2020學(xué)年江蘇省南京市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、文檔從網(wǎng)絡(luò)收集而來，已經(jīng)過整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.2016-2017學(xué)年江蘇省南京市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題 卡相應(yīng)位置上1. （5分）命題 若a=b,則| a| 二| b| "的逆否命題是.22. （5分）雙曲線/天二1的漸近線方程是 .3. （5分）已知復(fù)數(shù)時(shí)漢為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是.1-14. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（4, 3）到直線3x- 4y+a=0的距離為1,則實(shí)數(shù)a的值是5. （5分）曲線y=X4與直線y=4x+b相切，則實(shí)數(shù)b的值是.6. （5

2、分）已知實(shí)數(shù)x, y滿足條件則z=2x+y的最大值是.7. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F, P為拋物線 C上一點(diǎn)，且PF=5,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是.8. （5分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓O： x2+y2=r2 （r>0）與圓M： （x- 3） 2+（y+4） 2=4相交，則r的取值范圍是.照此規(guī)律，觀察下列等式:2=|-X 1X2;2+sin (各二)空 X2X3; 532=lx3X4:32- X 4X 5;3(sin) 2+ (sin)2+ (sin-)2+- + (sin，)2=2n+l2n+l2n+l2n+l10. （5分）若？xCR, x2

3、+ax+a=0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.11. （5分）已知函數(shù)f（x） = （x2+x+m） ex （其中mCR, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若 在x=-3處函數(shù)f （x）有極大值,則函數(shù)f （x）的極小值是.12. (5分)有下列命題：“n> 0”是方程x2+my2=1表示橢圓”的充要條件; 力=偲 直線li： ax+y-1=0與直線12： x+ay- 2=0平行”的充分不必要條件; 函數(shù)f (x) =x3+mx單調(diào)遞增”是“心0”的充要條件；已知p, q是兩個(gè)不等價(jià)命題，則“做q是真命題”是“血q是真命題”的必要 不充分條件.其中所有真命題的序號(hào)是13. (5分)已知橢圓E:=

4、1(a> b> 0)的焦距為2c (c> 0),左焦點(diǎn)為13F,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2c, 0).若橢圓E上存在點(diǎn)P,使得PM/PF,則橢圓E 離心率的取值范圍是.14. (5 分)已知 t>0,函數(shù) f (x) = iX) £>t 4,若函數(shù) g (x) =f (f (x)-1)恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答 時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. (14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A (7, 8),B (10, 4), C (2, -4).

5、(1)求BC邊上的中線所在直線的方程；(2)求BC邊上的高所在直線的方程.16. (14分)已知數(shù)歹!J an滿足 a1二1, (an 3) an+1 an+4=0 (n C N*).(1)求 a2, a3, a4；(2)猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.17. (14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=- 2x上，且 圓M與直線x+y- 1=0相切于點(diǎn)P (2, - 1).(1)求圓M的方程；(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l被圓M截得的弦長為班，求直線l的方程.18. (16分)某休閑廣場(chǎng)中央有一個(gè)半徑為 1 (百米)的圓形花壇，現(xiàn)計(jì)劃在該 花壇內(nèi)建造一條六邊形觀光步道，圍

6、出一個(gè)由兩個(gè)全等的等腰梯形(梯形 ABCF和梯形DEFC構(gòu)成的六邊形ABCDEFE域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上， CF為圓的直徑(如圖).設(shè)/AOF=0,其中。為圓心.(1)把六邊形ABCDEF勺面積表示成關(guān)于8的函數(shù)f ( 8);(2)當(dāng)8為何值時(shí)，可使得六邊形區(qū)域面積達(dá)到最大？并求最大面積.19. (16分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓E: +vy=1 (a>b>0)的離心 a2 b2率為亨，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A ( - a, 0), B (a, 0),點(diǎn)M ( - 1, 0),且而靠, 過點(diǎn)M斜率為k (kw0)的直線交橢圓E于C, D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在x軸上方.(

7、1)求橢圓E的方程；(2)若BC± CD,求k的值；(3)記直線AD, BC的斜率分別為k1，k2,求證：，為定值.k220. (16分)已知函數(shù) f (x) =ax- lnx (a R).(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f (x)的最小值；(2)若存在x 1, 3,使+lnx=2成立,求a的取值范圍；(3)若對(duì)任意的x1, +8),有f (x) >f (一)成立，求a的取值范圍. x2016-2017學(xué)年江蘇省南京市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理 科)參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請(qǐng)把答案填寫在答題 卡相應(yīng)位置上1. (5分)命題 若a=b,則| a|

