求根本穩(wěn)定，實(shí)質(zhì)變化只有一點(diǎn)：理科“不等式選講由前三年“自由選考改為今年“指定選考。況且今年實(shí)行調(diào)整方案，核心調(diào)整在“綜合科，數(shù)學(xué)顯然是要以穩(wěn)定為主。因此，今年將根本延續(xù)前三年高考內(nèi)容與形式，可以參考前三年試卷領(lǐng)會(huì)新課程高考之神韻；高考試題的解題難度也將保持穩(wěn)定，高考要保持區(qū)分度，數(shù)學(xué)要保持高區(qū)分度，要有助于將重點(diǎn)本科的學(xué)生區(qū)分出來(lái)，難度不會(huì)明顯變化。高考是高校招生考試，試題表達(dá)了高校對(duì)考綱的認(rèn)知和解讀。高校對(duì)學(xué)生的考查側(cè)重于本質(zhì)、整體和潛力，高中教學(xué)那么局限于形式、細(xì)節(jié)和眼前，從而形成頗有玩味的教學(xué)與高考的“博弈。建議

2、：學(xué)生要以“讀經(jīng)典的心態(tài)重做近三年新課程高考題，做出感覺(jué)、做出味道。二、關(guān)于選擇題選擇題就是要在四個(gè)選項(xiàng)中找到唯一正確的選項(xiàng)，不只是“不管白貓啥貓， 而且“不管用爪用棒還是用齒或者其他秘密武器，總而言之“抓到碩鼠就是好貓。但無(wú)論如何，每個(gè)學(xué)生都要有幾招是自己得心應(yīng)手的。包括：順向按部就班求解、順向跳躍式求解、圖形直觀求解，逆向排除、特征提取、條件篩選等。建議：掌握原理才能駕馭方法，在高考情景下，方法運(yùn)用需要靈活與綜合，至高境界是模塊化思考。因此，我們要不斷地做一些挑戰(zhàn)自我的選擇題，通過(guò)解題反思形成假設(shè)干自己的“方法，明晰方法之所以正確有效的“道理，以模塊化思考提高解題成效。開(kāi)始是否輸出結(jié)束輸入

3、以廣州二模假設(shè)干題為例：文4理5如右圖所示的算法流程圖中，假設(shè)，那么的值為a9 b8c6 d4抓住條件分支這個(gè)關(guān)鍵，得到函數(shù)，問(wèn)題迎刃而解文10函數(shù)，假設(shè)、且，那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是a b c d理7函數(shù)，假設(shè)、且，那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是a b c d順向求解：文10由得是單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由得，從而，。理7由得是偶函數(shù)，且在區(qū)間上遞增，由得，即逆向求解：文10由條件知，、是對(duì)稱或“對(duì)等的，因此可排除a與b，再取、檢驗(yàn)即知正確選項(xiàng)是c。理7、交替取特殊值、檢驗(yàn)即知正確選項(xiàng)是d文9高和的兩根旗桿筆直地豎在水平地面上，全且相距，那么地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡為 a圓 b橢圓

4、 c雙曲線 d拋物線這是空間背景下的平面動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題，如圖，由，得，即。假設(shè)頭腦中已儲(chǔ)藏“平面上到兩定點(diǎn)距離之比為不等于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，那么直接選a；假設(shè)無(wú)此儲(chǔ)藏，那么進(jìn)一步代數(shù)化，設(shè)，由得，觀察知，方程化簡(jiǎn)后、系數(shù)相等，是圓理4假設(shè)、是互不相同的空間直線，a假設(shè)，那么 b假設(shè)，那么c假設(shè)，那么 d假設(shè)，那么線面平行、垂直的選擇題，投影與視圖的選擇題都可以在一個(gè)長(zhǎng)方體模型中甄別，而不必每個(gè)選項(xiàng)分別構(gòu)造一個(gè)圖形，廣東卷07文6、08文7理5、09文6理5等莫不如此三、關(guān)于填空題填空題解題要求是準(zhǔn)確快速地得到結(jié)果，標(biāo)準(zhǔn)地表達(dá)結(jié)果。試題大致有兩類：一類是雙基應(yīng)用，另一類是找規(guī)律并應(yīng)用。填空題

