期末考試復習題

1、例例4 設設X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.（一）、連續(xù)型分布的情形一、隨機變量和一、隨機變量和的分布：的分布：Z = X + YZ = X + Y 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( yzdxdyyxf),(dyyyzfzFzfZZ),()()(由由X和和Y的對稱性

2、的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dxxzxfzFzfZZ),()()(以上兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式以上兩式是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式. 特別，當特別，當X和和Y獨立，設獨立，設(X,Y)關于關于X,Y的邊緣密的邊緣密度分別為度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個公式稱為這兩個公式稱為卷積公式卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(（二）、離散型分布的情形例例1 若若X、Y獨立，獨立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, , 求求Z

3、=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨立性由獨立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2, 離散卷積計算舉例 定義：設序列x(n),h(n),它們的卷積和y(n)定義為 運算：翻褶、移位、相乘、相加 mmnhmxnhnxny)()()()()(mmnhmxnhnxnynnnhnnnnx)()()()()(, 020, 1)(, 031,21)(則其他其他01231/213/2nx(n)012n1h(n)01231/213/2mx(m)在亞變量坐標m上作出x(m),h(m)0

4、12m1h(m)h(-m)1.翻褶翻褶：h(-m)2.移位移位：h(0-m)3.相乘相乘：1乘乘04.相加相加：y(0)=0+0+ +0 =02.移位移位：h(1-m)3.相乘相乘：1乘乘0；1乘乘1/24.相加相加：y(1)=0+1/2 =1/2h(1-m)h(2-m)2.移位移位：h(2-m)3.相乘相乘：1乘乘0；1乘乘1/2; 1乘乘14.相加相加：y(1)=0+1/2+1 =3/20m-2-1123mmnhmxnhnxny)()()()()(01231/213/2mx(m)23123)5(251012311021)4(312311121) 3(2311121)2(21121) 1 (

5、0)0(yyyyyy-1 0 1234 5y(n)n1/23/235/23/2Matlab離散信號的卷積 我們試舉一例來看conv的功能，已知序列f1(k)和f2(k)如下所示： f1(k)=1,(0k2) f2(k)=k,(0k3) 則調(diào)用conv( )函數(shù)求上述兩序列的卷積和的MATLAB命令為： f1=ones(1,3); f2=0:3; f=conv(f1,f2) 運行結果為：f0 13 6 5 3 考題類型： 南方某海域的網(wǎng)箱養(yǎng)殖業(yè)者憑多年經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，甲品種一年齡鮑魚體重滿足下列的分布律：養(yǎng)成3頭及以下的概率為0，4頭概率為a4， 5頭概率為a5， 6頭概率為a6， 7頭概率為a7，

6、8頭概率為a8， 9頭概率為a9， 10頭概率為a10， 11頭概率為a11， 12頭概率為a12， 13頭概率為a13， 14頭概率為a14， 15頭及以上的概率為0。乙品種一年齡鮑魚體重滿足下列的分布律：養(yǎng)成4頭及以下的概率為0，5頭概率為b5， 6頭概率為b6， 7頭概率為b7， 8頭概率為b8， 9頭概率為b9， 10頭概率為b10， 11頭概率為b11， 12頭概率為b12， 13頭概率為b13， 14頭及以上的概率為0。試問：（1）甲、乙品種各一只鮑魚體重之和的分布律； （2）隨機稱取甲、乙品種各一斤鮑魚，總計恰好有20只的概率。二、周期信號的頻譜計算二、周期信號的頻譜計算 因為周

7、期信號不滿足序列傅里葉變換絕對可和的條件，即不滿足：|( )|f t dt 因此，周期信號不能直接不能直接進行傅里葉變換。 問題：是不是周期信號就不存在傅里葉變換呢？ 回答：存在，但不能直接進行傅里葉變換。（一）、正、余弦函數(shù)的傅里葉變換 在學習周期信號的傅里葉變換之前，先看個幾個重要函數(shù)的傅里葉變換。0cos()?Ft0sin()?Ft000000000000000012( )( )( ()2()2()cos() ()()2sin() ()()2jtjtjtjtjtjtjtFF ef tf jF eF eeeFtFeeFtFjj 解:單位直流信號的傅立葉變換根據(jù)頻移性質(zhì)有：根據(jù)歐拉公式()F

8、 j()X j0000余弦信號的頻譜圖正弦信號的頻譜圖一般步驟：1、 將周期信號展開成傅里葉級數(shù)的疊加；2、對展開的傅里葉級數(shù)進行傅里葉變換；3、根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，周期信號 的傅里葉變換就是其傅里葉級數(shù)的傅里 葉變換的疊加。（二）、常見周期信號的傅里葉變換0T1T2T2( )cos()2( )1( )012nnnjn tnnTjn tTnAftAn tftF eFft edtnT 周期信號的傅里葉級數(shù)展開 三角形式： 指數(shù)形式： ， ， ，. 請問：我們到底該展開成哪種形式？1、周期信號的傅里葉級數(shù)展開2()jntjntjntnnnnnnnnFF eF FeFF eFn 2、傅里葉級數(shù)