8、 =| b| "的逆否命題是 若| a| w| b| ：貝【I aw b . 【解答】解：命題 若2加，則|a|二|b|"的逆否命題是命題 若|a| w|b|,則awb”, 故答案為：若| a| w | b| ,則aw b”22. (5分)雙曲線14二1的漸近線方程是 y=±2x .【解答】解:二.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為=12其漸近線方程是了 =0, 4整理得y=± 2x.故答案為y=± 2x.3. （5分）已知復(fù)數(shù)立筆為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是 2 1-i解答解：己+2i =5+2i（l+i）二 G-2） + 2+2）i =521-

9、i （1-D Cl+D 222 1復(fù)數(shù)士-為純虛數(shù)， IT解得a=2.故答案為：2.4. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（4, 3）到直線3x- 4y+a=0的距離為1, 則實(shí)數(shù)a的值是 ±5 .【解答】解：由題意，J已 =1,V9+L6二 a=±5.故答案為土 5.5. （5分）曲線y=x4與直線y=4x+b相切，則實(shí)數(shù)b的值是 -3【解答】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為P （m, n）則有：產(chǎn)（口）“？（而-，化簡求：m=1, b=n-4;I1 4nH-b=nqnr+b=n又因?yàn)辄c(diǎn)P滿足曲線y=x4,所以：n=1； 貝U: b=n - 4= - 3;故答案為：-3.6.

10、 （5分）已知實(shí)數(shù)x,y滿足條件葉歲-230K-y<0, y3則z=2x+y的最大值是【解答】解：實(shí)數(shù)x,y滿足條件C s+y-20作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直線y=- 2x+z,則當(dāng)直線y=- 2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，由嚴(yán)可得a（3,3）.此時(shí)z=9,故答案為：9.7. （5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C: y2=4x的焦點(diǎn)為F, P為拋物線C上一點(diǎn)，且PF=5,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是 4 .【解答】解：:拋物線y2=4x=2px, . p=2,由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等

11、的，. | PF=x+1=5,x=4,故答案為：48. （5分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓O： x2+y2=r2 （r>0）與圓M： （x- 3）2+ （y+4） 2=4相交，則r的取伯范圍是 3V r<7 .【解答】解：由題意，圓心距為5, a | r-2| <5<r+2,3< r<7,故答案為3<r<7.9. （5分）觀察下列等式：(sin)2+ (si號(hào))2+ (si葉)(s哈)2+ (sin) 2+ (si 照此規(guī)律，2+sin (旦匚)2nx2X3;2+- +sin (A>)2=1"X3X4;2+- +sin (-)

12、 2=-x4X5;9 J(sin) 2+ (sin- ' ) 2+ (sin " ) 2+ (sin-1-1 ) 2= -In (n+1)2n+l2n+l2n+l2n+l -3【解答】解：觀察下列等式:(sin-) 2+ (sin-2L)33(sin-H) 2+ (sin2ZL) 55(sin-) 2+ (sinZL)77(sin-) 2+ (sinZL) g92=1xix2;2+ (sin2IL)52+ (sin)72+ (sin-) g2+sin (史L) 2=lx2x3；S 32=lx3X4;32 X 4X 5;3照此規(guī)律nsin2n+l)2+(sin2n2n+l)2+

13、 (sinLZn+l)2+ (sin2rL 兀 2n+l)2=- x n（n+1）,故答案為:制（n+1）10. （5分）若？xCR, x2+ax+a=0”是真命題，則實(shí)數(shù)a |j勺取值范圍是0 U4, +8).【解答】解：若? xR, x2+ax+a=0”是真命題，則 =a2 - 4a> 0,解得：a (-8, 0 U4, +oo),故答案為：(-8, 0 U4, +oo)11. (5分)已知函數(shù)f(x) = (x2+x+m) ex (其中mCR, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若 在x=-3處函數(shù)f (x)有極大值,則函數(shù)f (x)的極小值是-1 .【解答】解：f (x) = (x2+x+m