5、通常是中檔題或容易題，解題通常是順向思維，運(yùn)用通性通法計(jì)算求解，關(guān)鍵是條件轉(zhuǎn)化。建議：填空題要追求高得分率，要將通性通法用實(shí)，解題過(guò)程可以根據(jù)學(xué)生和試題實(shí)際心算或跳步，但不提倡過(guò)度技巧化。以廣州二模假設(shè)干題為例：文12雙曲線：，的離心率，且它的一個(gè)頂點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離為，那么雙曲線的方程為 將試題條件轉(zhuǎn)化為方程組，解得，再代入理13的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為，那么該展開(kāi)式中的系數(shù) 將試題條件轉(zhuǎn)化為方程，即，觀察知，由得，從而文13理12右圖是一個(gè)有層的六邊形點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算作第一層，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，第層每邊有個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)陣的點(diǎn)數(shù)有 個(gè)試題轉(zhuǎn)化為數(shù)

6、列前項(xiàng)和問(wèn)題，其中是第層點(diǎn)的個(gè)數(shù)，試題條件轉(zhuǎn)化為，所以四、關(guān)于解答題總體特點(diǎn)。過(guò)程與結(jié)果有機(jī)結(jié)合、計(jì)算與推理有機(jī)結(jié)合、雙基與思想方法有機(jī)結(jié)合，具體較強(qiáng)的綜合性和知識(shí)跨度，表達(dá)從建立模型到運(yùn)用模型的全過(guò)程。因此，模型是解答題的主干和核心，是思想與方法的源泉，是整體把握解答題和提高解題成效的關(guān)鍵。各題特點(diǎn)。我們從模型角度分析各個(gè)解答題的根本結(jié)構(gòu)，常用的方法。三角題。根本模型有兩個(gè)：函數(shù)、三角形。函數(shù)模型。典型的結(jié)構(gòu)是：根據(jù)假設(shè)干給定條件確定函數(shù)，在此根底上討論函數(shù)性質(zhì)或求值。也有單一求值問(wèn)題。例1、在平面直角坐標(biāo)系中，、，且求角的值；設(shè)，且，求的最小值解：由得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即?/p>

7、時(shí)，取最小值，且評(píng)析：試題核心是三角計(jì)算，情景與條件有鮮明的幾何意義，試題求解綜合了較多三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)例2、平面向量，其中且，函數(shù)的圖象兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為求的值；求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)的的值解：由得，整理并化簡(jiǎn)得，依題意，又，所以，所以，所以的最大值為，相應(yīng)的評(píng)析：試題核心是三角函數(shù)性質(zhì)，情景與條件有鮮明的幾何意義，綜合了三角函數(shù)的對(duì)稱性、周期性和最值等，要求熟悉三角函數(shù)圖象，并以圖象和性質(zhì)引導(dǎo)計(jì)算三角形模型。典型的結(jié)構(gòu)是：根據(jù)假設(shè)干給定條件確定三角形的邊與角，在此根底上進(jìn)一步求解。給定條件方式有：坐標(biāo)、向量或方位，有應(yīng)用題特征。例3、在中，角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、，且求

8、的值；求的面積解：由和，得，因?yàn)?，約去得，由余弦定理，得，即，解得，所以的面積評(píng)析：試題核心是解三角形，因此除條件外，還有“雙基條件三角形內(nèi)角和定理、正弦定理和余弦定理解題關(guān)鍵是建立并求解方程組，其中用到三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換和整體代入等例4、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂在西偏北的方向上，仰角為，行駛后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上求此山的高度；設(shè)汽車行駛過(guò)程中仰望山頂?shù)淖畲笱鼋菫椋蠼猓涸O(shè)此山高，那么，在中，。根據(jù)正弦定理得，即，解得過(guò)作，垂足為，連接，那么，所以評(píng)析：這是有空間背景的解三角形問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，將各個(gè)條件向這個(gè)主三角形

9、集中，再通過(guò)正弦、余弦定理或其他根本性質(zhì)建立條件之間的聯(lián)系，列方程或列式求解應(yīng)用題。根本模型比擬多，而且文、理數(shù)學(xué)略有差異。主要有：回歸方程07年廣東文理、函數(shù)08廣東文、09江蘇、古典概型概率統(tǒng)計(jì)08、09廣東文理，08、09山東文理，08、09海南文理，09遼寧理，09天津文理，09安徽文理，09福建文理、幾何概型07海南理、線性規(guī)劃07山東文、三角形07山東理，07海南文理，09海南文理，09遼寧文理，09福建理、列聯(lián)表09遼寧文、數(shù)列等古典概型與統(tǒng)計(jì)。典型結(jié)構(gòu)是：在某一情景下給出數(shù)據(jù)，對(duì)具體數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)角度和概率角度的分析求解，并根據(jù)數(shù)字特征的意義進(jìn)行定性分析或解釋。例5、有編號(hào)011

