第三章 計算機控制系統(tǒng)的數(shù)學描述2(差分方程,脈沖傳遞函數(shù))

1、1、差分方程的一般形式、差分方程的一般形式系統(tǒng)的輸出系統(tǒng)的輸出Z傳遞函數(shù)與系統(tǒng)輸入傳遞函數(shù)與系統(tǒng)輸入Z傳遞函數(shù)之比，當傳遞函數(shù)之比，當初始條件為零時，稱為系統(tǒng)的初始條件為零時，稱為系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。一般可表示為傳遞函數(shù)。一般可表示為120111212( )( )1mmnnbb zb zb zY zR za za za z3.2 差分方程連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)過程，用微分方程來描述；連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)過程，用微分方程來描述；離散系統(tǒng)的動態(tài)過程，用差分方程來描述。離散系統(tǒng)的動態(tài)過程，用差分方程來描述。利用利用Z變換基本性質中延遲移位定理，可寫成變換基本性質中延遲移位定理，可寫成差分方程差分方程,一般形式為：一

2、般形式為： （3.25）1( )(1)()ny ka y ka y kn01( )(1)()mb r kb r kb r km若系統(tǒng)的若系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)寫成超前形式傳遞函數(shù)寫成超前形式10111()()mmmnnnb zb zbYzRzza za 當初始條件為零時當初始條件為零時 1()(1)( )ny k na y k na y k 01()(1)( )mb r kmbr kmb r k2 2、差分方程的求解、差分方程的求解（1）迭代法）迭代法若看作數(shù)學問題求解，需考慮初始條件。若看作數(shù)學問題求解，需考慮初始條件。例例3.8 已知差分方程為已知差分方程為 設初始條件設初始條件 ，求，求 。(

3、 )(1)( ) 2 (2)y ky kr kr k(0)2y( )y k解：解：將差分方程式寫成遞推形式將差分方程式寫成遞推形式令令 ，則，則設設 故故 ( )( ) 2 (2)(1)y kr kr ky k1k(1)(1) 2 ( 1)(0)yrry 0()00kkr kk(1)1021y 令令繼續(xù)令繼續(xù)令 k =3,4,- ，可求出，可求出k為任何整數(shù)時的輸出為任何整數(shù)時的輸出 。迭代法的缺點，難以寫出通式迭代法的缺點，難以寫出通式 。2k (2)(2)2 (0)(1)2013yrry( )y k( )y k（2）Z變換法變換法在求解數(shù)學問題時，采用在求解數(shù)學問題時，采用Z變換法也需考慮

4、初變換法也需考慮初始條件。始條件。在利用在利用Z變換的左移定理時，即變換的左移定理時，即( )(0)(1)ZzY zzyy k22( )(0)(1)(2)Zz Y zz yzyy k例例3.9 用用Z變換法解以下差分方程變換法解以下差分方程初始條件為初始條件為 ， 。(2)3 (1)2 ( )0y ky ky k(0) 0y (1)1y解：解：對上述差分方程兩端做對上述差分方程兩端做Z變換，得變換，得22( )(0)(1) 3 ( ) 3 (0) 2 ( ) 0z Y zz yzyzY zzyY z22(32) ( ) (3 ) (0)(1)zzY zzz yzy2( )32zY zzz122

5、( )111(1)(2)1232AAY zzzzzzzz( )12zzY zzz查查Z反變換表，得反變換表，得 ( ) ( 1)( 2)0,1,2,kky kk 3.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)1、脈沖傳遞函數(shù)（、脈沖傳遞函數(shù)（Z傳遞函數(shù)）的定義傳遞函數(shù)）的定義在在初始條件為零初始條件為零時時，系統(tǒng)輸出，系統(tǒng)輸出Z傳遞函數(shù)與輸傳遞函數(shù)與輸入入Z傳遞函數(shù)之比，稱為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)之比，稱為系統(tǒng)的脈沖傳傳遞函數(shù)，與連續(xù)系遞函數(shù)，與連續(xù)系統(tǒng)一樣，它僅取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，與輸入信號無統(tǒng)一樣，它僅取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，與輸入信號無關。關。 （3.26）()()()YzGzRz若已知系統(tǒng)的脈沖

6、傳遞函數(shù)若已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) ，系統(tǒng)輸出的，系統(tǒng)輸出的Z傳遞傳遞函數(shù)為函數(shù)為 （3.27）上述關系，如圖上述關系，如圖3.2所示所示( )G z( )( ) ( )Y zG z R z輸入信號輸入信號 經采樣后為經采樣后為 ，其，其Z變換為變換為 ，但其輸出為，但其輸出為連續(xù)信號連續(xù)信號 ，為了用脈沖傳遞函數(shù)表示為了用脈沖傳遞函數(shù)表示，可在輸出端，可在輸出端虛設虛設一個一個與輸入開關同步的采樣開關，如圖與輸入開關同步的采樣開關，如圖3.2（b）所示，這樣系統(tǒng)變成了）所示，這樣系統(tǒng)變成了離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)。( )r t*( )rt( )R z()yt( )R z( )Y z*()r t*()