14、) ex,f '(x) = (x2+3x+m+1) ex,若f (x)在x=- 3處函數(shù)f (x)有極大值，則 f' ( - 3) =0,解得：m=- 1,故 f (x) = (x2+x 1) ex,f '(x) = (x2+3x) ex,令 f' (x) >0,解得：x>0,令f'(x) <0,解得：x<-3,故f (x)在(-oo, - 3)遞增，在(-3, 0)遞減，在(0, +8)遞增， 故 f (x)極小值=f 0 0) = - 1, 故答案為：-1.12. (5分)有下列命題：“n> 0”是 方程x2+my2=1

15、表示橢圓”的充要條件； 力=偲 直線li： ax+y-1=0與直線12： x+ay-2=0平行”的充分不必要條件；函數(shù)f (x) =x3+mx單調(diào)遞增”是“心0”的充要條件；已知p, q是兩個(gè)不等價(jià)命題，則“做q是真命題”是“血q是真命題”的必要 不充分條件.其中所有真命題的序號(hào)是.【解答】解：對(duì)于，當(dāng)m=1時(shí)，方程x2+my2=1表示圓，故錯(cuò)；對(duì)于，; a=± 1時(shí)，直線11與直線12都平行，故正確；對(duì)于，若函數(shù)f (x) =x3+mx單調(diào)遞增？ m>0,故錯(cuò)；對(duì)于，p或q是真命題？ p且q不一定是真命題；？ p且q是真命題？ p或q 一定是真命題，故正確；故答案為：13.

16、(5分)已知橢圓E:=1 (a> b> 0)的焦距為2c (c> 0),左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2c, 0).若橢圓E上存在點(diǎn)P,使得PM=PF,則橢圓E離心率的取值范圍是32【解答】解：設(shè) P (x, y),由 PM=72PF? PM2=2PF? (x+2c) 2+y2=2 (x+c) 2+2y2? x2+y2=2c2,橢圓E上存在點(diǎn)P,使得PM=/jPF,則圓x2+y2=2c2與橢圓E: 4+=1 (a>b >0)有公共點(diǎn)， b<V2cv a? !<-J<7?與<e<歲.故答案為：三，=一,若函數(shù) g (x) =f (f (x

17、)14. (5 分)已知 t>0,函數(shù) f (x) = 1 -1)恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 (3, 4)(x-t) 2-【解答】解：二.函數(shù)f (x)=函數(shù) f ' (x)=當(dāng)xW,或x<t時(shí)，f'(x) >0,函數(shù)為增函數(shù),當(dāng)x<t時(shí)，f'(x) <0,函數(shù)為減函數(shù),故當(dāng)x=-時(shí)，函數(shù)f (x)取極大值3函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和t,若函數(shù)g (x) =f (f (x) - 1)恰有6個(gè)不同的零點(diǎn), 則方程f (x) - 1=0和f (x) - 1=t各有三個(gè)解,即函數(shù)f (x)的圖象與y=1和y=t+1各有三個(gè)零點(diǎn),由

18、y|_1 _tx=tk=a27擊”-7= ( 3) (2t+3) 2>。得:t>3 C-i2 I故不等式的解集為：te(3, 4),故答案為：(3, 4)二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答 時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15. (14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知 ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A (7, 8),B (10, 4), C (2, -4).(1)求BC邊上的中線所在直線的方程;(2)求BC邊上的高所在直線的方程.【解答】解：(1)由B (10, 4), C (2, -4),得BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6, 0)，(2分)所以AD的斜率為

19、k£2=8,分)所以BC邊上的中線AD所在直線白方程為y-0=8 (x- 6),即 8x- y 48=0.(7 分)(2)由B(10, 4), C (2, -4),得BC所在直線白斜率為k= =1,(9 10-2分)所以BC邊上的高所在直線的斜率為-1,(修分) 所以BC邊上的高所在直線的方程為y-8=- 1 (x - 7),即x+y-15=0.(仰分)16. (14分)已知數(shù)歹!J an滿足 a1二1, (an 3) an+1 an+4=0 (n C N*).(1)求 a2, a3, a4；(2)猜想an的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【解答】解：(1)令 n=1, - 2a2+3

20、=0, a2=|-,令 n=2,-三央-=+4=0, a3=-,223令 n=3, 04 _+4=0, a4=. 334(2)猜想 an至L(n N*) . n證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=A，所以an七L成立，1n假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，an="L成立，即ak騫L, nk貝U (ak3) ak+1 ak+4=0,即(% L - 3) ak+1 -+4=0, kk所以平ak+1之R，即ak+1密旦聆' k kk+1k+1所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論an2二L成立. n綜上，對(duì)任意的nCN*, anL成立.n17. (14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的圓心在直線y=- 2x上，且圓

