高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線與方程2.2.1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程說課教案湘教版選修1-1

1、雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、教材分析與處理1、 教材的地位與作用學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。2 、 學(xué)生狀況分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前，已掌握了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，也曾經(jīng)嘗試過探究式的學(xué)習(xí)方式，所以說從知識和學(xué)習(xí)方式上來說學(xué)生已具備了自行探索和推導(dǎo)方程的基礎(chǔ)。另外，高二學(xué)生思維活躍，敢于表現(xiàn)自己，不喜歡被動地接受別人現(xiàn)成的觀點，但同時也缺乏發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識。根據(jù)以上對教材和學(xué)生的分

2、析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知規(guī)律我希望學(xué)生能達到以下三個教學(xué)目標(biāo)。3 、 教學(xué)目標(biāo)（ 1）知識與技能：理解雙曲線的定義并能獨立推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）過程與方法：通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進一步體驗類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；（3）情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點認(rèn)識問題。4教學(xué)重點、難點依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，確定本節(jié)課的重點是理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。難點是雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。5 、教材處理：我對教學(xué)內(nèi)容作了一點調(diào)整：教材中是借用細(xì)繩畫出的雙曲線圖形，而我改用幾何畫板畫出雙

3、曲線圖形。因為相比之下，幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板，學(xué)生不僅可看到雙-1-/9曲線形成的過程，而且較易看出橢圓與雙曲線形成的聯(lián)系和區(qū)別。二、教學(xué)方法與教學(xué)手段1、教學(xué)方法著名數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。”雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗，所以本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究”式的教學(xué)方法，重點突出以下兩點：（ 1）以類比思維作為教學(xué)的主線（ 2）以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方法2、 教學(xué)手段采用多媒體輔助教學(xué)。體現(xiàn)在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫演示給學(xué)生看，而是用動畫啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。三、教學(xué)過程與設(shè)計為達

4、到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更好地突出重點，分散難點，我把教學(xué)過程分為四個階段。（一）知識引入 -知識回顧、觀察動畫、概括定義在課的開始我設(shè)置了這樣幾個問題，以幫助學(xué)生進行知識回顧：（ 1）橢圓的第一定義是什么？定義中哪些字非常關(guān)鍵？（ 2） 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（ 3） 如何判斷焦點位置？ a、b、 c 是何種關(guān)系？（片）通過回顧，既檢測了學(xué)生對前面知識的掌握情況，同時又為下面雙曲線的學(xué)習(xí)做好鋪墊。之后，告訴學(xué)生：今天要學(xué)習(xí)一種新的曲線。打開幾何畫板，首先通過動畫讓學(xué)生再一次回顧橢圓的生成過程，然后改變圖中的條件，將距離變大，動畫生成一種新的曲線，學(xué)生易看出該曲線為雙曲線。-2-/9雙曲線的定義其

5、實就是動點所滿足的關(guān)系，那么雙曲線的定義是什么？也就是動點所滿足的關(guān)系是什么？這個問題可讓學(xué)生進行探究。解決這個問題有兩個難點：一是距離的運算關(guān)系的得出；二是運算關(guān)系的簡化。在探究中，學(xué)生類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值，會認(rèn)為這個定值必是正值，而忽視了距離差為負(fù)值的情況，這樣實質(zhì)上只能得到雙曲線的一支。對于這種情況，我采取啟發(fā)引導(dǎo)，把P 從一支移到另一支，然后讓學(xué)生再次思考自己得到的關(guān)系是否正確。在引導(dǎo)下，學(xué)生會想到自己缺少一種情況，動點到兩定點的距離差為正值或正值的相反數(shù)。但這個關(guān)系能不能加以簡化？學(xué)生這個時候會聯(lián)想到利用絕對值進行簡化。這樣就得到了動點所滿足的較為精煉的關(guān)系，也就

6、是得到了雙曲線的定義。這一設(shè)計讓學(xué)生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，在此基礎(chǔ)上，再通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生就可在觀察思考中一步一步地由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，最終得到雙曲線定義，從而培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力及概括能力。另外，這一設(shè)計也在形的方面實現(xiàn)了橢圓與雙曲線的比較，也為下面雙曲線定義的挖掘及兩種曲線的對比打下基礎(chǔ)。隨著雙曲線定義的得出，教學(xué)進入第二階段- 知識探索（二）知識探索 -定義的挖掘、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、方程的對比1、定義的挖掘在這一環(huán)節(jié)中，我們要認(rèn)識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數(shù)的大小關(guān)系二者對曲線的影響。首先，我設(shè)置了這樣兩個問題：-3-/9（ 1）類比橢圓尋找雙曲線定義中的關(guān)