10、2的12種食品，它們微量元素的含量依次是：42、45、85、94、100、108、133、138、150、175其中，平均含量和方差分別是100、1656求、；按編號(hào)用系統(tǒng)抽樣法從以上12種食品中隨機(jī)地抽4種分析微量元素，求06號(hào)食品被抽中的概率；如果微量元素與微量元素具有線性相關(guān)關(guān)系，抽樣所得樣本中，哪個(gè)樣本用來(lái)分析微量元素更有代表性？參考數(shù)值：解：依題意，即，解得依題意，被抽取的樣本有三組第一組，編號(hào)為01、04、07、10的食品；第二組，編號(hào)為02、05、08、11的食品；第三組，編號(hào)為03、06、09、12的食品。每一組被抽取是等可能的，06號(hào)食品在第三組，所以06號(hào)食品被抽中的概率三

11、組樣本微量元素的平均含量分別是，三組樣本的方差分別是1270.75、1444.5、1847.25，綜合比擬樣本與總體的均值和方差，第二組，即編號(hào)為02、05、08、11的4種食品組成的樣本更有代表性評(píng)析：這是數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、抽樣與樣本代表性、古典概型概率的綜合。解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字特征、抽樣等的統(tǒng)計(jì)意義進(jìn)行計(jì)算例6、5只動(dòng)物中有且僅有1只患病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液確定患病動(dòng)物。血檢呈陽(yáng)性即為患病，否那么沒(méi)患病?，F(xiàn)有以下兩種驗(yàn)血方案，每種驗(yàn)血方案都直到檢驗(yàn)出某動(dòng)物血液呈陽(yáng)性為止。甲：逐個(gè)隨機(jī)檢驗(yàn)。乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)，假設(shè)呈陽(yáng)性，說(shuō)明患病動(dòng)物在這3只之中，再對(duì)這3只逐個(gè)隨機(jī)檢驗(yàn)；否

12、那么，在另外兩只中逐個(gè)隨機(jī)檢驗(yàn)甲、乙哪個(gè)方案能更快檢驗(yàn)出患病動(dòng)物；求依方案乙所需檢驗(yàn)次數(shù)不多于依方案甲所需檢驗(yàn)次數(shù)的概率解：甲方案檢到某動(dòng)物血液呈陽(yáng)性所需要檢驗(yàn)次數(shù)為，乙方案檢到某動(dòng)物血液呈陽(yáng)性所需要檢驗(yàn)次數(shù)為，依題意，12345234其中，。，。，所以乙方案能更快檢驗(yàn)出患病動(dòng)物，即依方案乙所需檢驗(yàn)次數(shù)不多于依方案甲所需檢驗(yàn)次數(shù)的概率為評(píng)析：這是不同方案實(shí)質(zhì)是不同概型、不同隨機(jī)變量分析比擬的概率問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量及其分布列，知道是對(duì)哪個(gè)數(shù)字特征進(jìn)行比擬，再相應(yīng)地計(jì)算比擬。此題僅適合理科學(xué)生幾何概型與規(guī)劃。典型的結(jié)構(gòu)是：用適當(dāng)方式給定區(qū)域，分析統(tǒng)計(jì)量或目標(biāo)函數(shù)的幾何意義并求解。區(qū)域可

13、能是一維、二維或三維。例7、如圖，面積為的正方形中有一個(gè)不規(guī)那么的圖形，可按下面方法估計(jì)的面積：在正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，假設(shè)個(gè)點(diǎn)中有個(gè)點(diǎn)落入中，那么的面積的估計(jì)值為，假設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，的面積為1，并向正方形中隨機(jī)投擲個(gè)點(diǎn)，以表示落入中的點(diǎn)的數(shù)目求的均值；求用以上方法估計(jì)的面積時(shí)，的面積的估計(jì)值與實(shí)際值之差在區(qū)間內(nèi)的概率附表：解：每個(gè)點(diǎn)落入的概率為，所以依題意所求概率為評(píng)析：這是高考海南理數(shù)卷第20題，試題有幾何背景，但本質(zhì)是二項(xiàng)分布，解題關(guān)鍵是將兩聯(lián)系并統(tǒng)一起來(lái)，以二項(xiàng)分布為主線分析求解。此題僅適合理科學(xué)生例8、不等式組其中表示的平面區(qū)域記為，的最大值和最小值分別為、，求和的值；在中隨機(jī)取

