電磁場與電磁波試題及答案.

1、1. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡要說明其物理意義。2.答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為，(3分)（表明了電磁場和它們的源之間的全部關(guān)系除了真實(shí)電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源；除電荷外，變化的磁場也是電場的源。1. 寫出時(shí)變電磁場在1為理想導(dǎo)體與2為理想介質(zhì)分界面時(shí)的邊界條件。 2. 時(shí)變場的一般邊界條件 、。 (或矢量式、)1. 寫出矢量位、動態(tài)矢量位與動態(tài)標(biāo)量位的表達(dá)式,并簡要說明庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的意義。 2. 答矢量位；動態(tài)矢量位或。庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的作用都是限制的散度，從而使的取值具有唯一性；庫侖規(guī)范用在靜態(tài)場，洛侖茲規(guī)范用在時(shí)變場。1.

2、簡述穿過閉合曲面的通量及其物理定義  2.     是矢量A穿過閉合曲面S的通量或發(fā)散量。若> 0，流出S面的通量大于流入的通量，即通量由S面內(nèi)向外擴(kuò)散，說明S面內(nèi)有正源若< 0，則流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面內(nèi)匯集，說明S面內(nèi)有負(fù)源。若=0，則流入S面的通量等于流出的通量，說明S面內(nèi)無源。1. 證明位置矢量 的散度，并由此說明矢量場的散度與坐標(biāo)的選擇無關(guān)。2. 證明在直角坐標(biāo)系里計(jì)算 ，則有 若在球坐標(biāo)系里計(jì)算，則 由此說明了矢量場的散度與坐標(biāo)的選擇無關(guān)。1. 在直角坐標(biāo)系證明2. 1. 簡述亥姆霍茲定理并舉例說明。 2. 亥

3、姆霍茲定理研究一個(gè)矢量場，必須研究它的散度和旋度，才能確定該矢量場的性質(zhì)。 例靜電場 有源 無旋1. 已知 ，證明。2. 證明 1. 試寫出一般電流連續(xù)性方程的積分與微分形式 ，恒定電流的呢？2. 一般電流；恒定電流1. 電偶極子在勻強(qiáng)電場中會受作怎樣的運(yùn)動？在非勻強(qiáng)電場中呢？2. 電偶極子在勻強(qiáng)電場中受一個(gè)力矩作用，發(fā)生轉(zhuǎn)動；非勻強(qiáng)電場中，不僅受一個(gè)力矩作用，發(fā)生轉(zhuǎn)動，還要受力的作用，使 電偶極子中心 發(fā)生平動，移向電場強(qiáng)的方向。1. 試寫出靜電場基本方程的積分與微分形式 。2. 答靜電場基本方程的積分形式 ， 微分形式 1. 試寫出靜電場基本方程的微分形式，并說明其物理意義。 2

4、. 靜電場基本方程微分形式 ，說明激發(fā)靜電場的源是空間電荷的分布（或是激發(fā)靜電場的源是是電荷的分布）。1. 試說明導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)特性。2. 答導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)特性有導(dǎo)體內(nèi) ；導(dǎo)體是等位體（導(dǎo)體表面是等位面）；導(dǎo)體內(nèi)無電荷，電荷分布在導(dǎo)體的表面(孤立導(dǎo)體，曲率)； 導(dǎo)體表面附近電場強(qiáng)度垂直于表面，且 。1. 試寫出兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。 2. 答在界面上D的法向量連續(xù) 或（）；E的切向分量連續(xù)或（）1. 試寫出1為理想導(dǎo)體，二為理想介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。 2. 在界面上D的法向量 或（）；E的切向分量或（）1. 試寫出電位函數(shù)表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件。2. 答電

