(整理)平面向量的內(nèi)積

1、課題：平面向量的內(nèi)積教學(xué)目的：要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式能用所學(xué)知識解決有關(guān)綜合問題.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b，作OA = a , OB = b，則/ AOB= q (o< q < n )叫a與b的夾角2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量 a與b，它們的夾角是q,則數(shù)量|a|b|cosr叫a與b的數(shù)量積，記作 a b，即有a b = |a |b |cosr,(o< Q <

2、n ).并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為 0、3. 向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的長度與b在a方向上投影|b |cosr的乘積4. 兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量1 e a = a e =|a|cosr； 2a_b= a b = 03當(dāng)a與b同向時(shí)，a b = |a|b |；當(dāng)a與b反向時(shí)，a b = -|a |b |-特別的a a = |af或| a H a a4 cost =;5 |a b | < |a|b |交換律：a b = b a5. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘結(jié)合律：(a)b ='(ab) = a ( b )分配律：(

3、a + b)c = ac+bc、講解新課:i. 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個非零向量a = (xyj , b = (x2, y2)，試用a和b的坐標(biāo)表示a b.設(shè)i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，那么a =xiiyij , b =X2i y? jNN亠 亠NNN所以 a b = (xii yi j )(x?i y? j) =XiX2i 2 為 y?i j x?yii j yiy? j2又 i i =1, j j =1, i j 二 j i =0所以 a b = x1 x2 y1 y2這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和即 a b = x1x2 y1 y22. 平

4、面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1) 設(shè) a = (x, y)，則 | a |2 = x2 y2 或 | a |=、x2 y2 (2) 如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x“ yj、(x2, y2)，那么|a. 乜)2(葉-y2)2 (平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 )精品文檔3. 向量垂直的判定設(shè) a =(x1, y1) , b =(x2, y2)，則 a _ b ：= x1x2 y1y 04.兩向量夾角的余弦(0 _二乞二)COS T1 =a b|a| |b|y2三、講解范例:Xiyiy2例 1 設(shè) a =(5, -7)，b =(-6, -4)，求 a b解：a b = 5 X (-6) +

5、 (-7) X (V) = -30 + 28 = -2例2已知a(1,2), b (2, 3), C(-2, 5)，求證： ABC是直角三角形*證明： AB =(2 -1,32) = (1, 1), AC = (_21,52) = ( d, 3) AB _AC AB AC =1 X (-3) + 1 X 3 = 0 ABC是直角三角形例3已知a = (3, -1), b = (1,2)，求滿足x a = 9與x b = -4的向量x*解：設(shè) x = (t, s),3t-s = 9't=2- x= (2, -3)二 t十 2s = 4jS = _3例4已知a =(1,), b =(+1,

6、 J3 1),貝y a與b的夾角是多少？分析：為求a與b夾角，需先求a b及| a丨丨b |,再結(jié)合夾角0的范圍確定其值解：由 a =(1, V3 ), b =(13 + 1,<3 1)有 a b = . 3 + 1+ ,3 ( . 3 1)=4,| a I =2,| b |=2 . 2 .記a與b的夾角為0，貝U cos 0 =、2又0Wn,.0 = 4評述：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)注重角的范圍的確定 例5如圖，以原點(diǎn)和A (5, 2)為頂點(diǎn)作等腰直角 ABC,使b = 90，求點(diǎn)b和向量AB的坐標(biāo)。解：設(shè) b 點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)，則 OB = (x, y)， AB = (x-5,

7、y_2)/ OB _ AB/ x(x -5) + y(y -2) = 0 即：x2 + y2 -5x 2y = 0又/ |OB | = | AB | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2 即：10x + 4y = 29x2 +y2 _5x _2y =010x + 4 y = 29Xi2或3 j yi :2 、3x2 :27 y22 b 點(diǎn)坐標(biāo)(£_|)或(2,7) ； AB=(-|,冷)或(-£|)2 2 2 2 2 2 2 2例6在厶ABC中,AB =(2, 3), AC =(1,心且厶ABC的一個內(nèi)角為直角,求k值.解：當(dāng)a = 90時(shí),AB AC = 0

8、 , 2 x 1 +3 x k = 0當(dāng)b = 90時(shí),AB BC = 0, BC = AC -AB = (1 -2, k-3) = (-1, k-3) 2x (_1) +3x (k3) = 0113當(dāng) C= 90 時(shí)，AC BC = 0，-1 + k(k-3) = 0四、課堂練習(xí)： ? 11.若 a=(-4,3), b =(5,6),則 3| a| -4 a b =(精品文檔A.23B.57C.63D.832. 已知 a(i,2), b (2,3), c (-2,5)，則 ab c 為( )A.直角三角形B.銳角三角形C鈍角三角形D.不等邊三角形3. 已知a =（4,3）,向量b是垂直a的單

9、位向量，貝U b等于（）3 4、4 3、 A.（,）或（，）5 53、5B.4 3、5 544 3C.(,)或(-一，) D.5 55 54. a =(2,3), b =(-2,4), 則(a+b) ( a - b )=._ - 1 _ -5. 已知a (3 , 2) , b (-1 , -1)，若點(diǎn)P(x,-)在線段a b的中垂線上，則x=.26. 已知 a(l , 0) , b (3 , 1), c(2 , 0)，且 a=BC , b =CA ,則 a與 b 的夾角為 _.參考答案：1.D 2.A 3.D 4.-7 5. - 6.45 :4五、小結(jié)兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示長度、夾角、垂直的坐

10、標(biāo)表示 六、課后作業(yè)：1. 已知a=（2,3）, b =（-4,7）,則a在b方向上的投影為（）A. .13 B.-13C.迴D. .65552. 已知a=（入，2 ）, b =（-3,5）且a與b的夾角為鈍角，貝U入的取值范圍是（ ）A10101010A.入 > B.入C.入vD.入w 33333.給定兩個向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )丄(a-b）,則x等于( )232323A.23B.C.D.2344.已知| a |=、10 , b =(1,2)且a / b ,則a的坐標(biāo)為5.已知 a =(1,2), b (1,1), c=b -ka,若c 丄 a，貝U

11、 c = 精品文檔6. 已知a=(3,0), b=(k,5)且a與b的夾角為 ，則k的值為47. 已知a =(3,-1), b =(1,2),求滿足條件x a =9與x b =-4的向量x.8. 已知點(diǎn)A (1，2)和B (4，-1)，問能否在y軸上找到一點(diǎn) C,使/ ABG= 90°，若不能，說明理由；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo).9. 四邊形 AB0中=AB (6,1), BC=(x,y) , CD =(-2,-3),(1)若BC / DA，求x與yH世啟歆心滿足(1)問的同時(shí)又有AC丄BD，求 x,y的值及四邊形ABC D的面積.參考答案：1.C 2.A 3.C4. (2 ,2；'2 )或(-.,：2 , 2 ：” 2 )5.(2,一1)6.-5 7.(2,-3) 8.55不能(理由略)9.(1) x+2y=0 -6或S四邊形ABCD=16七、板書設(shè)計(jì)(略)八、課后記及備用資料:已知 a =( 3, 4), b =( 4, 3),求 x,y 的值使(xa +yb )丄 a，且丨 xa+yb 1=1.分析：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想解：由 a =( 3, 4), b =( 4, 3),有 xa+yb =(3 x+4y,4 x+3y)又(xa+yb )丄 a 二(xa+yb )a = 0 ：= 3(3x+4y)+4(4 x+