7、鍵字；（ 2）若分別去掉這幾個關(guān)鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化？（片）然后讓學(xué)生帶著問題進行合作探究，教師可適當(dāng)引導(dǎo)，對于學(xué)生難以理解的地方適時給予幫助指導(dǎo)。雖然學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓定義時也接觸過類似問題，但雙曲線較為復(fù)雜，比如 ：增加了“絕對值”等等。學(xué)生要獨立完成會較為困難，所以采取合作探究。這個過程既可以加深學(xué)生對定義的理解，又讓可學(xué)生在相互交流中互相啟發(fā)、激勵、共同進步提高，從而培養(yǎng)學(xué)生的表達能力和協(xié)作能力。在得出結(jié)論后，我又為學(xué)生提供了以下題目：請說出下列方程對應(yīng)曲線的名稱：（ 3）（雙曲線）（ 4）（雙曲線右支）（ 5）（橢圓）（ 6）（以（ 0， 4）為端點，沿著y 軸正向的一條線）（片）這些題

8、目由淺入深，前面兩題學(xué)生可由雙曲線定義直接認(rèn)識到動點的幾何含義，后四題需根據(jù)兩點間距離公式及橢圓雙曲線定義間接認(rèn)識到動點的幾何含義。這樣設(shè)置有了過渡，學(xué)生不會覺得跨度很大，處理起來比較順手。通過這些題的練習(xí)可以加深學(xué)生對定義的理解，更重要的這些題目就是學(xué)生對自己研究結(jié)果的應(yīng)用。讓學(xué)生體驗到應(yīng)用自己探究果實的喜悅，對學(xué)生來說是一種激勵，一舉兩得。2、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點，為了突破它，我設(shè)置了這樣幾個問題讓其貫穿推導(dǎo)過程以將難點分解：（ 1）回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法；-4-/9（ 2） 類比橢圓試著推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 3） 換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？（ 4） 猜證雙曲

9、線焦點在 y 軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程。（片）然后讓學(xué)生獨立完成推導(dǎo)過程。這樣設(shè)置的目的是考慮到由定義求方程，就是求軌跡方程的問題，并且雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程與橢圓十分類似，學(xué)生有能力獨立完成。但在由于化簡根式時運算量較大，處理起來很可能出現(xiàn)一些運算錯誤。另外，變形時絕大多數(shù)學(xué)生會想到先移項再平方，少部分學(xué)生會直接平方。若直接平方，就會出現(xiàn) 4 次方，較為復(fù)雜。如果在實際教學(xué)中，有學(xué)生提出這種做法，我會讓然后讓大家參與分析討論，看看哪種做法更為簡便。以讓學(xué)生認(rèn)識到今后在變形前要考慮清楚不要盲目去做。整個這個推導(dǎo)過程，不僅提高了學(xué)生的變形能力、運算能力，而且也提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。3、方程

10、的對比此時，學(xué)生接觸的方程已比較多，很容易混淆，有必要加以對比。我引導(dǎo)學(xué)生進行以下兩組對比：（1）雙曲線方程的兩種形式的對比；（2 ）橢圓方程與雙曲線方程的對比。（片）對比時會讓學(xué)生注意方程結(jié)構(gòu)的區(qū)別和聯(lián)系，比如說：到底是平方差還是平方和。另外，還要注意橢圓方程和雙曲線方程都涉及到的三個量a、 b、 c 它們的區(qū)別和聯(lián)系。對比后，學(xué)生可初步的分清四個標(biāo)準(zhǔn)方程及知道如何判斷a、 b 、 c。之后，我又準(zhǔn)備了這樣一組題：請說出下列方程所表示曲線的焦點位置及a、 b、c 的值：（片）-5-/9可以檢測學(xué)生對四個方程的掌握程度。學(xué)生處理時，前三題起來會比較順利，第4題很可能出現(xiàn)問題。因為需變成標(biāo)準(zhǔn)形式

11、之后再判斷焦點位置及a、 b、c 的值。（三）知識應(yīng)用 -例題與鞏固練習(xí)1、例題：在本環(huán)節(jié)中我為學(xué)生準(zhǔn)備處理兩道例題，例題可由學(xué)生講解，教師指導(dǎo)補充。例 1、已知雙曲線焦點的坐標(biāo)為，雙曲線上一點P 到的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。這道題難度不大，可直接利用定義求標(biāo)準(zhǔn)方程。也可以按求軌跡方程的方法求標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生不會出現(xiàn)太大問題。但是要向?qū)W生指明，如果某種軌跡適合某種曲線的定義，就不必再用列方程求解，只要利用定義求出常規(guī)待定函數(shù)即可。例 2、已 知 雙 曲 線 的 焦 點 在y軸 上 ， 并 且 雙 曲 線 上 兩 點的 坐 標(biāo) 為求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（片）這道題可采用待定系數(shù)法