5、位函數(shù)表示的兩種介質(zhì)分界面靜電場的邊界條件為，1. 試推導(dǎo)靜電場的泊松方程。 2. 解由     ，其中  ， 為常數(shù)      泊松方程 1. 簡述唯一性定理，并說明其物理意義2. 對于某一空間區(qū)域V，邊界面為s，滿足 ， 給定 （對導(dǎo)體給定q） 則解是唯一的。只要滿足唯一性定理中的條件，解是唯一的，可以用能想到的最簡便的方法求解（直接求解法、鏡像法、分離變量法），還可以由經(jīng)驗(yàn)先寫出試探解，只要滿足給定的邊界條件，也是唯一解。不滿足唯一性定理中的條件無解或有多解。 1. 試寫出恒定電場的邊界條件。 2. 答恒定電

6、場的邊界條件為 ，1. 分離變量法的基本步驟有哪些? 2. 答具體步驟是1、先假定待求的位函數(shù)由兩個(gè)或三個(gè)各自僅含有一個(gè)坐標(biāo)變量的乘積所組成。2、把假定的函數(shù)代入拉氏方程，使原來的偏微分方程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)或三個(gè)常微分方程。解這些方程，并利用給定的邊界條件決定其中待定常數(shù)和函數(shù)后，最終即可解得待求的位函數(shù)。 1. 敘述什么是鏡像法？其關(guān)鍵和理論依據(jù)各是什么？ 2. 答鏡像法是用等效的鏡像電荷代替原來場問題的邊界，其關(guān)鍵是確定鏡像電荷的大小和位置，理論依據(jù)是唯一性定理。7、 試題關(guān)鍵字恒定磁場的基本方程1. 試寫出真空中恒定磁場的基本方程的積分與微分形式，并說明其物理意義。 2. 答真空中恒定磁場的基

7、本方程的積分與微分形式分別為 說明恒定磁場是一個(gè)無散有旋場，電流是激發(fā)恒定磁場的源。1. 試寫出恒定磁場的邊界條件，并說明其物理意義。2. 答:恒定磁場的邊界條件為:,，說明磁場在不同的邊界條件下磁場強(qiáng)度的切向分量是不連續(xù)的，但是磁感應(yīng)強(qiáng)強(qiáng)度的法向分量是連續(xù)。1. 一個(gè)很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明垂直于平面的軸上處的電場強(qiáng)度中，有一半是有平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。2. 證明半徑為、電荷線密度為的帶電細(xì)圓環(huán)在軸上處的電場強(qiáng)度為故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在軸上處的電場強(qiáng)度為而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在軸上處的電場強(qiáng)度為1. 由矢量位的表示式證明磁感應(yīng)強(qiáng)度的積分公式并證明2. 答 1. 由麥

8、克斯韋方程組出發(fā)，導(dǎo)出點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度公式和泊松方程。 2. 解 點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程和由得據(jù)散度定理，上式即為利用球?qū)ΨQ性，得故得點(diǎn)電荷的電場表示式由于，可取，則得即得泊松方程1. 寫出在空氣和的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。2. 解 空氣和理想導(dǎo)體分界面的邊界條件為根據(jù)電磁對偶原理，采用以下對偶形式即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件式中，Jms為表面磁流密度。1. 寫出麥克斯韋方程組（在靜止媒質(zhì)中）的積分形式與微分形式。2. 1. 試寫媒質(zhì)1為理想介質(zhì)2為理想導(dǎo)體分界面時(shí)變場的邊界條件。2. 答邊界條件為或 或  或 或   1. 試

9、寫出理想介質(zhì)在無源區(qū)的麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式。 2. 答 1. 試寫出波的極化方式的分類，并說明它們各自有什么樣的特點(diǎn)。 2. 答波的極化方式的分為圓極化，直線極化，橢圓極化三種。圓極化的特點(diǎn)，且的相位差為，直線極化的特點(diǎn)的相位差為相位相差，橢圓極化的特點(diǎn)，且的相位差為或，1. 能流密度矢量（坡印廷矢量）是怎樣定義的？坡印廷定理是怎樣描述的？ 2. 答能流密度矢量（坡印廷矢量）定義為單位時(shí)間內(nèi)穿過與能量流動方向垂直的單位截面的能量。坡印廷定理的表達(dá)式為或，反映了電磁場中能量的守恒和轉(zhuǎn)換關(guān)系。 1. 試簡要說明導(dǎo)電媒質(zhì)中的電磁波具有什么樣的性質(zhì)？（設(shè)媒質(zhì)無限大）2. 答導(dǎo)電媒質(zhì)中的電磁波性質(zhì)有

