2第二型曲線積分概要

1、第二十章曲線積分2 2第二型曲線積分授課章節(jié)：ch20-大第二型曲線積分(P202-209)教學(xué)目的：1)掌握第二型曲線積分的概念和計算方法教學(xué)重點：第二型曲線積分的計算教學(xué)難點：1)第二型曲線積分的定義教學(xué)方法：講練結(jié)合.教學(xué)程序：1.引導(dǎo)2 .例題及局部習(xí)題練習(xí)3 .作業(yè).P208 習(xí)題 1(1、2、3、4、5)。一、第二型曲線積分的定義1.實例曲線L從點 A 移動到點 B,求力F(x,y)所作的功(圖 202)為此在曲線AB內(nèi)插入n -1個分點M1,M2，Mn,與A = Mo,B =Mn一起把有向曲線AB分成 n 個有向小曲線段MiJMi(i=1,2 ,，n).假設(shè)記小曲線段MiMi的弧

2、長為Asi,那么分割 T 的細度為|T|= max Asi.1色四i設(shè)力F (x, y)在 x 軸和 y 軸方向的投影分別為P(x, y)與Q(x,y),那么F(x, y)=( P(x, y),Q(x,y).又設(shè)小曲線段MiMi在 x 軸和 y 軸方向的投影分別為Axi= xi- xi與y = yiyi，其中(xi,yi)與(xi，yij),分別為分點Mi與Mi的坐標(biāo).記LMijMi=9xi,Ayi),于是力F(x,y)在小曲線段M-Mi上所作的功W由F(li) LMiM= P(-i,ni)xi+Q(-i,ni)yi,.c其中(4尸i)為小曲線段Mi_1Mi上任意一點.因而力F(x,y)沿曲線

3、AB所作的功近似nnn地等于W二工Wi ：JP(i,i) xir Q(i,i) yi.i1i1i1在物理學(xué)中還碰到另一種類型的曲線積分問題。例如一質(zhì)點受力F (x, y)的作用沿平面當(dāng)細度|T|To時，上式右邊和式的極限就應(yīng)該是所求的功.這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二型曲線積分.2.定義i df1 設(shè)函數(shù)P(x, y)與Q(x, y)定義在平面有向可求長度曲線L:AB上.對L的任一；分割T，它把L分成 n 個小曲線段M-Mi(i = 1,2,，n),其中M0= A,Mn= B記各i小曲線段MijMi的弧長為&S，分割T的細度ITII=max.又設(shè)T的分點Mi的坐標(biāo)為；(xy)

4、，并記 為 =Xj-xi,iyi= yi- y7。=1,2，n).在每個小曲線段MiMi上任!取一點(W),假設(shè)極限nn：陽：4P(i，i) xiHm0Q(i,i) yi;存在且與分割T與點(1產(chǎn)i)的取法無關(guān)，那么稱此極限為函數(shù)P(x, y),Q(x, y)沿有向曲線：L上的第二型曲線積分，記為;LP(x, y dx+Q(x,y dy或上P(x, y dx+Q(x, y dy.(1)；上述積分(1)也可寫作：LPx,y dxLQx, y dy;或BP(x, y dx+JABQ(x, y dy.ABAB;為書寫簡潔起見，(1)式常寫成i Pdx +Qdy或ABPdx + Qdy.I_ _ _

5、_ _注：1)假設(shè)L為封閉的有向曲線，那么曲線L上的第二型曲線積分記為LPdx Qdy.(2)(需注意閉合曲線的方向性)2)假設(shè)記F(x, y)= (P(x, y),Q(x, y),ds = (dx, dy).那么(1)可寫成向量形式(F *ds或(AB,ds.(3)3)第二型曲線積分與曲線L的方向有關(guān)。對同一曲線，當(dāng)方向由 A 至ijB 改為由 B 到 A時，每一小曲線段的方向都改變，從而所得的xi,&yi也隨之改變符號，故有ABPdx + Qdy = BAPdx + Qdy.4)第一型曲線積分的被積表達式只是函數(shù)f (x, y聲弧長的乘積，它與曲線L的方向無關(guān)。這是兩種類型曲線積分

6、的一個重要區(qū)別。-c5)實例中，力F(x,y)= (P(x, y),Q(x, y)沿有向曲線L : AB對質(zhì)點所作的功為W = LP(x, y dx +Q(x, y dy.； df1 #假設(shè)L為空間有向可求長度曲線，P(x, y,z),Q(x, y, z),R(x,y,z)為定義在LI I；上的函數(shù)，那么可按上述 df1 的方法類似地定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分，并記;為I II I;LP x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz,(4)I;或簡寫成II IiLPdx Qdy Rdz.II注：1)如果把F (x, y )= (P(x, y )Q(x,

