3.2角動量的時間變化率力矩續(xù)ppt課件

1、5.1 5.1 角動量角動量 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量上講上講1.1.角動量角動量vmrprL 質(zhì)點質(zhì)點自自旋旋軌軌道道LLvmrvMrLiiiicc 質(zhì)點系質(zhì)點系定軸剛體定軸剛體 JmrLiiiz 2* *必須指明參考點，角動量才有實際意義。必須指明參考點，角動量才有實際意義。2. 2. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 iiimrJ2mrJd2 積分元的選取積分元的選取積分限的確定積分限的確定5.2 5.2 角動量的時間變化率角動量的時間變化率 力矩力矩( (續(xù)續(xù)) )一、質(zhì)點角動量的時間變化率一、質(zhì)點角動量的時間變化率FrtL ddprL=由由：質(zhì)點角動量的時間變化率等于質(zhì)點所受的合力矩質(zhì)點角動量的時間變化率等

2、于質(zhì)點所受的合力矩FrM 二、力矩二、力矩1. 1. 對參考點的力矩：對參考點的力矩：2. 2. 對對z z軸的力矩軸的力矩: :對參考點的力矩在對參考點的力矩在z z軸上的投影。軸上的投影。 FrMzxyzyFxFM 注意：力矩求和只能對同一參考點或軸進展；注意：力矩求和只能對同一參考點或軸進展； 合力與合力矩的區(qū)別。合力與合力矩的區(qū)別。三、質(zhì)點系角動量的時間變化率三、質(zhì)點系角動量的時間變化率由個質(zhì)點由個質(zhì)點 組成的質(zhì)點系，組成的質(zhì)點系，Nm,m,m211m2m3m12F21F13F31F32F23F外外1F外外3F外外2Fo3r1r2r各質(zhì)點對參考點各質(zhì)點對參考點o o點的角動點的角動量分

3、別為量分別為12,NL LL 各質(zhì)點受力情況如圖各質(zhì)點受力情況如圖d?dLt質(zhì)點系角動量質(zhì)點系角動量的時間變化率的時間變化率12dd()ddNLLLLttddiiiiLrFMt質(zhì)點角動量的時間質(zhì)點角動量的時間變化率變化率內(nèi)內(nèi)外外內(nèi)內(nèi)外外內(nèi)內(nèi)外外NNNMMtLMMtLMMtL dddddd222111 iiiiiiMMtLLt內(nèi)內(nèi)外外dddd兩邊求和得兩邊求和得由圖可知由圖可知0 iiM內(nèi)內(nèi)1 2 12f21f1m2m1r2rdo?于是于是外外外外iiFrMtL idd質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系所受質(zhì)點系總角動量的時間變化率等于質(zhì)點系所受外力矩的矢量和外力矩的矢量和 ( (合外力矩合外

4、力矩 ) )注意注意1 1： 合外力矩合外力矩 是質(zhì)點系所受各外力矩是質(zhì)點系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。的矢量和，而非合力的力矩。外外M注意注意2 2：質(zhì)點系內(nèi)力矩的作用：質(zhì)點系內(nèi)力矩的作用不能改變質(zhì)點系總角動量，但是影響總角動量不能改變質(zhì)點系總角動量，但是影響總角動量在系內(nèi)各質(zhì)點間的分配。在系內(nèi)各質(zhì)點間的分配。 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，長為，長為 的細桿在水平粗糙桌面上的細桿在水平粗糙桌面上繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿的密度與離軸距離成正繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn)，桿的密度與離軸距離成正比，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為比，桿與桌面間的摩擦系數(shù)為 ，求摩擦力矩。，求摩擦力矩。 mL 解：解：rkr