10、電場和磁場垂直；振幅沿傳播方向衰減 ；電場和磁場不同相；以平面波形式傳播。 2. 時(shí)變場的一般邊界條件 、。 (寫成矢量式、一樣給5分) 1. 寫出非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式，并簡要說明其物理意義。2. 答非限定情況下麥克斯韋方程組的微分形式為（表明了電磁場和它們的源之間的全部關(guān)系除了真實(shí)電流外，變化的電場（位移電流）也是磁場的源；除電荷外，變化的磁場也是電場的源。 1. 寫出時(shí)變電磁場在1為理想導(dǎo)體與2為理想介質(zhì)分界面時(shí)的邊界條件2. 時(shí)變場的一般邊界條件 、。 (寫成矢量式、一樣給5分)1. 寫出矢量位、動態(tài)矢量位與動態(tài)標(biāo)量位的表達(dá)式,并簡要說明庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的意義。2.

11、.答矢量位；動態(tài)矢量位或。庫侖規(guī)范與洛侖茲規(guī)范的作用都是限制的散度，從而使的取值具有唯一性；庫侖規(guī)范用在靜態(tài)場，洛侖茲規(guī)范用在時(shí)變場。1. 描述天線特性的參數(shù)有哪些？2. 答描述天線的特性能數(shù)有輻射場強(qiáng)、方向性及它的輻射功率和效率。1. 天線輻射的遠(yuǎn)區(qū)場有什么特點(diǎn)？2. 答天線的遠(yuǎn)區(qū)場的電場與磁場都是與1/r成正比，并且它們同相，它們在空間相互垂直，其比值即為媒質(zhì)的本征阻抗，有能量向外輻射。1. 真空中有一導(dǎo)體球A， 內(nèi)有兩個(gè)介質(zhì)為空氣的球形空腔B和C。 其中心處分別放 置點(diǎn)電荷和， 試求空間的電場分布。2. 對于A球內(nèi)除B、C 空腔以外的地區(qū)，由導(dǎo)體的性質(zhì)可知其內(nèi)場強(qiáng)為零。 對 A

12、球 之外， 由于在A 球表面均勻分布  的電荷， 所以 A 球以外區(qū)域    （方向均沿球的徑向） 對于 A內(nèi)的B、C空腔內(nèi)，由于導(dǎo)體的屏蔽作用則   (為B內(nèi)的點(diǎn)到B 球心的距離)     (為C內(nèi)的點(diǎn)到C球心的距離)1. 如圖所示， 有一線密度 的無限大電流薄片置于平面上，周圍媒質(zhì)為空氣。試求場中各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。               

13、   2. 根據(jù)安培環(huán)路定律, 在面電流兩側(cè)作一對稱的環(huán)路。則                   由                         

14、0;                                                  

15、60;                       1. 已知同軸電纜的內(nèi)外半徑分別為 和 ,其間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率 為，且電纜長度， 忽略端部效應(yīng)， 求電纜單位長度的外自感。2. 設(shè)電纜帶有電流 則               

16、60;                                                   &

17、#160;                                                  

18、                                                   

19、;             1. 在附圖所示媒質(zhì)中，有一載流為的長直導(dǎo)線，導(dǎo)線到媒質(zhì)分界面的距離為。 試求載流導(dǎo)線單位長度受到 的作用力。2. 鏡像電流       鏡像電流在導(dǎo)線處產(chǎn)生的值為     單位長度導(dǎo)線受到的作用力    力的方向使導(dǎo)線遠(yuǎn)離媒質(zhì)的交界面。   

20、0;  1.  圖示空氣中有兩根半徑均為a，其軸線間距離為 d 的平行長直圓柱導(dǎo)體，設(shè)它們單位長度上所帶的電荷 量分別為和 ， 若忽略端部的邊緣效應(yīng)，試求 (1) 圓柱導(dǎo)體外任意點(diǎn)p 的電場強(qiáng)度的電位的表達(dá)式 ；(2) 圓柱導(dǎo)體面上的電荷面密度與值。2.              以y軸為電位參考點(diǎn)，則         