7、y) R(x, y )與ds = (dx, dy, dz所作三維向量時，那么(4)式也可表不成(3)式的向量形式.3.性質(zhì)類似于第一型曲線積分，第二型曲線積分也有如下一些主要性質(zhì),.kkk1)假設(shè)Pidx+Qidy(i =1,2，k)存在，那么1fL工ciPidx+ gQidy也存在，且Lg )Jkk)kkk ciPidx+ Z ciQidy = ci(Pidx + Qdy)LITJg)ivL其中ci(i =1,2，k一常數(shù).2).假設(shè)有向曲線L是由有向曲線L1, L2，Lk首尾相接而成，且Pdx +Qdy(i =1,2，k府在，那么(Pdx + Qdy也存在，且ikPdx Q!dy = Pd

8、x Qdy.LiLi二、第二型曲線積分的計算(5)與第一型曲線積分一樣，第二型曲線積分也可化為定積分來計算、一.x =5代,r c rr c 1定理 20.1-120.1-1 設(shè)平面曲線由L:1tw k,0】給出淇中中tNt而hF上具有一階y = t 連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且點A與B的坐標(biāo)分別為管依評a與中伊 丹伊又設(shè)Px,y片Qx,y為L上的連續(xù)函數(shù)，那么沿L從A到B的第二型曲線積分LP x, y dx Q x, y dy,t t Q：t , t 1 t dt.注：1可仿照 1 中定理 20.1 的方法分別證明_.LP(x,y)dx=P( ：(t)J t)：tdt,Q(x,y)dy= QH。)/(t)

9、中(t)dt,便可得公式(6)2對于沿封閉曲線L的第二型曲線積分 2的計算,沿L所指定的方向前進，最后回到這一點即可例 1 1 ( P205)計算(xydx+(yx)dy,其中L分別沿如圖 20-3 中路線(i)直線 AB ;2.（ii）ACB (拋物線：y=2(x1) +1);（iii） ADBA 三角形周界解：i直線 AB 的參數(shù)方程為x =1 +t,： y =1+2t,t 0,11.(6)可在L上任意選取一點作為起點,故由公式6可得(Bxydx +(y x)dy=0(1 +t)(1 +2t) +2tdt=卜1 +5t +2t2)dt =25另解：見 P205 例 1 中的鉛筆解法(ii)

10、曲線 ACB 為拋物線y =2(x 1)2+1 , 1 x 2(x -1)21 -x 4(x -1)dx2cc(10 x -32x35x-12)dx =103iii這里 L 是一條封閉曲線，故可從 A 開始，應(yīng)用上段的性質(zhì)2,分別求沿 AD ,DB 和 BA 上的線積分然后相加即可得到所求之曲線積分對于沿空間有向曲線的第二型曲線積分有以下結(jié)論結(jié)論：設(shè)空間有向光滑曲線L的參量方程為由于沿直線 AD : x=x , y=1( 1 x 2 )的線積分為ADxydx (y -x)dy =.AD,2.3xydx = xdx =12.沿直線 DB ：x =2,y = y(1 y 3)的線積分為3DBxyd

11、x (y -x)dy =DB(y -x)dy =1(y-2)dy = 0.沿直線 BA 的線積分可由(i)及公式(5)得到BAxydx (y - x)dy二 一ABxydx (y -x)dy25所以.,、，3-,25、8, xydx(yx)dy=-0()=-L263例 2 2 (P206 較簡單，可自看)計算xdy + ydx ,2 .一一一(i)沿拋物線y = 2x，從 O 至 ij B 的一段(圖20-4);所以因此(ii)沿直線段 OB：y=2x；(iii)沿封閉曲線 OABO.解:(i)Lxdy ydx -x(4x) 2x2dx =1(ii)Lxdy ydx = (2x 2x)dx =

12、(iii )在 OA 一段上,在 AB 一段上,在 BO 一段上與OAxdy ydx =ABxdy ydx二y = 0,x =1,(ii)一樣是10dx =0,0201dx=2,6x2dx1=2.2(0 x1)；(0y 2)；-2. 3y = 2x從x = 1至ijx = 0的一段go xdy + ydx =一xdy + ydx = -2(見(ii)Lxdy ydx =OA.AB.BO=0 22=0.x=x(t),L ： y = y(t), t P ,z=z(t),起點為(x(a )y(a )z(ct),終點為(x(P )y(B )z(B),那么LPdx Qdy Rdz=P(x(t), y(t

13、),z(t)x (t) Q(x(t),y(t),z(t)y (t) R(x(t), y(t),z(t)z (t)dt.注：1)這里要注意曲線方向與積分上下限確實定應(yīng)該一致例 3 3(P207)計算第二型曲線積分2 1I =Lxydx x - y dy x dz,L是螺旋線：x = a cost, y = asin t, z = bt從t = 0到t = n上的上段。解：由公式(7),. 一：3222222 .I二0一a cost sin t a cos t- asint cost a b cos t dt=|-a3sin31 - -a2sin21 + -a2(1+b , t +-sin2tI 322 * t 2。12a 1 b二.2例 4 4(P207)求在力F (y,-x,x + y+z M乍用下，(i)質(zhì)點由 A 沿螺旋線 LULUB 所作的功(圖 205),其中L1: x = a cost, y二asint,z二bt,0三t三2二;(ii)質(zhì)點由 A 沿直線L2到 B 所作的功。解：如本節(jié)開頭所述，在空間曲線L上力F所作的功為W = F ds