7、y t( )r t*()r t( )Rs*()R s( )G s( )y t( )Y s*( )Y s( )G z( )G z （a） （b）圖圖3.2 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 的求法：的求法：( )G z對對 做拉氏反變換做拉氏反變換 ，求得脈沖響應。，求得脈沖響應。對對 采樣，求得采樣信號采樣，求得采樣信號 （離散系統(tǒng)脈沖（離散系統(tǒng)脈沖響應）。響應）。對采樣信號對采樣信號 進行拉氏變換，得進行拉氏變換，得 以上以上3式均可通用式均可通用。( )G s1( )( )g tLG s( )g t*( )gt0* ( )() ()kgtg kTtkT*()g t( )G

8、z0( )()*( )kkG zLg kT zgt0( )()( )kkG zZg kT zg t( )( )G zZG s)(*)(sGzG2、差分方程與脈沖傳遞函數(shù)、差分方程與脈沖傳遞函數(shù)已知差分方程為已知差分方程為或或1( )(1)()ny ka y ka y kn01( )(1)()mb r kbr kb r km1()(1)( )ny kna y kna y k 01()(1)( )mb r k mbr k mb r k 延后形式：延后形式：超前形式：超前形式：如果差分方程為如果差分方程為1( )(1)()ny ka y ka y kn01( )(1)()mb r kbr kb r

9、km10( )()()nmijijy ka y kib r kj10( )( )( )nmijijijY za z Y zb zR z01( )( )( )1mjjjniiib zYzGzR za z如果差分方程為如果差分方程為1()(1)( )ny kna y kna y k 01()(1)( )mb r k mbr k mb r k mjjniijmkrbinkyanky01)()()(并設所有初始條件均為零，得并設所有初始條件均為零，得mjjmjniininzRzbzYzazYz01)()()(niininmjjmjzazzbzG10)(3、開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) （1）單個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)

10、（a） （b） （c） （d） 圖3.3 單個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)( )R s( )G s( )Y s( )R s( )G s( )G s1( )G s( )Rs( )R s( )Y s( )Y s( )Y s( )Rz( )R z( )G z*()Y s( )Y z( )Y z01( )( )( )hGGsG szZ（a）連續(xù)輸入與連續(xù)輸出）連續(xù)輸入與連續(xù)輸出 （3.28）（b）連續(xù)輸入與采樣輸出）連續(xù)輸入與采樣輸出 （3.29）星號交換原則星號交換原則1：等號兩邊都取星號，即：等號兩邊都取星號，即 （3.30）（c）采樣輸入與采樣輸出）采樣輸入與采樣輸出星號交換原則星號交換原則2：等號兩邊都取

11、星號，對已有星號的可：等號兩邊都取星號，對已有星號的可以移出括號之外，注意以移出括號之外，注意( )( )( )YsGsR s*( )( )( )YsR s G s( )( )( )( ) ( )Y zZGR zRG zR s G s( )( ) ( )Y sR z G s*( )( )( )( ) ( )Y sR z G sR z Gs( )( )( )Y zR z G z( ) ( )( )R z G zRG z（d）采樣輸入與連續(xù)輸出）采樣輸入與連續(xù)輸出 （3.31）注意，此時注意，此時 中包含有零階保持環(huán)節(jié)中包含有零階保持環(huán)節(jié) 。1( )( )( )Y sG s R z1( )G s1

12、eT ss第第2種、第種、第4種情況，只能寫出輸出的表達式，不能寫出它種情況，只能寫出輸出的表達式，不能寫出它的脈沖傳遞函數(shù)。只有當輸入信號和輸出信號均有采樣開的脈沖傳遞函數(shù)。只有當輸入信號和輸出信號均有采樣開關，即它們均為離散信號時，才能寫出它們之間的脈沖傳關，即它們均為離散信號時，才能寫出它們之間的脈沖傳遞函數(shù)。遞函數(shù)。能否得到脈沖傳遞函數(shù)，與采樣開關的設置有關，也與觀能否得到脈沖傳遞函數(shù)，與采樣開關的設置有關，也與觀察的角度有關。察的角度有關。（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（b）1( )G z( )Y z（a）1( )Gs2( )Gs1( )Y z( )Rz( )R

13、s( )R z1( )G s2( )G s( )G z( )R s( )Y z2()G z( )G z圖圖3.4 串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù) 1( )Y s( )Y s( )Y s對第對第1種情況：種情況：1112( )( )( )( )( )( )Y zR z G zY zY z G z11111212*( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sG s R zY sR z G sY sY z G sY sY z G s12( )( ) ( ) ( )Y zRzG zG z12( )( )( )( )Y zGz GzR z 類似，幾個環(huán)節(jié)串

