導(dǎo)數(shù)壓軸題處理套路

1、導(dǎo)數(shù)壓軸題處理套路專題一 雙變量同構(gòu)式（含拉格朗日中值定理） -2 -專題二分離參數(shù)與分類討論處理恒成立（含洛必達(dá)法則） -4 -專題三 導(dǎo)數(shù)與零點問題（如何取點） -7 -專題四 隱零點問題整體代換 -13 -專題五極值點偏移 -18 -專題六 導(dǎo)數(shù)處理數(shù)列求和不等式 -25 -說明：題目全來自網(wǎng)絡(luò)和群友分享，在此一并謝過專題一 雙變量同構(gòu)式(含拉格朗日中值定理)已知2例 1. f x = a 1 ln x H ax 1(1)討論f X的單調(diào)性()設(shè)，求證：2 a _ 2一X1 , X2 三0, , f X1X2 ： 4 X1 X2例2.已知函數(shù)2-ax ( a -1) ln x(2)證明：

2、若a 5，則對任意 X 1，X 2(0:)，X 1 = X 2，有 f(X1)_1。-f&2)X1 - X2m例3.設(shè)函數(shù)f ( x ) = In x 冶亠m R(1)當(dāng)m二e( e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求 f(x)的最小值;X卄f(b) f(a)(3)若對任意b a 0, ：1恒成立，求m的取值范圍b - a例4.已知函數(shù) f x 二1 - In xx(1)討論函數(shù)y =f x的單調(diào)性(2)對任意的x , x e ,宓，有 f (xi) - f(x2)12-)X1 x2.，求k的取值范圍 x x1 2例5.已知函數(shù)In x - ( a - 2)x，是否存在a三R，對任意 x 1x x

3、 2，f(x)f(x2)a恒成立？若存在，求之若不存在，說明理由。X1 - X2x = e e例6.已知函數(shù)f ( x ) = ax x In x的圖象在點(為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率為3.(1) 求實數(shù)a的值；(2) 若f (x)乞kx2對任意x 0成立,求實數(shù)k的取值范圍；(3) 當(dāng)n1 (m, n N*)時證明： n 'm m' T m n n專題二 分離參數(shù)與分類討論處理恒成立(含洛必達(dá)法則)例1.已知函數(shù)f(x)二a*nx曲線y =f ( x)在點(1, f (1)處的切線方程為x 2 y -3=0. x +1x(1) 求a、b的值；(2) 如果當(dāng)x 0，且x-

4、1時，f(x) . -lnx k，求k的取值范圍.x -1x例 2.設(shè)函數(shù) f ( X )=e x1xax2 .(1) 若a = 0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 當(dāng)x_0時，f(x)_0，求a的取值范圍例 3.已知函數(shù) f ( x ) =x (e x -1) -ax2 .(1) 若f (x)在X =1時有極值，求函數(shù)f (x)的解析式;(2) 當(dāng)x -1時，f (x) - 0,求a的取值范圍.(3) 當(dāng)x_0時，f(x)_0，求a的取值范圍.例4.設(shè)函數(shù)f ( x) = 1 -e" (1)證明：當(dāng) x . -1 時，f(x) 一_ xX +1(2)設(shè)當(dāng)X _0時,f(x)ax 1求

5、a的取值范圍sin x例 5.設(shè)函數(shù) f ( x)= 2 cos x -(1) 求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 如果對任何x A 0，都有f ( x ) W ax ,求a的取值范圍.X +例6.已知函數(shù)f ( x )= e a -1x 10(1) 證明：當(dāng)時間，f x _ 0x蘭0九(2) 若當(dāng)時，f x 一0,求實數(shù)的取值范圍。2例 7.已知函數(shù) f ( x )= In x - 1 y a x - x，其中 a eR(1) 討論函數(shù)f (x)的極值點個數(shù)，并說明理由(2) 若-X 0,f x _0成立，求a取值范圍。例8.已知函數(shù) f ( x)= Inax. a 0(1)求證0<2時，

