雙曲線考點(diǎn)與題型歸納

1、雙曲線考點(diǎn)與題型歸納、根底知識(shí)1. 雙曲線的定義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) Fi, F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a? (2av |FiF2|)的點(diǎn)P的軌跡叫做雙曲線？ 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.?當(dāng)|PFi| |PF2|= 2a2av|FiF2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡為靠近 F2的雙曲線的一支當(dāng)|PFi |PF2|= 2a2av|FiF2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡為靠近 Fi的雙曲線的一支.?假設(shè)2a = 2c,那么軌跡是以Fi, F2為端點(diǎn)的兩條射線；假設(shè) 2a>2c,那么軌跡不存在；假設(shè) 2a =0,那么軌跡是線段 FiF2的垂直平分線2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(i)中央在坐標(biāo)

2、原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x_b> 0).(2)中央在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為當(dāng)b2= i(a>0,b> 0).3.雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程p y2= i(a>0, b>0)£首i(a > 0, b> 0)范圍|x|>a, y R|y|>a, x R對稱性對稱軸：x軸,y軸；對稱中央：原點(diǎn)焦占八'、八、Fi( c,0), F2(c,0)Fi(0, c), F2(0, c)頂點(diǎn)Ai ( a,0), A2(a,0)Ai (0, a), A2(0, a)軸線段AiA2, BiB2分別是雙曲線的實(shí)軸

3、和虛軸；實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b焦距|FiF2|= 2c離心率e=氣/i+ 2 (i ,+s )e是表示雙曲線開口大小的aa一個(gè)量,e越大開口越大.漸近線y=±xy=±)xa, b, c的關(guān)系a2= c2 b2、常用結(jié)論(1)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為2b,也叫通徑.a與雙曲線令by2 = 1(a> 0, b> 0)有共同漸近線的方程可表示為 £=t(tz 0).(3)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.假設(shè)P是雙曲線右支上一點(diǎn),Fl, F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),貝y|PFi|min = a + c,|PF 2|min = C a.考

4、點(diǎn)一 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程典例(1)(2021石家莊摸底)雙曲線過點(diǎn)(2,3),漸近線方程為y= ±.3x,那么該雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()7x2 y2_ 4A* 詰-12 =C. x2彳=12 2B.Z x-= 132點(diǎn)x2彳D. = 123232 2(2021天津高考)雙曲線 予治=1(a> 0, b > 0)的離心率為2,過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A, B兩點(diǎn).設(shè)A, B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且di + d2= 6,那么雙曲線的方程為( x2A.412= 1)x2 y2B. = 1124cx2y2= 1C.39解析法一：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在

5、x軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 羊一$= 1(a>0,49了孑 1,b> 0),由題意得譏,a解得a 1廠所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2£ = 1 ；b = .3,3當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是o| 琴=1(a > 0, b > 0),由題意得94 一廠產(chǎn)1 ,無解.故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2 卜1,選C.法二：當(dāng)其中的一條漸近線方程y= '3x中的x = 2時(shí),y= 2 '3>3,又點(diǎn)2,3在第一象限,所以雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 羊一£= 1a>0, b>0,由題意得49了疋

6、=1,a= 1,y2解得所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2詈=1,應(yīng)選C.b=J3,法三：由于雙曲線的漸近線方程為 y= ±3x,即扌3= ±<,所以可設(shè)雙曲線的方程是 x2 3 = X入工0,將點(diǎn)2,3代入,得 入=1,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2£ = 1,應(yīng)選C.法一：如圖,不妨設(shè) A在B的上方,那么A c, Bc,-密.又雙曲線的一條漸近線為bx ay= 0,bc b2+ bc+ b2 2bC 那么 d1+d2=2= T=2b&7R=6,所以 b = 3.又由 e= C= 2,知 a2 + b2= 4a2,所以 a = .'3. a所以雙曲