14、一點(diǎn)，求的概率解：如圖，的值就是平面上直線在軸上的截距，而且當(dāng)是直線與直線的交點(diǎn)、直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最大小值。解得，解得。，。假設(shè)，即，那么，；假設(shè)，即，那么，。所以，、，或、假設(shè)、，那么即。直接計(jì)算知區(qū)域的面積，區(qū)域中局部的面積，所求概率。假設(shè)、，那么即。區(qū)域的面積，區(qū)域中局部的面積，所求概率評(píng)析：這是含參數(shù)據(jù)的、線性規(guī)劃與幾何概型的綜合，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，能適時(shí)運(yùn)用坐標(biāo)的幾何意義、點(diǎn)到直線距離或平行直線間的距離函數(shù)與數(shù)列。典型結(jié)構(gòu)是：在具體情景中表達(dá)量與量之間的關(guān)系，解題要求先用數(shù)學(xué)語(yǔ)言明晰數(shù)量關(guān)系、用數(shù)學(xué)方法求解、回到情景中解釋求解結(jié)果。例9、某旅館有相同標(biāo)準(zhǔn)的床鋪100張，根據(jù)

15、經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)旅館的床價(jià)即每床每天的租金不超過(guò)10元時(shí)，床位可以全部租出，當(dāng)床價(jià)高于10元，每提高1元，將有3張床空置。旅館定價(jià)條件是：床價(jià)為1元的整數(shù)倍；該旅館每天支出為575元，床位出租收入必須高于支出。假設(shè)用表示床價(jià)，表示每天出租床位的凈收入即除去每天支出后的收入把表示成的函數(shù)，并求出其定義域；如何定價(jià)，該旅館每天凈收入最多？解：依題意，所以，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，由和，解得，當(dāng)時(shí)，。綜上所述，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，因?yàn)椋苯佑?jì)算知，比擬得，每床每天的租金為22元時(shí)，該旅館每天凈收入最多評(píng)析：確定函數(shù)關(guān)系實(shí)質(zhì)就是將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言數(shù)學(xué)化，再用數(shù)學(xué)方法定量計(jì)算得出所要求的結(jié)果，關(guān)鍵是理解題意，將變量

16、的實(shí)際意義符號(hào)化例10、小王12月向銀行貸款20萬(wàn)元用于購(gòu)房，分期還款方式是：元月開(kāi)始，每月向銀行還款一次，每次金額都是元，到12月全部還清。貸款月利率為，每月利息按復(fù)利計(jì)算設(shè)小王第次還款后，欠銀行本利金額為，試用含、的代數(shù)式表示；假設(shè)貸款月利率為，小王每月應(yīng)向銀行還款多少元？參考數(shù)據(jù)：，解：為方便，記元。依題意，。依題意，所以元評(píng)析：購(gòu)房貸款是時(shí)政話題之一，此題與此相關(guān)。解題關(guān)鍵是了解復(fù)利計(jì)算規(guī)那么，將數(shù)列知識(shí)應(yīng)用于復(fù)利計(jì)算回歸方程與列聯(lián)表。典型的結(jié)構(gòu)是：確定根本數(shù)據(jù)、求回歸方程或獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量、根據(jù)方程或變量的意義進(jìn)一步運(yùn)用或解釋?？季V要求都是“了解。例11、某廠為了研究生產(chǎn)率與廢品率之

17、間的關(guān)系，記錄了4天的數(shù)據(jù)：生產(chǎn)率個(gè)/周100035004500廢品率%610用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程；根據(jù)所求得的回歸方程預(yù)測(cè)每周生產(chǎn)6000個(gè)時(shí)的廢品率解：直接計(jì)算得，所以時(shí)，評(píng)析：此題與07廣東卷類似，按回歸方程公式及其統(tǒng)計(jì)意義求解即可。類似問(wèn)題還有：控制生產(chǎn)率到達(dá)控制廢品率；預(yù)測(cè)廢品數(shù)需要注意的是，此題此題可通過(guò)“廢品率×生產(chǎn)率進(jìn)行預(yù)測(cè)，如果條件是“廢品數(shù)與生產(chǎn)率具有線性回歸關(guān)系，那么必須先“用最小二乘法求廢品數(shù)關(guān)于的線性回歸方程，再用此方程預(yù)測(cè)例12、在一次休閑方式調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人