21、M與直線x+y- 1=0相切于點(diǎn)P （2, - 1）.（1）求圓M的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l被圓M截得的弦長為我，求直線l的方程.【解答】解：（1）過點(diǎn)（2, -1）且與直線x+y-1=0垂直的直線方程為x-y- 3=0,修分）由產(chǎn)七解得產(chǎn)1 ,所以圓心M的坐標(biāo)為（1, -2）,分）所以圓M的半徑為r=6,（6分）（7分）所以圓M的方程為（x-1） 2+ （y+2） 2=2.（2）因?yàn)橹本€l被圓M截得的弦長為,，所以圓心M到直線l的距離為d=J哼，分）若直線l的斜率不存在，則l為x=0,此時(shí)，圓心M到l的距離為1,不符合題意.若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx,即kx- y=

22、0,由d= JVk3+1（11分）整理得 k2+8k+7=0,解得k=- 1或-7,（13分）所以直線l的方程為x+y=0或7x+y=0.（14分）18. （16分）某休閑廣場(chǎng)中央有一個(gè)半徑為 1 （百米）的圓形花壇，現(xiàn)計(jì)劃在該 花壇內(nèi)建造一條六邊形觀光步道，圍出一個(gè)由兩個(gè)全等的等腰梯形（梯形 ABCF 和梯形DEFC構(gòu)成的六邊形ABCDEFE域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上， CF為圓的直徑（如圖）.設(shè)/AOF=O,其中。為圓心.（1）把六邊形ABCDEF勺面積表示成關(guān)于8的函數(shù)f （ 8）;（2）當(dāng)8為何值時(shí)，可使得六邊形區(qū)域面積達(dá)到最大？并求最大面積.【解答】（本題滿分16分）解

23、：（1）作 AHLCF于 H,則 OH=co¥, AB=2OH=2coS, AH=sin 9,修 分）則六邊形的面積為 f （ 9） =2X-i- （AB+CF） X AH= （2cos+2） sin 9=2 （cos +1） sin ° 泥（0,答）.（6分）（2） f '（8） =2 sin 8 sir+&cos 01） cos =2 （2cos2 Ocos 0- 1） =2 （2cos 0- 1）（ cos +1）.（10 分）令 f'（ 8） =0,因?yàn)殚L（0, 21）,所以cosO=，即8-,（12分） 23當(dāng)長（0, 2L）時(shí)，f 9）&

24、gt;0,所以f （在（0,弓|）上單調(diào)遞增；當(dāng) 長（2L, 2L）時(shí)，f'（o）<0,所以f （8）在（匹，工）上單調(diào)遞減， 3232（14 分）所以當(dāng)8匹時(shí)，f （8）取最大值f （匹）=2 （co匹+1） si=，2.33332（15 分）答：當(dāng)8匹時(shí)，可使得六邊形區(qū)域面積達(dá)到最大， 最大面積為豆I平方百米. 32（16 分）19. （16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：弓看=1（a>b>0）的離心 率為亨，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A （ - a, 0）, B （a, 0）,點(diǎn)M （ - 1, 0）,且而靠, 過點(diǎn)M斜率為k （kw0）的直線交橢圓E于C, D兩點(diǎn)，

25、其中點(diǎn)C在x軸上方.（1）求橢圓E的方程；（2）若BC± CD,求k的值；（3）記直線AD, BC的斜率分別為k1, k2,求證：/為定值.【解答】 解：（1）因?yàn)?Afli=O,所以3 （ - 1+a, 0） = （a+1 , 0）,解得a=2.（2分）又因?yàn)楣ば∵^，所以c=/3,所以b2=a2-c2=1, a 2（4分）所以橢圓E的方程為等+y2=1.（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（X0, y°） , y0>0,則 CM= （ - 1 - xo, - y。），CB= （2 - X0, - y0）.因?yàn)?BCXCD,所以(1 X0)( 2 X0) +yo2=0.(6 分)2又因?yàn)?#39;+yo2=1,4聯(lián)立，解得xo= 2, yo&l,(8分) 口32/2.(10分)所以 k=272.(3),設(shè) C (xo, yo),則 CD: y=配+1(x+1) ( 2<xo<2 且 xow 1),"工。+1G+1)消去y,2+yo2=1,所以得D (5+2 工口式口所以= k2 .-3%5+2打工口-2一五口產(chǎn)兀二3,得 x2+8yo2x+4yo2 - 4