21、;                   1. 圖示球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑， 外導(dǎo)體內(nèi)徑 ，其間充有兩種電介質(zhì)與， 它們的分界面的半徑為。 已知與的相對介電常數(shù)分別為 。 求此球形電容器的電 容。2. 解1. 一平板電容器有兩層介質(zhì)，極板面積為,一層電介質(zhì)厚度，電導(dǎo)率，相對介電常數(shù)，另一層電介質(zhì)厚度，電導(dǎo)率。 相對介電常數(shù)， 當(dāng)電容器加有電壓 時(shí)， 求(1)  電介質(zhì)中的電流 ；

22、(2)  兩電介質(zhì)分界面上積累的電荷 ；(3)  電容器消耗的功率 。2. (1)          (2)(3)  1. 有兩平行放置的線圈，載有相同方向的電流，請定性畫出場 中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布(線)。2. 線上、下對稱。      1. 已知真空中二均勻平面波的電場強(qiáng)度分別為: 和求合 成波電場強(qiáng)度的瞬時(shí)表示式及極化方式。2. 得        

23、0;  合成波為右旋圓極化波。 1. 圖示一平行板空氣電容器， 其兩極板均為邊長為a 的 正方形， 板間距離為d， 兩板分別帶有電荷量 與，現(xiàn)將厚度 為d、相對介電常數(shù)為， 邊長為a 的正方形電介質(zhì)插入平行板電容器內(nèi)至處，試問該電介質(zhì)要受多大的電場力？ 方向如何？ 2. (1)解 當(dāng)電介質(zhì)插入到平行板電容器內(nèi)a/2處， 則其電容可看成兩個(gè)電容器的并聯(lián)靜電能量                  &#

24、160;                     當(dāng)  時(shí)，其方向?yàn)閍/2增加的方向，且垂直于介質(zhì)端面。1. 長直導(dǎo)線中載有電流，其近旁有一矩形線框，尺寸與相互 位置如圖所示。設(shè)時(shí)，線框與直導(dǎo)線共面時(shí)，線框以均勻角速度 繞平行于直導(dǎo)線的對稱軸旋轉(zhuǎn)，求線框中的感應(yīng)電動勢。2. 長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度      

25、60;                                                  &#

26、160;             時(shí)刻穿過線框的磁通                                    

27、60;                      感應(yīng)電動勢                         參考方向時(shí)為順時(shí)針方向。 &#

28、160; 1. 無源的真空中，已知時(shí)變電磁場磁場強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量為                          試求(1) 的值 ; (2) 電場強(qiáng)度瞬時(shí)矢量和復(fù)矢量(即相量)。2. （1)             

29、  由   得       故得  (2)                        1. 證明任一沿傳播的線極化波可分解為兩個(gè)振幅相等, 旋轉(zhuǎn)方向相反的圓極化波 的疊加。2. 證明 設(shè)線極化波       

30、;                                                  

31、;   其中 :                                               

32、                                                   

33、;                     和分別是振幅為的右旋和左旋圓極化波。 1.  圖示由兩個(gè)半徑分別為和的同心導(dǎo)體球殼組成的球形 電容器，在球殼間以半徑 為分界面的內(nèi)、外填有兩種不同的介質(zhì)， 其 介電常數(shù)分別為 和 ，試證明此球形電容器的電容 為       2. 證明設(shè)內(nèi)導(dǎo)體殼外表面所帶的電荷量為Q，則

34、60;                              兩導(dǎo)體球殼間的電壓為                  

35、0;  (證畢)                            1. 已知求(1) 穿過面積 在方向的總電流 (2) 在上述面積中心處電流密度的模；(3) 在上述面上的平均值 。2. (1)        