18、主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)列聯(lián)表；檢驗(yàn)性別與休閑多大程度上有關(guān)系解：依題意，列聯(lián)表如下看電視運(yùn)動(dòng)合計(jì)女432770男213354合計(jì)6460124假設(shè)休閑方式與性別無(wú)關(guān)，計(jì)算。因?yàn)榈挠^察值，所以有理由認(rèn)為假設(shè)休閑方式與性別無(wú)關(guān)是不合理的，即有的把握認(rèn)為休閑方式與性別有關(guān)。評(píng)析：此題是在“了解獨(dú)立檢驗(yàn)只要求列聯(lián)表的根本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用的根底上按部就班地計(jì)算和解釋立體幾何。典型的結(jié)構(gòu)是：用假設(shè)干條件確定幾何體或其主體局部的框架，討論這個(gè)幾何體的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系以及數(shù)量與位置之間的相互關(guān)系。beadc例13、

19、如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱的延長(zhǎng)線上，且求證：平面；求證：平面平面；求四面體的體積證明與解：連接，因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，且，所以且，是平行四邊形，。又因?yàn)榍?，是平行四邊形，所以。因?yàn)槠矫?，平面，所以平面。連接、，那么平面即平面，由，知平面即平面。因?yàn)槭情L(zhǎng)方體，平面，所以。矩形中，所以，又，所以平面，平面，所以平面平面。四面體可以看作將長(zhǎng)方體沿它的四個(gè)面、將四面體以外的局部割去后得到，所以，其體積評(píng)析：這是深圳一模文數(shù)第18題，從中可以體會(huì)以下幾點(diǎn)，一是依據(jù)判定定理整體思考、形成思路；二是通過(guò)圖形變換，包括割、補(bǔ)、視圖和射影等，建立試題各要素之間；三是將不規(guī)那么圖形向自己熟悉的規(guī)那么圖形特別是長(zhǎng)方形轉(zhuǎn)化，

20、將根本空間圖形原有的性質(zhì)與試題條件有機(jī)結(jié)合，將試題要素“直接直觀地聯(lián)系起來(lái)或凸顯出來(lái)，使問(wèn)題求解自然而然圖圖例14、如圖，直角梯形中，是底邊的中點(diǎn)，沿將折起，使是直二面角如圖。在圖中過(guò)作平面，平面求證：平面；求點(diǎn)到平面的距離；求面與面所成二面角的余弦值證明與解：依題意，因?yàn)?，所以平面，過(guò)作，垂足為，那么平面，又因?yàn)槠矫?，所以，、共面，都在平面中，所以平面在四面體中，平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，那么，直接計(jì)算知，從而，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，那么，即，所以取，面的一個(gè)法向量為，所以面與面所成二面角的余弦值評(píng)析：此題有折疊、建立四面體、建

21、立空間直角坐標(biāo)系等方式“構(gòu)造空間圖形，當(dāng)然，構(gòu)造的方式還有視圖等；求解的問(wèn)題有線面關(guān)系、角度、距離等，其中僅適合理科學(xué)生。對(duì)理科學(xué)生而言，也可用向量法，在上述空間直角坐標(biāo)系下，面的一個(gè)法向量，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，解析幾何。典型的結(jié)構(gòu)是：根據(jù)假設(shè)干具體條件運(yùn)用待定系數(shù)法或軌跡法得到曲線方程，進(jìn)一步討論曲線或多曲線相聯(lián)系的位置關(guān)系、幾何性質(zhì)。例15、平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離之比為常數(shù)求點(diǎn)的軌跡方程；在軌跡上是否存在點(diǎn)，使得以為圓心且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的圓與直線相交于兩點(diǎn)、？假設(shè)存在，求的取值范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解：設(shè)是軌跡上任意一點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式

22、和點(diǎn)到直線距離公式，依題意有，化簡(jiǎn)得“圓與直線相交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)圓心到直線的距離小于圓的半徑，由知，所以，又由知，所以，解得評(píng)析：此題是橢圓與圓的綜合，解題要求先用軌跡法求軌跡方程，再討論動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，將方程中數(shù)量的幾何意義應(yīng)用于曲線幾何屬性的量化，將的結(jié)果自然地應(yīng)用于的求解例16、橢圓：，雙曲線與具有相同的焦點(diǎn)，且離心率互為倒數(shù)求雙曲線的方程；圓：()與兩曲線、交點(diǎn)一共有且僅有四個(gè)，求的取值范圍；是否存在，使得順次連接這四個(gè)交點(diǎn)所得到的四邊形是正方形？解：依題意，設(shè)雙曲線的方程為，橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為，所以，解得，橢圓的頂點(diǎn)為、，雙曲線的頂點(diǎn)為，橢圓與雙曲線的交點(diǎn)為，。所

