為什么要用三級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星

1、3.33.3 為什么要用三級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？ 1 1、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星? ? （1 1）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度 假設(shè)：假設(shè)：（i i） 衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

2、（iiii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計(jì)。星的引力忽略不計(jì)。 分析：分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(shè)(ii)dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米

3、米/ /秒秒2 2，得，得: : 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 ( (公里公里) )衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析）火箭推進(jìn)力及速度的分析 假設(shè)：假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計(jì)火箭重力及空氣阻力均不計(jì) 分析：分析：記火箭在時(shí)刻記火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的

4、速度為記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u（常數(shù)），（常數(shù)）， 由動(dòng)量守恒定理：由動(dòng)量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發(fā)由噴發(fā)速度速度u u及質(zhì)量比決定。及質(zhì)量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (3.11) ) （2 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析）火箭推進(jìn)力及速度的分析 現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分： （i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）

5、mF（燃料質(zhì)量）（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量（結(jié)構(gòu)質(zhì)量如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。 最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，能，u只能達(dá)到只能達(dá)到3公里公里/秒，即使秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過超過6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)實(shí)際效益越來越低。如

6、果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中量在燃料燃燒過程中不斷減少，那不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？么末速度能達(dá)到要求嗎？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)火，假設(shè)火箭理想地好，它能隨時(shí)拋棄無用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量箭理想地好，它能隨時(shí)拋棄無用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與燃料質(zhì)量以與（與（1-）的比例同時(shí)減少。）的比例同時(shí)減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tttttutOtdtdt 得到：得到：(1)dmdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln

7、( )mtum t 理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠大，我們可以足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使要使=10.5公里公里/秒才行，則可推秒才行，則可推算出算出m0/ mp約為約為51,即發(fā)射一噸重的即發(fā)射

8、一噸重的衛(wèi)星大約需要衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 哈哈，我還是有可能哈哈，我還是有可能上天的！上天的！3 3、理想過程的實(shí)際逼近、理想過程的實(shí)際逼近多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級(jí)數(shù)為記火箭級(jí)數(shù)為n，當(dāng)?shù)冢?dāng)?shù)趇級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第i+1級(jí)火級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無用的第箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級(jí)火箭。用級(jí)火箭。用mi表示第表示第i級(jí)火箭的質(zhì)量，級(jí)火箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。表示有效負(fù)載。 為簡(jiǎn)單起見，先作如下假設(shè)：為簡(jiǎn)單起見，先作如下假設(shè)： （i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的 ,即即i級(jí)火箭中級(jí)火箭中mi為

9、結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（質(zhì)量，（1-）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 （ii）設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級(jí)火箭：考慮二級(jí)火箭： 由由3.11式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為：式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為： 2122222122lnlnPPPPPPmmmmmmmuummmmmmm該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道，先權(quán)作的味道，先權(quán)作討論的方便吧討論的方便吧又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1

10、=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，并仍設(shè)并仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計(jì)算方便，近似取秒，且為了計(jì)算方便，近似取=0.1，則，則可得：可得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級(jí)火箭：類似地，可以推算出三級(jí)火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設(shè)下在同樣假設(shè)下: : 33113ln9ln0.110.1

11、1kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三級(jí)火箭比二級(jí)火箭三級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾乎節(jié)省了一半幾乎節(jié)省了一半 是否三級(jí)火箭就是最省是否三級(jí)火箭就是最省呢？最簡(jiǎn)單的方法就是呢？最簡(jiǎn)單的方法就是對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)行討論。行討論?？紤]考慮N N級(jí)火箭：級(jí)火箭： 記記n級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載mP）為）為m0 ，在，在相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的m0/ mP的值，見表的值，見表3-2n（級(jí)數(shù)）（級(jí)數(shù)）1 2 3

12、 4 5 （理想）（理想） 火箭質(zhì)量（噸）火箭質(zhì)量（噸）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案。好的方案。當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴切且而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級(jí)火箭。也可選擇二級(jí)火箭。4 4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 3 3中已經(jīng)能說過假設(shè)中已經(jīng)能說過假設(shè)(ii)(ii)有點(diǎn)

13、強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)假設(shè)，在各級(jí)火箭具有相同在各級(jí)火箭具有相同的粗糙假設(shè)下，來討論火箭的粗糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP記記應(yīng)用（應(yīng)用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW記記112121ln1111nnnnnWWWWuWWWW則則11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又問題化為，在問題化為，在n一定的條件下，求使一定的條件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnkkukk解條件極值問題：解條件極值問題：