36、60;                                        (2)  面積中心 ,    ,     &

37、#160;                                                (3)  的平均值 1. 兩個(gè)互相

38、平行的矩形線圈處在同一平面內(nèi)， 尺寸如圖所示， 其中，。略去端部效應(yīng)，試求兩線 圈間的互感。2. 設(shè)線框帶有電流，線框的回路方向?yàn)轫槙r(shí)針。線框產(chǎn)生的為                                      &#

39、160;                                                   

40、               1. 用有限差分法計(jì)算場域中電位，試列出圖示正方形網(wǎng)格中內(nèi)點(diǎn)的拉普拉斯方程的差分格式和內(nèi)點(diǎn)的泊松方程的差分格式。2. 1. 已知， 今將邊長為的方形線框放置在坐標(biāo)原點(diǎn)處，如圖，當(dāng)此線框的法線分別沿、 和方向時(shí)，求框中的感應(yīng)電動勢。2. (1) 線框的法線沿時(shí)由得 (2)  線 框 的 法 線 沿 時(shí)         &

41、#160;                                                    

42、60;      線框的法線沿時(shí)1. 無源真空中，已知時(shí)變電磁場的磁場強(qiáng)度  為； , 其中、為常數(shù)，求位 移電流密度 。2. 因?yàn)?#160;  由   得                               

43、                                                   

44、;                                             1. 利用直角坐標(biāo)系證明2. 證明左邊=（=右邊1. 求無限長直線電流的矢量位

45、和磁感應(yīng)強(qiáng)度。2. 解直線電流元產(chǎn)生的矢量位為積分得當(dāng)附加一個(gè)常數(shù)矢量則則由1. 圖示極板面積為S、間距為 d的平行板空氣電容器內(nèi)，平行地放入一塊面積為S、厚度為a、介電常數(shù)為的介質(zhì)板。 設(shè)左右兩極板上的電荷量分別為與 。若忽略端部的邊緣效應(yīng)，試求 (1) 此電容器內(nèi)電位移與電場強(qiáng)度的分布；(2) 電容器的電容及儲存的靜電能量。2. 解1） ，  2)                   

46、0;                                                  

47、60;     1. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為求（1）平面波的傳播方向； （2）頻率； （3）波的極化方式； （4）磁場強(qiáng)度； （5）電磁波的平均坡印廷矢量。 2. 解（1）平面波的傳播方向?yàn)榉较颍?）頻率為（3）波的極化方式因?yàn)?，故為左旋圓極化（4）磁場強(qiáng)度（5）平均功率坡印廷矢量1. 利用直角坐標(biāo)，證明2. 證明左邊=右邊 1. 1 求矢量沿平面上的一個(gè)邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。2. 解 又所以故有1. 同軸線內(nèi)外半徑分別為和，填充的介質(zhì)

48、，具有漏電現(xiàn)象，同軸線外加電壓，求（1）漏電介質(zhì)內(nèi)的；（2）漏電介質(zhì)內(nèi)的、；（3）單位長度上的漏電電導(dǎo)。 2. 解（1）電位所滿足的拉普拉斯方程為由邊界條件所得解為（2）電場強(qiáng)度變量為，則漏電媒質(zhì)的電流密度為（3）單位長度的漏電流為單位長度的漏電導(dǎo)為1. 如圖 所示，長直導(dǎo)線中載有電流 ，一 矩形導(dǎo)線框位于其近旁，其兩邊與直線平行并且共面，求導(dǎo)線框中的感應(yīng)電動勢。2. 解載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度的大小為              

49、0;                                                 

50、0;    穿過線框的磁通量                                     線框中的感應(yīng)電動勢      

51、0;       參考方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。1. 空氣中傳播的均勻平面波電場為，已知電磁波沿軸傳播，頻率為f。求 (1)磁場； (2)波長； (3)能流密度和平均能流密度； (4)能量密度。2. 解（1）（2）（3）（4）1. 平行板電容器的長、寬分別為和，極板間距離為。電容器的一半厚度()用介電常數(shù)為的電介質(zhì)填充， （1）板上外加電壓，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；（2）若已知板上的自由電荷總量為，求此時(shí)極板間電壓和束縛電荷；（3）求電容器的電容量。2. （1） 設(shè)介質(zhì)中的電場為，空氣中的電場為。由，有又由于由以上兩式解得故下極板的