23、以圓與兩曲線、有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)或或直線與橢圓的交點(diǎn)為，因?yàn)?，且，所以，以為圓心、為半徑的圓與兩曲線、的交點(diǎn)不只四個(gè)，不合要求直線與雙曲線的交點(diǎn)為，符合要求，即時(shí)，交點(diǎn)有且僅有四個(gè)，順次連接這四個(gè)交點(diǎn)所得到的四邊形是正方形評(píng)析：此題是橢圓、雙曲線與圓的綜合，解題要求先用待定系數(shù)法求軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合討論曲線的幾何性質(zhì)，第問(wèn)關(guān)鍵是運(yùn)用曲線的對(duì)稱性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化從而簡(jiǎn)化計(jì)算。另外，圓錐曲線的一些數(shù)量關(guān)系常用向量表示：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，動(dòng)點(diǎn)滿足，那么動(dòng)點(diǎn)軌跡也是曲線例17、設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大，記點(diǎn)的軌跡為曲線求點(diǎn)的軌跡方程；設(shè)圓過(guò)，且圓心在曲線上，是圓在軸上截得的弦，當(dāng)運(yùn)動(dòng)

24、時(shí)弦長(zhǎng)是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由解：依題意，化簡(jiǎn)得，到軸的距離為，圓的半徑，那么，由知，所以，是定值評(píng)析：這是解析幾何中的定值問(wèn)題，解題步驟通常是：一般條件下求解、化簡(jiǎn)、說(shuō)明所求解的結(jié)果是否為定值。定值問(wèn)題還有定點(diǎn)、定直線等數(shù)列。典型的結(jié)構(gòu)是：用遞推、對(duì)應(yīng)等條件間接給定一個(gè)或多個(gè)數(shù)列，要求明確數(shù)列的通項(xiàng)，并進(jìn)一步求解例18、數(shù)列的首項(xiàng)，是首項(xiàng)為1、公差為3的等差數(shù)列求的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前項(xiàng)和解：依題意，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，即和都是公差為3的等差數(shù)列。因?yàn)?，所以，即，兩式相加得兩式相減得：，所以，評(píng)析：數(shù)列最根底的知識(shí)是等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，以及推導(dǎo)公式過(guò)程中表達(dá)的思想方法，

25、數(shù)列問(wèn)題大多數(shù)需要向這些最根底的知識(shí)轉(zhuǎn)化，綜合試題具體條件運(yùn)用這些最根底的知識(shí)例19、設(shè)數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，對(duì)，求的通項(xiàng)公式；求證：；假設(shè)，對(duì)恒成立，求的取值范圍解：由得，。時(shí)，兩式相減得，所以，從而由得，假設(shè)()是奇數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)；假設(shè)()是偶數(shù)，即當(dāng)時(shí)有。綜上所述，的取值范圍是評(píng)析：多個(gè)數(shù)列通常意味著多種形式的數(shù)列、多層次問(wèn)題，解題通常需要有開(kāi)闊的視野和思路，能適中選擇、適時(shí)轉(zhuǎn)換，關(guān)鍵是用等差等比數(shù)列性質(zhì)處理好“起始數(shù)列，不等式的處理那么要求適度“放大或“縮小，處理好端點(diǎn)函數(shù)。作為壓軸題之一，函數(shù)題既有知識(shí)廣度，也有解題深度。包括函數(shù)根本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)、不等式等。例20

26、、函數(shù)，是常數(shù)討論的單調(diào)性；求時(shí)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；求證：，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)證明與解：，假設(shè)，那么，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；假設(shè)，那么在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；假設(shè)，由解得，直接討論知，在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增觀察得，時(shí)，由得在單調(diào)遞減，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；，計(jì)算得，且在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單調(diào)性比擬知，存在充分大的，使，且在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在上從而在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)取，由得單調(diào)遞減，所以，從而，由單調(diào)遞增得評(píng)析：?jiǎn)握{(diào)性刻畫函數(shù)兩個(gè)變量變化趨的一致性，是認(rèn)識(shí)函數(shù)的重要角度，運(yùn)用單調(diào)性可以確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，導(dǎo)數(shù)使單調(diào)性可以定量、精確研究