5、rmddd 設桿的線密度設桿的線密度kr 22d2d2Lrmrm,Lmk 得得2021ddkLrkrmmL 由由omdfdzr rrLmgmgfd2dd2 frMdd mgLrrLmgMML 32d2d022 2d2dLrmrm omdfdzr 實際意義實際意義ff rRo半徑半徑 R ，質(zhì)量，質(zhì)量 m 的勻質(zhì)圓盤，與桌的勻質(zhì)圓盤，與桌面間摩擦系數(shù)面間摩擦系數(shù) ，求摩擦力矩求摩擦力矩等效等效kr 簡化模型：簡化模型：長長 R ，線密度，線密度 總質(zhì)量總質(zhì)量 m 的細桿的細桿omd fdzr四四. . 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律tLMdd 外外tLMzzdd 由由 JLz zzdLddM

6、=(J)= J= Jdtdtdt得得 JMz 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律力矩的瞬時效應是產(chǎn)生角加速度力矩的瞬時效應是產(chǎn)生角加速度比較比較 JMamFzJ是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。m是物體平動慣性的量度。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體平動狀態(tài)的原因FzM改變物體繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因改變物體繞軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因地位相同地位相同 JMz 剛體定軸轉(zhuǎn)動問題剛體定軸轉(zhuǎn)動問題平動問題平動問題amF 矢量式矢量式標量式標量式例例1: 1: 一定滑輪的質(zhì)量為一定滑輪的質(zhì)量為 ，半徑為，半徑為 ，一輕繩，一輕繩兩邊分別系兩邊分別系 和和 兩物體掛于滑輪上，繩不伸兩物體掛

7、于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。m1m2mr2m1mrm知：知：0021 , r,m,m,m求：求： ?t 思路：思路：質(zhì)點平動與剛體定軸轉(zhuǎn)動關(guān)聯(lián)問題質(zhì)點平動與剛體定軸轉(zhuǎn)動關(guān)聯(lián)問題十六字訣十六字訣先求角加速度先求角加速度 解：在地面參考系中，分別以解：在地面參考系中，分別以 為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律 和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律建立方程。m,m,m21考慮：考慮：

8、?TT?aa2121 2m1mrm1T1agm1)(amTgmm1:11111 向向下下為為正正2a2Tgm2)(amgmTm2:22222 向上為正向上為正r+1T2TNmg四個未知數(shù)：四個未知數(shù)：三個方程三個方程 ？ ,T,T, aaa2121 繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關(guān)系：繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關(guān)系：)(ra4 解得解得 rmmmgmm 212121 rmmmgtmmt 2121210 滑輪滑輪 m：以順時針方向為正方向：以順時針方向為正方向)(mrJrTrT321221 如圖示，兩物體質(zhì)量分別為如圖示，兩物體質(zhì)量分別為 和和 ，滑輪質(zhì)量，滑輪質(zhì)量為為 ，半徑為

9、，半徑為 。知。知 與桌面間的滑動摩擦系數(shù)與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為為 ，求，求 下落的加速度和兩段繩中的張力。下落的加速度和兩段繩中的張力。 1mm2mr2m 1m2m1momr 解：在地面參考系中，選取解：在地面參考系中，選取 、 和滑輪為研究和滑輪為研究對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得：對象，分別運用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律得： 1m2m練習練習1.2m2Tagm2gm2 N1m1Tagm1列方程如下：列方程如下： ramrr )TT(amgmTamTgm 22122211121可求解可求解o1T2TxNyN向里向里+ +例例2. 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂

10、直于盤的固定的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為光滑軸轉(zhuǎn)動，繞過盤的邊緣有質(zhì)量為 m、長為、長為 l 的勻質(zhì)柔軟繩的勻質(zhì)柔軟繩索如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側(cè)繩長差索如圖）。設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側(cè)繩長差為為 s 時，繩的加速度的大小。時，繩的加速度的大小。解：在地面參考系中，建立如圖解：在地面參考系中，建立如圖 x 坐標，設繩兩端坐標分別為坐標，設繩兩端坐標分別為x1，x2，滑輪半徑為，滑輪半徑為 r 有：有：rxxBBABAAl 21,xlmm,xlmm2BB1AA rlmm AB21xxs ox1x2sMABA B rxm用隔