7、線的方程為3g法二：由di+ d2= 6,得雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,所以b = 3由于雙曲線2 x_ a2y2= 1(a>0, b>0)的離心率為2,所以c= 2,所以 =2 = 4,所以葺M= 4,解得a2= 3,所以雙曲線的方程為x2y2=1,應(yīng)選 c.答案1C題組練習(xí)2 21.雙曲線Fi, F2,點(diǎn)P在雙曲線的右x2 y2= 1(a>0, b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為a b支上,假設(shè)|PF1| |PF2|= 4b,且雙曲線的焦距為 2 ,5那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x224A.4 - y2=1C. x2與=14B.X2 亡 132d.x2|PF1| |PF2

8、= 2a = 4b,解析：選A 由題意可得c2= a2+ b2,2c= 2 5,2a = 4,x2解得那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為j y2= 1.b2= 1,42.雙曲線x2y2-y2= 1(a>0, b>0)的實(shí)軸長為4,離心率為 "5,那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x22仏=116勞-解析：選A2由于雙曲線務(wù)ay2b2=1(a>0, b>0)的實(shí)軸長為4,所以a= 2,由離心率為.5,可得a= .5, c= 2.5,所以b= c2 a2= 20 4= 4,那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 匚屮6=1.3. 經(jīng)過點(diǎn)P(3,2 7), Q( 6 2, 7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

9、為解析：設(shè)雙曲線方程為mx2 + ny2= 1(mnv 0),由于所求雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,2 7), Q( 6 .2, 7),9m + 28n = 1, 所以72m + 49 n= 1,m=_175,解得1 n= 25.故所求雙曲線方程為亡x225 75=1.答案:25- 75=1考點(diǎn)二雙曲線定義的應(yīng)用考法(一)利用雙曲線的定義求雙曲線方程典例動(dòng)圓 M與圓Ci : (x+ 4)2 + y2= 2外切,與圓 C2 : (x 4)2+ y2= 2內(nèi)切,貝V 動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()X2 y2X2 y2A邁u= 1" 2) £= 1(x < ,2)C.f +14= g .

10、2)D-f + J； = i(x< 2)解析設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,由題意可得|MCi|= r +羽,|MC2|= r 評(píng),所以|MCi|MC2| =2 2= 2a,故由雙曲線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn) M在以Ci( 4,0), C2(4,0)為焦點(diǎn),實(shí)軸長為 2a = 2 .2的雙曲線的右支上, 即a= 2, c= 4? b2= i6 2= i4,故動(dòng)圓圓心 M的軌跡方程為 弓一i；= i(x>2)-答案A解題技法利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.考法(二)焦點(diǎn)三角形問題典例Fi, F2為雙曲線 C: x2 y2 = i的左、右焦點(diǎn),點(diǎn) P在C

11、上,/ FiPF2 = 60° 那么 |PFi| PF2|等于()A . 2B . 4C. 6D . 8解析由雙曲線的方程得 a = 1, c= , 2,由雙曲線的定義得|PFi| |PF2|= 2.在APFiF2中,由余弦定理得|FiF2|2= |PFi|2+ |PF2|2 2|PFi| PF2|cos 60°即(2 ,2)2 = |PFi|2+ |PF2|2 |PFi| PF2|=(|PFi| |PF2|)2+ |PFi| P|=22 + |PFi| P|,解得 |PFi| PF2|= 4.答案B解題技法在雙曲線中,有關(guān)焦點(diǎn)三角形的問題常用雙曲線定義和解三角形的知識(shí)來解

12、決,尤其是涉及PFi|, IPF21的問題,一般會(huì)用到雙曲線定義涉及焦點(diǎn)三角形的面積問題,假設(shè)頂角B已1知,那么用Sapf1f2= 2|PFi|PF2|sin 0, |PFi|-|PF2|= 2a及余弦定理等知識(shí)；假設(shè)頂角B未知,那么E1用 Sapf1f2= 2 C y0|來解決.題組練習(xí)1. 點(diǎn)Fi 3,0和F23,0,動(dòng)點(diǎn)P到Fi, F2的距離之差為4,那么點(diǎn)P的軌跡方程為a.手=i(y>0)B. X4y5= i(x>0)乞 x2= 1(y>0)C.45D.-學(xué) i(x>0)解析：選B由題設(shè)知點(diǎn)p的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支,設(shè)其方程為g2bj2= 1(x