27、，是重要工具。參數(shù)是可變的常數(shù)，處理參數(shù)是比擬高端的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例21、在上定義運(yùn)算：(、是常數(shù))，如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點(diǎn)；記的最大值為，假設(shè)對(duì)任意的、恒成立，試求的取值范圍參考公式：解：依題意，解得或。假設(shè)，在上單調(diào)遞減，在處無(wú)極值；假設(shè)，直接討論知，在處有極大值，所以為所求解得或，切點(diǎn)分別為、，相應(yīng)的切線為或。解得或；解即得或。綜合可知，時(shí)，斜率為的切線只有一條，與曲線的公共點(diǎn)只有，時(shí)，斜率為的切線有兩條，與曲線的公共點(diǎn)分別為、和、。假設(shè)，那么在是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)榕c之差的絕對(duì)值，所以。假設(shè)，在取極值，那么，。假設(shè)，；假設(shè)，。當(dāng)，時(shí)，在上的最大值。

28、所以，的取值范圍是評(píng)析：這是函數(shù)綜合的另一種類型，包括新定義函數(shù)、極值、切線、絕對(duì)值、參數(shù)與不等式等，要求從多方面比擬深入地探討函數(shù)性質(zhì)，解題關(guān)鍵是把握主要變量和主要的數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)參考1，當(dāng)、且時(shí)，總有求的值；設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；對(duì)，恒成立，求的取值范圍其中且解：依題意，取得，即，所以。當(dāng)時(shí)，、，有，所以，兩式相加，并由得，所以由得，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以的取值范圍是評(píng)析：是恒等、定值問(wèn)題；是根據(jù)用倒序相加求數(shù)列通項(xiàng)；是別離變量并求它的取值范圍二次函數(shù)、假設(shè)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求證：；假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩零點(diǎn)是相鄰兩整數(shù)，求證：；假設(shè)函數(shù)有兩非整數(shù)零點(diǎn)，且這兩零點(diǎn)在相鄰兩整數(shù)之間

29、，試證明：存在整數(shù)，使得證明：無(wú)零點(diǎn)，設(shè)，那么，所以設(shè)相鄰兩整數(shù)兩整數(shù)為、，那么，且，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，從而即。所以或。假設(shè)，那么，從而；假設(shè)，那么，從而。所以，存在整數(shù)或，使得評(píng)析：是零點(diǎn)概念；是代數(shù)恒等變形；是含參數(shù)的二次函數(shù)，是對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)比擬綜合和深刻的考查，如果將看作由平移而來(lái)，那么有明顯的幾何意義35 69 10 12 設(shè)是集合中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即，將數(shù)列各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原那么寫成如下的三角形數(shù)表：寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第五行的各數(shù)；求可用的形式表示；設(shè)是這個(gè)三角形數(shù)表第行各數(shù)的和，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：從左到右依次是、第行有個(gè)數(shù)，設(shè)在第行，那么，解得，即

30、是第行第個(gè)數(shù)，依題意，兩式相減，并由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式得評(píng)析：是將數(shù)表的排列“規(guī)律具體運(yùn)用到某一行；是探討和、的聯(lián)系；從數(shù)列中別離或錯(cuò)位相減構(gòu)造出等差等比數(shù)列，再運(yùn)用等差等比數(shù)列的性質(zhì)求解函數(shù)、，數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；當(dāng)與這兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)為中的最小項(xiàng)時(shí)，求的值；假設(shè)數(shù)列滿足對(duì)，都有成立，求數(shù)列中的最大項(xiàng)解：是關(guān)于的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為，所以“與這兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)為中的最小項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)，、由得，從而，解即得假設(shè)是偶數(shù)，那么最小項(xiàng)為；假設(shè)是奇數(shù)，那么最小項(xiàng)為評(píng)析：是用疊加與等差數(shù)列性質(zhì)求通項(xiàng)；是函數(shù)角度看數(shù)列，并用二次函數(shù)性質(zhì)求解數(shù)列問(wèn)題；是從“和式中別離數(shù)列，用比擬法討論數(shù)列的最大項(xiàng)(適