52、自由電荷面密度為上極板的自由電荷面密度為電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度故下表面上的束縛電荷面密度為上表面上的束縛電荷面密度為（2）由得到故（3）電容器的電容為1. 頻率為的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿（）方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為、，。設(shè)電場沿方向，即；當(dāng)，時(shí)，電場等于其振幅值  。試求 （1） 和； （2） 波的傳播速度； （3） 平均波印廷矢量。 2. 解以余弦形式寫出電場強(qiáng)度表示式把數(shù)據(jù)代入則（2）波的傳播速度（3）平均坡印廷矢量為1. 在由、和圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量驗(yàn)證散度定理。2. 解 在圓柱坐標(biāo)系中所以又故有1. 求（1）矢量的散度；（2）求對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方

53、體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。2. 解 （1）（2）對中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為（3）對此立方體表面的積分故有1. 計(jì)算矢量對一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。2. 解 又在球坐標(biāo)系中所以1. 求矢量沿平面上的一個(gè)邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。2. 解 又所以故有1. 證明（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。2. 解 （1）（3）設(shè) 則故1. 兩點(diǎn)電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場強(qiáng)度。2. 解 電荷在處產(chǎn)生的電場為電荷在處產(chǎn)生的電場為故處的電場為1

54、. 兩平行無限長直線電流和，相距為，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力。2. 解 無限長直線電流產(chǎn)生的磁場為直線電流每單位長度受到的安培力為式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長度受到的安培力為1. 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為，當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。2. 解 球面上的電荷面密度為當(dāng)球體以均勻角速度繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量點(diǎn)處的電流面密度為將球面劃分為無數(shù)個(gè)寬度為的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為細(xì)圓環(huán)的電流為細(xì)圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的

55、磁場為1. 半徑為的球體中充滿密度的體電荷，已知電位移分布為其中為常數(shù)，試求電荷密度。2. 解 由，有故在區(qū)域在區(qū)域1. 一個(gè)半徑為薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為為的體電荷，球殼上又另充有電荷量。已知球內(nèi)部的電場為，設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算（1） 球內(nèi)的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。2. 解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為（2）球體內(nèi)的總電量為球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)表面上感應(yīng)電荷，而且在球殼外表面上還要感應(yīng)電荷，所以球殼外表面上的總電荷為2，故球殼外表面上的電荷面密度為1. 中心位于原點(diǎn)，邊長為的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為。（1）計(jì)算面束縛

56、電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。2. 解 （1） 同理（2） 1. 一半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，其內(nèi)均勻分布自由電荷，證明中心點(diǎn)的電位為2. 解 由可得到即故中心點(diǎn)的電位為1. 一個(gè)半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，球內(nèi)的極化強(qiáng)度，其中為一常數(shù)。（1） 計(jì)算束縛電荷體密度和面密度；（2） 計(jì)算自由電荷密度；（3）計(jì)算球內(nèi)、外的電場和電位分布。2. 解 （1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為在的球面上，束縛電荷面密度為（2）由于，所以即由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為總的自由電荷量（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度分別為 介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為1. 如圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽

57、可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。2. 解 根據(jù)題意，電位滿足的邊界條件為 根據(jù)條件和，電位的通解應(yīng)取為 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內(nèi)的電位分布1. 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為，其間有一極薄的導(dǎo)體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平面上，從到，電位線性變化，。2. 解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間（電壓為）的電位，即；是兩個(gè)電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時(shí)的電位，其邊界條件為 根據(jù)條件和，可設(shè)的通解為由條件有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到1. 如題（）圖所示，在的下半空間是介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣，距離介質(zhì)平面距為處有一點(diǎn)電荷。求（1）和的兩個(gè)半空間內(nèi)的電位；（2）介質(zhì)表面上的極化電荷密度，并證明表面上極化電荷總電量等于鏡像電荷。2. 解 （1）在點(diǎn)電荷的電場作用下，介質(zhì)分界面上出現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界面上的極化電荷。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題