12、求標(biāo)準(zhǔn)方程。本題中雙曲線焦點在y 軸上，學(xué)生在求解過程中很可能會忽視這個條件，易將方程設(shè)成焦點在x 軸的。教師可及時加以強調(diào)，讓學(xué)生注意審題，以培養(yǎng)學(xué)生緊密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。設(shè)置兩道題是考慮到他們都來源于教材，緊緊圍繞雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，題目典型而且也有梯度，可使學(xué)生初步掌握定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用。2、 鞏固練習(xí)練習(xí)是學(xué)習(xí)活動中不可缺少的環(huán)節(jié)，可鞏固對知識的理解，在這一環(huán)節(jié)我為學(xué)生準(zhǔn)備了三道-6-/9練習(xí)題。（ 1）已知雙曲線的實軸長為6，焦距為10，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.或D.或此題是求焦點不確定的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生易忽視焦點在y 軸的情況，通過此題的練習(xí)可以提醒學(xué)

13、生考慮問題要全面。（ 2）已知方程表示雙曲線，求m取值范圍。此題限制條件為m+2 和 m+1 同號，但會有一些學(xué)生會認(rèn)為它們均大于0，忽視了均小于 0的情況，因此會丟解，所以通過這道題的練習(xí)會提醒學(xué)生考慮問題要認(rèn)真、全面，同時又可加深學(xué)生對定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。（ 3 ）相距2km 的兩個哨所A， B 都聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，已知當(dāng)時的聲速為330ms ，在 A 哨所聽到爆炸聲的時間比在B 處遲4s。試判斷爆炸點在什么上，并求出曲線的方程。（片）這道題是從生活中提煉出的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計此題的目的是想通過練習(xí)題的解決可以加強學(xué)生的應(yīng)用能力及應(yīng)用意識，讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)是源于生活，服務(wù)于生活的辨證

14、唯物主義觀點。（四）知識小結(jié)-歸納知識與布置作業(yè)1、知識總結(jié)：（ 1）雙曲線的定義（與橢圓的區(qū)別）（ 2）標(biāo)準(zhǔn)方程（兩種形式）（ 3）焦點位置的判斷（與橢圓的區(qū)別）-7-/9（ 4） a 、b、 c 的關(guān)系（與橢圓的區(qū)別）（片）在課的尾聲，我讓學(xué)生對本節(jié)課進行了總結(jié)。目的是幫助他們認(rèn)清這節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)， 培養(yǎng)他們的歸納總結(jié)能力。2、 作業(yè)：（ 1） 用表格形式整理雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系（ 2） XX頁第 XX題（3）（選做）M是雙曲線上一點，是雙曲線的焦點，求的面積。若使雙曲線的方程和角度任意變化，你能得出一般性的結(jié)論？（片）教學(xué)內(nèi)涵不局限于課堂，為了幫助學(xué)生課下能夠繼續(xù)探索和研究，我設(shè)置了

15、幾組不同層次的作業(yè)，以幫助學(xué)生鞏固對定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，同時可全面照顧到不同層次的學(xué)生，激發(fā)他們的能動性。板書設(shè)計雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程一、雙曲線的定義三 例 1：（片）定義的挖掘二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例 21、 推導(dǎo)：2、 對比：這樣的板書設(shè)計目的是為了突出這節(jié)課的主要內(nèi)容和重點，幫助學(xué)生理清思緒，起到提綱挈領(lǐng)的作用。四、教學(xué)設(shè)計的想法說明：我在教學(xué)過程設(shè)計方面注意了三點：-8-/91. 教學(xué)過程的著力點放在了如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣上，這是喚醒學(xué)生主體認(rèn)識的關(guān)鍵。2. 教學(xué)過程的重點放在了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力上，而把握重點的關(guān)鍵是如何選擇好創(chuàng)新精神、實踐能力與課堂教學(xué)的結(jié)合，這個結(jié)合點從學(xué)科來說，就是以科學(xué)知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方法；從教師來說就是“思路、教路、學(xué)路”三者有機結(jié)合的教學(xué)過程設(shè)計，及其在課堂中的藝術(shù)展現(xiàn)；從學(xué)生來說，就是親歷、體驗、探究、思考和創(chuàng)造性的解決問題的過程，從而在過程中獲得逐步發(fā)展。3. 教學(xué)過程的基本點放在了夯實基礎(chǔ)知識和訓(xùn)練基本技能上，基礎(chǔ)知識的教學(xué)注重了層次性、針對性。我在教學(xué)理念方面注重了四點第一是能動性：