31、合理科學(xué)生)某種電子玩具按下按健后，會(huì)出現(xiàn)紅球和綠球。按鍵第一按下后，出現(xiàn)紅球和綠球的概率都是，從按鍵第二按下起，假設(shè)前次出現(xiàn)紅球，那么下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是、；假設(shè)前次出現(xiàn)綠球，那么下一次出現(xiàn)紅球、綠球的概率分別是、。記第次按下按鍵后出現(xiàn)紅球的概率為求；時(shí)，求解：依題意，時(shí)，設(shè)常數(shù)，使，即，解得，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，解得評(píng)析：是理解題意，求最簡(jiǎn)單的第二項(xiàng)；是將題中文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，建立遞推關(guān)系，通過(guò)適當(dāng)“平移將一次遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比關(guān)系，依據(jù)等比數(shù)列根本性質(zhì)求解設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，求的最大值；設(shè)，用表示的最大值，求的解析式、的最小值及相應(yīng)的的值解：解得或極大值極小值

32、解得或，所以的最大值由知在的值域是或，即，所以在的值域是，由解得，由解得，所以，從而的最小值為，相應(yīng)的評(píng)析：是求函數(shù)在含參數(shù)區(qū)間的最值，通常是先討論函數(shù)在整個(gè)“定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，再討論給定區(qū)間內(nèi)的最值；含參數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題，通常要先絕對(duì)值內(nèi)部，再整體如圖，三棱臺(tái)，等邊三角形所在的平面與底面垂直，且，設(shè)，求點(diǎn)到面的距離；(適合理科學(xué)生)求二面角的余弦值；設(shè)，試將表示為的函數(shù)解：作，垂足為，因?yàn)槊婷?，所以，因?yàn)樗浴ＴO(shè)到面的距離為，由，即，解得過(guò)作，以為原點(diǎn)，、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，那么，取得，同理，平面的一個(gè)法向量，所以二面角的余弦值為設(shè)，那么，由

33、得，根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式，所以評(píng)析：是等體積法求點(diǎn)到平面的距離；是在一個(gè)非長(zhǎng)方體中建立空間直角坐標(biāo)系求二面角的余弦值；是確定一些空間點(diǎn)的坐標(biāo)，求空間兩點(diǎn)的距離數(shù)列，、是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，、是公差為的等差數(shù)列，、是公差為的等差數(shù)列，假設(shè)，求；求的取值范圍；設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)的和解：依題意，解得前項(xiàng)的和，第個(gè)項(xiàng)的和，第個(gè)項(xiàng)的和，時(shí)；時(shí)。即評(píng)析：這是一個(gè)分段等差的數(shù)列，解題關(guān)鍵是“分與“合的轉(zhuǎn)換、代數(shù)運(yùn)算函數(shù)，其中且分別判斷在上的單調(diào)性；比擬與、與的大小，由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論，并證明；比擬與、與的大小，由此歸納出一個(gè)更一般的結(jié)論，并證明解：，假設(shè)，那么，所以；假設(shè)，那么，所以，因此，任

34、意且，都有，在上的單調(diào)遞增直接計(jì)算知，根據(jù)根本不等式，所以，又因?yàn)?，所以假設(shè)，。記，。與類似地討論知，對(duì)和且都有，在上的單調(diào)遞增，所以，即，根據(jù)根本不等式，所以假設(shè)，。記，設(shè)，那么且，類似的討論知，從而，在上單調(diào)增加，所以，評(píng)析：是根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)討論一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；都是由特殊到一般地討論函數(shù)的單調(diào)性，“特殊局部主要用到根本不等式，“一般局部主要用到構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，其中的“一般局部需要兩次構(gòu)造函數(shù)；考慮到函數(shù)的奇偶性，的結(jié)論可進(jìn)一步擴(kuò)大為，；的結(jié)論可進(jìn)一步擴(kuò)大為，函數(shù)，其中是常數(shù)判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；對(duì)，不等式恒成立，求常數(shù)的取值范圍解：，假設(shè)，在定義域區(qū)

35、間上單調(diào)增加；假設(shè)，由解得，在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加設(shè)，其中。，。假設(shè)，那么，從而， ；假設(shè)，那么，從而， ；假設(shè)，解，得或，而且是的一個(gè)極小值點(diǎn)。綜上所述，使不等式恒成立的的取值范圍是評(píng)析：是討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；是數(shù)列不等式，需要關(guān)注兩點(diǎn)，一是構(gòu)造函數(shù)并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列不等式，二是根據(jù)解題要求選擇是否別離變量。此題用別離變量比擬難處理，需要用到一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)(別離變量)等價(jià)于，設(shè)，其中。，且，所以，即單調(diào)減少，又，所以在的最小值為，且，所以，的取值范圍是這是用高數(shù)檢驗(yàn)ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u

36、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u

37、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u

38、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u

39、ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u

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