6、f ( x)在1_2，+ :上是增函數(shù)(2)若對任意的總存在 X。數(shù)m的取值范圍例9.已知函數(shù)f ( x )=( x - 2)e x a ( x -1)2有兩個零點.求a的取值范圍;例 10.已知函數(shù) f ( x )=( x - 1) In x a( x V).(1) 當(dāng)a =4時，求曲線y二f(x)在1,f(1)處的切線方程;(2) 若當(dāng)x三1, :時，f (x)>0,求a的取值范圍.專題三 導(dǎo)數(shù)與零點問題(如何取點)例 1.已知函數(shù) f ( X ) = a e 2 x ( a 一 2)e x _ x.(1) 討論f(X)單調(diào)性；(2) 若f (x)有兩個零點，求a的取值范圍;例2.已

7、知函數(shù)f(x ) = (x2 ex+a(xdf 有兩個零點.求a的取值范圍;2 x例3.設(shè)函數(shù)f x =ealn x .討論f x的導(dǎo)函數(shù)f x的零點的個數(shù);例4.已知函數(shù)f x 二 x - 1 e x ax2有兩個零點.(2)求a的取值范圍例5.已知函數(shù) f ( x ) = ex m2 x 2 - m x -1 .當(dāng)m<0時，試討論 y=f(x)的零點的個數(shù);l n x例6.設(shè)函數(shù)f ( x ) = x + 1 -1 nx+l n ( x +1),是否存在實數(shù)a，使得關(guān)于 x的不等式f ( x) _ a的解集為(0, +：)?若不存在，試說明理由。例7.已知函數(shù)f ( x ) = a

8、e 2 x -( 2a x + 1)e x亠x 2亠2 x.當(dāng)0 ：: a _ 2時，證明f ( x)必有兩個零占八、例 8.已知函數(shù) f(x)二a X l n x a - R(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間(2) 求函數(shù)f(x)的零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論2, a證明存在例9.設(shè)常數(shù)扎O,aA 0,函數(shù)f(x)= a l n x,對于任意給定的正數(shù)x +扎實數(shù) X0，當(dāng) X . X0 時，f ( x) 0例10.已知函數(shù)f x = x a ln x.(1) 當(dāng)aT時，求曲線y = f x在點1,f 1處的切線方程;(2) 求f x的單調(diào)區(qū)間；(3) 若函數(shù)f x沒有零點，求a的取值范圍.例11.已

9、知函數(shù)f X二X a ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a R .(1) 求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；，“ 2(2) 當(dāng)a d時，試確定函數(shù)g x二f x-a -x的零點個數(shù)，并說明理由1例 12.已知函數(shù) fx=alnx，&a=0.(1) 求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；(2) 若X f x <0 - lb, cl其中b : c，求a的取值范圍，并說明 b,c二i：0,1 . 分析x f x乞0；- lb, c 的形式類似不等式的解集，問題即轉(zhuǎn)化為研究方程的根，即轉(zhuǎn)化為 研究函數(shù)的零點范圍.例 13.已知函數(shù) f ( x ) =X 2 -( a -2) x a In x - 2a - 2，其中

10、 a 乞2(1) 求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若函數(shù)f(X)在(0, 2上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍。ax a已知關(guān)于x的函數(shù)f ( X丄二(a = 0)，ex(1) 當(dāng)a - -1時，求函數(shù)f (x)的極值；(2) 若函數(shù)F (xf(x) 1沒有零點，求實數(shù) a的取值范圍。例15.已知函數(shù)求a與b值；b的取值范圍。(1) 若曲線y=f(x)在點(a, f(a)處與直線y=b相切,(2) 若曲線y=f(x)與直線y = b有兩個不同交點，求例16.已知函數(shù)f ( x ) 二 a 、x In x， ( a R)(1) 求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 試求函數(shù)y = f (x)

11、的零點個數(shù)，并證明。專題四隱零點問題整體代換例1.設(shè)函數(shù)f x =e % ax 2（1）求f x的單調(diào)區(qū)間若a =1， k為整數(shù)，且當(dāng)x 0時，x-kx -x 10 ，求k的最大值例2.已知函數(shù)f x = ax x ln x的圖像在點x = e （ e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線斜率為3求實數(shù)a的值f（ X）例3. 若對于任意X > 0若k Z，且k ： x - 1對任意x 1恒成立，求k的最大值xe 2 x kx In x 1 丄0 恒成立，求 k的取值范圍。例4.已知函數(shù)f x =e x - In x Am .(1) 設(shè)x = 0是f x的極值點，求 m，并討論f x的單調(diào)性;(2)