9、的傅里葉變換 根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，周期信號傅里葉級數(shù)（指數(shù)形式）的傅里葉變換：3、周期信號的傅里葉變換 根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)，周期信號的傅 里葉變換就是其傅里葉級數(shù)的傅里葉變換的 疊加。T( )2()jn tnnnnF ftFF eFn 所以：最后的結論 周期信號的傅里葉變換由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各次諧波 處，其強度為對應幅度 的 倍。 nF2n 22n22224.6-1111F( )2|sin()sin()2220, 1,2,2TTjn tjn tTTjn tf t edtedtTTeTjnnnnnTnTT例周期性矩形脈沖信號p (t),其周期為T，脈沖寬度

10、為 ，幅度為 ，試求其頻譜函數(shù)。2()sin()22()22T2sin()2()nnnnFFnnnnTnFnn TTp (t)又p (t) 二、 周期矩形脈沖的頻譜對稱的周期性矩形脈沖12 2 0TT T2 tPTt小結2 ,2sin()2nnn 周期矩形脈沖信號的傅立葉變換由位于 =0,等處的沖激函數(shù)組成，其在處的強度為。 由上面的結論，可以得到周期信號的頻譜密度是離散的。比較周期信號傅立葉系數(shù)和傅立葉變換 對周期信號進行傅立葉級數(shù)展開得到的傅立葉系數(shù)。 對周期信號進行傅立葉變換得到是頻譜密度函數(shù) 頻譜圖上看兩者相似，但表達的含義不同*4、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的一般聯(lián)系 周期信號有傅里葉級

11、數(shù)展開和傅里葉變換兩種形式。 我們看看這兩種方式到底有什么關系? 卷積存在下面的一個公式：T0T0T( )( )*( )( )( )ftf ttf tft其中為截取周期信號的第一個周期后得到的信號。T0T0T0T0( )( )*( )( )( )()()( )()()nnF ftf ttF f tFtFjnF ftFjnn 時域卷積定理沖激函數(shù)的取樣根據(jù) 根據(jù) 性質(zhì)00TT000( )2()( )()12()()()2T()|T:1(nnnnnnnF ftFnF ftFjnnFFjnFFjnFjnFFj 比較上面的兩個式子，得到：或者01()|TnnFFj 周期信號的傅里葉系數(shù)等于其在第一個周

12、期的信號的傅里葉變換 在頻率為 處的值乘以 。n1T0()Fj結 論考題類型： 不對稱的周期性矩形脈沖信號 其周期為T，脈沖的寬度為 ，幅度值為E。 試求：（1）將其以傅立葉級數(shù)的復數(shù)形式表示；（2）計算其中三個復數(shù)系數(shù)C0，C-1，C+1；（3）求其頻譜函數(shù)； tTP第33頁 課本圖示的 串聯(lián)電路, 若外加電動勢為正弦交流電壓 ,求開關閉合后, 回路中電流 及電容器兩端電壓 。 e esinmtUt i t CutRC e eRCuut 根據(jù)irchhoff定律，有 ,.CRuuRi ti tCt d dd d其中第34頁 sinCCmuRCutUtt d de ed d 00Cutt CC

13、RCsUsUse t L得對方程的兩邊取Laplace變換,得設 ,CCutUs L 且 sincoscossinme tUtt LL第35頁 22cossinmUss 22cossinmCCURCsUsUsss 得2222cossinmmUU sss cossin.1mCUsUsRC sssRC jjjj1231,.sssRC j jj j CUs的一階極點即第36頁 1cossin11tmRCCURCutRCRCRC e ejjjj.,.得 cossincossin1122ttRCRC j jj jj jj je ee ej jj jj jj j化簡得 2222221cossin11tmR

14、CCURCutCRRCC e e第37頁, 2222ttmURCRCRC jjjjeeeejjjj22222222211cossin111tmRCURCCRRRCCC e e 22222222211cossin111mURCttCRRRCCC 第38頁1,zRC j j2221,zRC ,mmUIz ., coscossinsintmRCCIutC e e coscossinsinmIttC coscostmmRCIItCC e e令則第39頁 Cuti tCt d dd d 1costmRCIi tCCRC e e sinmItC cossintmRCmIItR C e e因為過渡電流，所以

15、考題類型： 課本圖示的RC串聯(lián)電路，電阻大小為R（），電容大小為C（F），外加電動勢為余弦交流電壓 （V）。 試求：（1）開關t=0閉合，回路中電流 ； （2）開關t=0閉合，電容器兩端電壓 ；（3）t=3秒時，回路中電流值，電容器電壓； 0.25100cos2202tte ti tu第41頁 22222000000lim,0 xuuaxttxuutt tutu x tx ，=0=0利用Laplace變換求解定解問題:二、偏微分的Laplace變換解法第42頁對方程的兩邊關于t取Laplace變換,設 ,.u x tU x st s LL得 2222,0,0uus U x ssu xs U x

16、 stt t L d de ed de ed d2222222200,ststuutu x ttU x sxxxdx L第43頁 0,0,utUs s L lim,0 xU x s 問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的邊值問題: 2222,00, lim,0 xsU x sU x sxaUs sU x s d dd d第44頁 12,ssxxaaU x scc e ee e 12,0csc 得方程的通解為:代入邊界條件得得 ,sxaUx s s e e第45頁 -1,u x tU x s L e e-1sxa s L0,xtaxxttaa 對上式取Laplace逆變換, 得求如圖所示的單個半正弦波 的Laplace變換. f tEOt2T f t 1ft 2ftEOtOtE2T2TTT 由前圖可知由前圖可知, , 所以所以 12f tftft12