11、離法列方程：（以逆時針方向為正）用隔離法列方程：（以逆時針方向為正）2221rmMrJJJABABM amTgmAA 1JrTrT 21amgmTBB 2T1JT2r.CAT1mAg.CBT2mBgBAoox1x2sMABA B rxmCBCA解得：解得：l )Mm(mgsa21 ra 又又：21xxs ox1x2sMABA B rxmCBCA5.3 5.3 角動量定理角動量定理一、角動量定理的微分形式一、角動量定理的微分形式1.1.質(zhì)點質(zhì)點MFrtL dd由由：tMLdd 得：得：2.2.質(zhì)點系質(zhì)點系tJJMdd 軸軸由由：tMJdd軸軸得得： 外外由由：MtLddtMLdd外外得得： 3.

12、3.定軸剛體定軸剛體二、角動量定理的積分形式二、角動量定理的積分形式tLMdd tLMdd 外外 JM 軸軸積分形式積分形式 （有限時間過程）（有限時間過程）微分微分形式形式質(zhì)點質(zhì)點質(zhì)點系質(zhì)點系定軸定軸剛體剛體瞬時瞬時效應效應 JJtMtt2121dd軸軸LLtMLLtt 2121ddLLtMLLtt 2121dd外外tMJdd軸軸 tMLdd tMLdd外外 注意注意1. 力矩對時間的積累：角沖量沖量矩）力矩對時間的積累：角沖量沖量矩）定義：定義： 21dtttM效果：改變角動量效果：改變角動量3. 同一式中，同一式中， 等角量等角量 要對同一參考點或同一軸計算。要對同一參考點或同一軸計算。

13、 ,J,L,Mp一定時間過程的變化量與一定時間過程的變化量與 對應對應 21dtttF時間變化率與時間變化率與 對應對應F2.比較：比較：L一定時間過程的變化量與一定時間過程的變化量與 對應對應 21dtttM時間變化率與時間變化率與 對應對應M三、角動量定理的應用舉例三、角動量定理的應用舉例旋進旋進(進動進動)錄象錄象角動量定理角動量定理 分鐘分鐘1.1.回轉(zhuǎn)儀實驗：回轉(zhuǎn)儀實驗： 如圖所示的杠桿陀如圖所示的杠桿陀螺儀。當陀螺儀高速旋螺儀。當陀螺儀高速旋轉(zhuǎn)時，移動平衡物轉(zhuǎn)時，移動平衡物B B，桿，桿不會傾斜，而是在水平不會傾斜，而是在水平面內(nèi)繞面內(nèi)繞O O旋轉(zhuǎn)。這種運動旋轉(zhuǎn)。這種運動稱為旋進運

14、動，它是在稱為旋進運動，它是在外力矩作用下產(chǎn)生的回外力矩作用下產(chǎn)生的回轉(zhuǎn)效應。轉(zhuǎn)效應。(1) 假設假設 時：時： 在重力矩在重力矩 作用下，作用下， 陀螺將繞垂直于黑板的軸轉(zhuǎn)動，陀螺將繞垂直于黑板的軸轉(zhuǎn)動， 即倒地。即倒地。0 Lgmrc （2當時：當時： 重力矩重力矩 ， 將不改變將不改變 的大小，的大小， 只改變只改變 的方向。的方向。 使陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)使陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)旋進旋進0 LLLgmrc L2.陀螺陀螺oLL dLgmrMc tLMdd 重力矩始終不改變角動量的大小，只改變角動量的方重力矩始終不改變角動量的大小，只改變角動量的方向。形成角速度矢量不斷向外力矩方向靠攏的趨勢。向。形成角速度矢量不斷向外力矩方向靠攏的趨勢。最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)最終效果：陀螺繞豎直軸旋轉(zhuǎn)旋進旋進)(LMtLLt sindsinddd旋進角速度：旋進角速度：Lcrgm oLLd dL oL L d dtdd L o3.3.車輪的旋進車輪的旋進oLL MLd討論：討論：改變改變 的方向，旋進方向是否改變？的方向，旋進方向是否改變？