12、當(dāng)mm2時，證明f x 0 .例5.已知函數(shù)亠x 2亠ax 1在？-1, 0 上有兩個極值點x x : x2，且 12(1)求實數(shù)a的取值范圍;_11(2)證明：f X2 12.x2例6.已知a R，函數(shù)f x =e ax ； g x是f x的導(dǎo)函數(shù).1(1) 當(dāng)a 2時，求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；G 1 (2) 當(dāng)a 0時，求證：存在唯一的 x0 二，0 ，使得g xo =0 ；I 2a丿(3) 若存在實數(shù)a , b，使得f x - b恒成立，求a -b的最小值.x 112例 7.已知函數(shù) f ( x)滿足滿足 f ( x ) =f (1) e 一 一f (0)x _x22卄12(2)若 f(

13、x)_ 2 x ax b，求(a，1)b 的最大值.2 2例 8.已知函數(shù) fx- -2 x a In x x -2ax_2a a，其中 a . 0 .(1) 設(shè)g x是f x的導(dǎo)函數(shù)，討論g x的單調(diào)性；(2) 證明：存在a0,1 ，使得f X _0在區(qū)間1內(nèi)恒成立，且f x =0在區(qū)間1,-:內(nèi)有唯一解.2 2例9.已知函數(shù)f x =2 ln x x -2ax - a ，其中a 0，設(shè)g x是f x的導(dǎo)函數(shù).(1) 討論g x的單調(diào)性；(2) 證明：存在a 0,1，使得f x _0恒成立，且f x=0在區(qū)間1,；內(nèi)有唯一解.a=ae x 一一 x :.ax _.2a _1，其中 a 三 R

14、 ._a 2例 10.已知函數(shù) fx =2 Jnx.x.1, g x(1) 若a = 2，求f x的極值點；(2) 試討論f x的單調(diào)性；(3) 若a 0，-x三i 0,亠j，恒有g(shù) f x，求a的最小值1 2例11.已知函數(shù)fx = Inx 2坐 亠x， a:=R.(1) 求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間；(2) 是否存在實數(shù) a，使得函數(shù)f x的極值大于0 ?若存在，則求岀 a的取值范圍；若不存 在，請說明理由.例 12.設(shè)函數(shù) fx =e2x-alnx.(1) 討論f X的導(dǎo)函數(shù)f x的零點的個數(shù)；2(2) 證明：當(dāng) a 0 時 fx -2a a Tn a例13.設(shè)函數(shù) f(X)=： e X _

15、ax _ 2(1 )求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a = 1 , k為整數(shù)，且當(dāng)x > 0時，(x -k) f '(x) x 1 > 0 ,求k的最大值。例 14 設(shè)函數(shù) f (x) = e x 一 ln(x 十 m).(1) 若x = 0是f (x)的極值點，求 m > 0，并討論f (x)的單調(diào)性;(2) 當(dāng) m <2 時，求證：f(X)> 0 .例 15.已知函數(shù) f ( x )=ex +m x3 , g x j; =ln x 1 廣 2 .(1) 若曲線y=f x在點0, f 0 處的切線斜率為1,求實數(shù)m的值;(2) 當(dāng) m _1 時，證明：

16、f x Cg (x ) -x3 .例16.已知函數(shù)f (x) = I n x1 ax2x 1-(2)當(dāng)a = 0時，證明：對任意的 x > 0 ,不等式xex >f(x)恒成立。專題五極值點偏移例1.已知函數(shù)fx =2 In x x x，若正實數(shù) X1x2 滿足 f i x1 +f x2 =4 ，求證：x1x2 - 22例2.已知函數(shù)f x = In x x x，正實數(shù)X1x2 滿足 f X"|!亠 f X2 !亠 x1 x2=0，求證:5 -1x x - j1 2 2例3.已知函數(shù)f x = xe -(1) 求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間和極值；(2) 已知函數(shù)g X的圖像與f