14、聯(lián)，且它們之間均有采樣開關隔開，類似，幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)，且它們之間均有采樣開關隔開，則可得則可得121( )( )( )( )( )nniiG zG z GzGzG z對第對第2種情況，兩個連續(xù)環(huán)節(jié)之間無采樣開關，這樣在種情況，兩個連續(xù)環(huán)節(jié)之間無采樣開關，這樣在輸入與輸出兩個采樣開關之間的連續(xù)函數(shù)為輸入與輸出兩個采樣開關之間的連續(xù)函數(shù)為 ，可看作一個獨立環(huán)節(jié)可看作一個獨立環(huán)節(jié) 。類似，對幾個無采樣開關串聯(lián)連接的情況，類似，對幾個無采樣開關串聯(lián)連接的情況，12( )( )( )G sG s G s( )G s12( )( )( )( )Y sR z G s Gs1212*( )( )( )( )(

15、)( )YsR zR z GG sG s G s12( )( )( )Y zR z G Gz121 2( )( ) ( )( )( )nnGzZ G sG sG sGGG z星號變換規(guī)則星號變換規(guī)則3：在串連環(huán)節(jié)中，每一項需要進行星號變：在串連環(huán)節(jié)中，每一項需要進行星號變換，換，或二個采樣開關之間的環(huán)節(jié)為獨立環(huán)節(jié)或二個采樣開關之間的環(huán)節(jié)為獨立環(huán)節(jié)(離散形式離散形式)。這一點可通過實例說明：這一點可通過實例說明：設設 : ， 11()Gss21( )1Gss1211( )( )( )1G zG z GzZZss 2(1)(e)Tzzz121( )( )(1)G zGGzZs s(1e)(1)(e

16、)TTzzz注意：注意： 1212( )( )( )G z GzG Gz（3）有零階保持環(huán)節(jié)時的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)）有零階保持環(huán)節(jié)時的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 1 eTss()pG s( )Y z( )Y s( )U s*()U s圖3.5 有零階保持環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)實際上，采樣信號要加到一個連續(xù)環(huán)節(jié)上時，一定要通過實際上，采樣信號要加到一個連續(xù)環(huán)節(jié)上時，一定要通過零階保持環(huán)節(jié)。對計算機系統(tǒng)來說，計算機輸出一定要通零階保持環(huán)節(jié)。對計算機系統(tǒng)來說，計算機輸出一定要通過過D/A變換器（即零階保持環(huán)節(jié)）。變換器（即零階保持環(huán)節(jié)）。01 e( )( )( )( )sTshppG sGs GsGs1 e(

17、)( )( )TspGzZZGsG ss1( )(1)pGszZs什么是零階保持環(huán)節(jié)？即保持一個采樣周期的采樣信號，什么是零階保持環(huán)節(jié)？即保持一個采樣周期的采樣信號，如圖如圖3.6所示。所示。tToot( )sut()su t T圖3.6 單位階躍函數(shù) 其中 為單位階躍信號 0( )( )()hssgtu tu tT001e1 e( )( )TsTshhGsL gtsss ( )su t（4）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)1( )G s+1( )G s2()G s2( )G s()Rz( )Rz( )R z1()Y s1( )Y s2()Y s2()Ys1( )Y z2( )Y

18、 z( )Y z( )Y s( )R s( )R s( )Y z圖圖3.7表示表示2種并聯(lián)環(huán)節(jié)連接的結構圖種并聯(lián)環(huán)節(jié)連接的結構圖(a) (b)(a) (b)圖圖3.7 并聯(lián)環(huán)節(jié)結構圖并聯(lián)環(huán)節(jié)結構圖 對圖（對圖（a） 其中 同理 12( )( )( )Y zY zYz11( )( )( )Y sR z G s11*( )( )( )Y sRzG s11( )( )( )Y zR z G z22( )( )( )Y zR z G z1212( )( )( )( )( )( )Y zY z Y zRz G zG z 這樣對圖（對圖（b）12( )( )( )Y sY sY s11( )( )( )Y

19、 sR z G s1212( )( )( )( )( )( )( )Y sY sY sR z G sR z G s1212( )( )( )( )( )( )Y zY z Y zRz G zG z22( )( )( )Y sR z G s12( )( )( )( )( )Y sR z G sR z G s結論：采樣開關的位置可以等效移動結論：采樣開關的位置可以等效移動4閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求取閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)時，應注意求取閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)時，應注意2點：點：（a）兩個相鄰采樣開關之間的環(huán)節(jié)，為一個獨立環(huán)節(jié)）兩個相鄰采樣開關之間的環(huán)節(jié)，為一個獨立環(huán)節(jié)；（b）若閉環(huán)

20、系統(tǒng)的輸入信號未被采樣（誤差信號被采）若閉環(huán)系統(tǒng)的輸入信號未被采樣（誤差信號被采樣除外），則整個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)將寫不出來。樣除外），則整個閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)將寫不出來。求圖求圖3.8所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)( )Rs( )Ez( )Gs( )Y z( )H s( )Y s( )Bs( )E s+圖圖3.8 采樣系統(tǒng)結構圖采樣系統(tǒng)結構圖 解：解： ( )( )( )E zR zB z( )( )( )( )( ) ( )B zE z ZE z GH zG s H s( )( )( )( )( )( )EzRzBzRzEzGH z( )( )1( )R zE

21、 zGH z( ) ( )( )( )( )1( )R z G zY zE zG zGH z閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù) ( )( )( )( )1( )Y zG zK zR zGH z分子是 與 之間是所有獨立環(huán)節(jié)Z變換的乘積，分母是1加閉環(huán)回路所有獨立環(huán)節(jié)Z變換的乘積（這里只有 一個獨立環(huán)節(jié) ），這是求閉環(huán)系統(tǒng)的一種方法。( )Rz( )Y z( )( )G s H s星號變換方法：星號變換方法： ( )( )( )E sR sB s*( )( )( )EsRsBs * ( )( ) ( )Y sEs G s*( )( )( )( ) ( ) ( )BsY s H sE sGs

22、 H s*( )( )( )B sE s GH s*()()()()()()E s R s B s R s EG H ss*( )( )1( )RsEsGHs*( )( ) ( )Y sE sG s*( )( )( )1( )R s GsYsGHs*( )( )( )1( )Y sG sR sGH s( )( )( )1( )Y zG zR zGH z例例3.10 試推導圖試推導圖3.9所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)所示系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)+( )R s( )E z( )Bs( )U z( )Y z( )Y s1()Gs2( )G s3( )G s()Hs圖3.9 離散系統(tǒng)結構圖 ( )( )(

23、 )E zR zB z12 3( )( )( )( )B zE z G z GG H z12 3( )( )( )( ) ( )E zRzG zGGH z E z123( )( )1( )( )R zE zG z G G H z12 312 312 3( ) ( )( )( )( ) ( )( )1( )( )RzG zGG zY zE zG zGG zG zGGH z12 312 3( )( )( )( )( ) 1( )( )G z GG zY zK zR zG z GGH z 前向通道所有獨立環(huán)節(jié)前向通道所有獨立環(huán)節(jié)Z變換的乘積變換的乘積1+閉環(huán)回路所有獨立環(huán)節(jié)閉環(huán)回路所有獨立環(huán)節(jié)Z變換

24、的乘積變換的乘積 ( )Y z 注意幾點：注意幾點：輸入輸入 也作為一個連續(xù)環(huán)節(jié)看待。也作為一個連續(xù)環(huán)節(jié)看待。若若 存在存在( (被采樣被采樣)，則公式（，則公式（3.32）可寫出閉環(huán)系）可寫出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) ，否則，就寫不出來。，否則，就寫不出來。 ( )R s( )Rz( )( )YzR z結論：閉環(huán)系統(tǒng)的輸出結論：閉環(huán)系統(tǒng)的輸出Z變換可按以下公式寫出：變換可按以下公式寫出： （3.32）星號變換方法：星號變換方法：*123123*123*123*123*123*123( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(

25、 )( )( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )* ( )* ( )* ( )Y sEsGs G GsB sY s H sEs Gs G Gs H sBsEs Gs G G HsEsRsBsRsEs Gs G G HsRsEsGs G G HsRs Gs G GYsEs Gs G Gs *1231231231( )( )( )( )( )( )1( )( )sGs G G HsR z Gz G GzY zGz G G H z則，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為則，閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為123123( )( )( )( )( )1( )( )G z G G zY zK zR

26、zG z G G H z5有干擾作用時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出傳遞函數(shù)有干擾作用時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出傳遞函數(shù) 圖圖3.9A 有干擾作用閉環(huán)系統(tǒng)結構有干擾作用閉環(huán)系統(tǒng)結構 +( )Rs( )DG s( )Ez()Uz1 eTss1( )G s2()G s( )G z( )N s()Yz()Ys( )DG z（a）只考慮）只考慮 時時 （3.33）其中其中 （3.34）( )R s( )( ) ( )( )1( )( )DRDGzG z R zYzGz G z121e( )( )( )TsG zZG s Gss112( )( )(1)Gs GszZs( )( )zRNYY zY z（b）只考慮）只考慮 時時 （3.35） （3.36）從上式可見，從上式可見， 和和 作用點不同，產生的輸出響應作用點不