17、 X的圖像關(guān)于直線 X=1對稱，證明：當(dāng)X 1時,f x g X ；(3) 如果 Xi=X2，且 fXii； =fX2，證明：X1X22 .例4.已知函數(shù)f x j ： x - 2 e X - a x _1 2有兩個零點.(1) 求a的取值范圍；(2) 設(shè)X1 , X2是f x的兩個零點，證明：X1 X2 : 2 .例5.已知函數(shù)f x =x In x的圖像與直線 y = m交于不同的兩點 A X1 , y1， B x? , y2，求證:_1X1 X2e 2例6.已知函數(shù)f x = In x和g x = ax，若存在兩個實數(shù) x1 , x2，且x1 = x2，滿足f xi 二 g xi , f

18、 x2 二 g X2 ,(1) 求證：x1 x2 2e ；(2) 求證：xi X2 e2 .x例7.已知函數(shù)f x 二e - ax有兩個不同的零點 x1 , x，其極值點為 x0 .(1) 求a的取值范圍；(2) 求證：x1 x2 : 2x0 ；(3) 求證：x1 x22 ；(4) 求證：x1 x21.例 8.已知 f x = In( x m)mx(1) 求f x的單調(diào)區(qū)間(2) 設(shè)m .1, xi , X2為函數(shù)f x的兩個零點，求證 xi - X2 ：；： 0例9.已知函數(shù)f X =x - In X，若兩相異正實數(shù)xi， X2滿足f Xi i； = f X2，求證:fxif X2: 0 x

19、 In x例io.已知函數(shù)f x二x -i (1) 求f x的單調(diào)區(qū)間；2(2) 若h x-x f x，且方程h x i；=m有兩個不相等的實根 xi， X2，求證:22 2 -xiX2e 例 11.已知 b . a .0，且 blnaalnb=a-b .(1)求證：a b -ab 1；(2)求證：a b 2 ；(3)求證：1 1一ab 2.例12.已知函數(shù)f x =2 In x - ax，若xi , X2 Xi ： X2是fx的兩個零點，證明:(x +2x、f < 0 .I 3丿例13.設(shè)函數(shù)f x = ex - ax a，其圖像與x軸交于點A 冷，o , B x2 , 0，證明:f

20、. x1x2: 0例 14.已知函數(shù) f x i； =ln x - x，設(shè) x x - 0 ,求證：2 xi 2 _ f xi 1- f X2：i.12x2 + x 2x - xx例 15.設(shè) f x = x - ae a -R1 2 1 2x WR .已知函數(shù)y = f x有兩個零點x1 , x2，且X1 X2 .（1）求a的取值范圍;x（2）證明：隨著a的減小而增大；（3）證明：X1 x2隨著a的減小而增大.例16.對于正數(shù)a , b，且a = b，求證：JOE a - b色_衛(wèi),In a-In b 2例18.已知函數(shù)二 Ing x = ax b2x + x 2 I1例17.設(shè)函數(shù)f x

21、二In x 一 ax亠i 2 -a x的兩個零點是 x1， X2，求證：f:：: 0I 2丿(1)若函數(shù)h x =f x - g x在0, +：上單調(diào)遞增，求實數(shù) a的范圍;1(2)若直線g x =ax b是函數(shù)f x =lnx- x圖像的切線a+b的最小值;(3)當(dāng)b=0時，若f x和g x的圖像有兩個交點 A X1 y , B x2 , y2 ，求證X1 X2 e(e : 2.8, ln 2 : 0.7, 2 1.4)專題六導(dǎo)數(shù)處理數(shù)列求和不等式例1.已知函數(shù)fx =x-1-al nx，求m的最小值。(1)若f x _0 ,求a的值;(2 )設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù) n |1例2.已知

22、函數(shù)f (x) =ln(x V) - ax在x 2處的切線斜率為1-(1) 求 f (x)的最大值；*_1 _ 1 _1(2) 證明：當(dāng) n N 時，123 " " n > ln(n 1).x(3) 設(shè)g(x)二b(e -x)，若g(x) >f (x)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍2例3.已知函數(shù)f x = In x 111 1(2)求證:ln(n 1)37 不 1( n N').例 4 已知函數(shù) f (x) = a sin(1 x) + In x .(1)若f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：sin1sin1sin1v ln 92 2(1 1)2(2 1)22(8 1)51例 5.已知函數(shù) f (x) = a(x - x - 2