13、>0, a>0,2Xb>0,由題設(shè)知c= 3, a= 2, b2= 9 4= 5,所以點(diǎn)P的軌跡方程為 -5 = 1(x>0).2.雙曲線x2 24= i的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi, F2, P為雙曲線右支上一點(diǎn).假設(shè)4PFi|-3|PF2|,那么 FiPF2的面積為24A. 48C. 12解析：選B 由雙曲線的定義可得|PFi| |PF2|= 1|PF2|= 2a= 2,解得 |PF2|= 6,故 |PFi|= 8,又 |FiF2|= 10,由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形,因此 Szf1pf2= 2|PFi| PF2|= 24.考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)考法一求雙曲線的

14、離心率或范圍x2 y典例2021長春二測雙曲線 孑一器=1a>0, b>0的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,點(diǎn)P在雙曲線的右支上,且|PFi|= 4|PF2|,那么雙曲線離心率的取值范圍是5 c5A. 3,2B. 1,35,C. 1,2D. 3,+2a解析由雙曲線的定義可知|PFi|PF2|= 2a,又|PFi|= 4|PF2|,所以|PF2| = _y,由雙曲2 ac 55線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為c a,可得j> c a,解得-< 3,即ew3,又雙曲線的離心5率e> 1,故該雙曲線離心率的取值范圍為1, 3,應(yīng)選B.答案B解題技法1. 求雙曲線的離心率或其范圍的

15、方法亠c2 a2+ b2 * b2±亠+1求a, b, c的值,由-2=廠=1 + 2直接求e.a aa2列出含有a, b, c的齊次方程或不等式,借助于b2 = c2 a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān) 于e的方程或不等式求解.2. 求離心率的口訣歸納離心率,不用愁,尋找等式消b求；幾何圖形尋跡蹤,等式藏在圖形中.考法二求雙曲線的漸近線方程X2 y2典例2021武漢局部學(xué)校調(diào)研雙曲線C: m2器=1m> 0, n>0的離心率與橢X2 y2圓其+±=1的離心率互為倒數(shù),那么雙曲線C的漸近線方程為2516A. 4x±3= 0B. 3x±4= 0C. 4x

16、±3= 0 或 3x±4= 0D. 4x± 5= 0 或 5x±4= 0解析由題意知,橢圓中a= 5, b= 4,橢圓的離心率e= " . 1詈,二雙曲線的 離心率為".1+m=3,m=3,雙曲線的漸近線方程為丫=爭=±,即4x±3=0應(yīng)選 A.答案A解題技法求雙曲線的漸近線方程的方法X2 V2y2 x2求雙曲線 孑器=1(a > 0, b> 0)或拿孑=1(a> 0, b > 0)的漸近線方程的方法是令右邊x2 y2by2 Xa的常數(shù)等于0,即令孑*= 0,得V=專X；或令拿孑=0,得y=

17、±bx.反之,漸近線方 程為y= ±x,可設(shè)雙曲線方程為X2 £= Xa>0, b>0,仔0) aa b題組練習(xí)x2 y21. (2021濰坊統(tǒng)一測試)雙曲線 器一器=1(a>0, b>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3,且離心率為2,那么該雙曲線的實(shí)軸的長為 ()A. 1C. 2B. .；3D . 2 ,'3解析：選C由題意知雙曲線的焦點(diǎn)(c,0)到漸近線bcbx ay= 0的距離為 (=b =Ja2+ b253,即c2 a2= 3,又e= a = 2,所以a = 1,該雙曲線的實(shí)軸的長為 2a= 2.ax 22. 直線I是雙曲線C :

18、 y4 = 1的一條漸近線,P是直線I上一點(diǎn),F1, F2是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),假設(shè)> >PF1 PF2 = 0,那么點(diǎn)P到x軸的距離為()2.3A. 3B.、：2C. 22 6 D. 3解析：選C 由題意知,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1( .'6, 0), F2( 6, 0),不妨設(shè)直線 I 的方程為 y=>/2x,設(shè) P(X0, 72x0).由品 卍=( 6 X0,2x0) X0,近X0)= 3x2 6 = 0,得 X0= ±.'2,故點(diǎn) P 到 x 軸的距離為 | .-'2X0| = 2,應(yīng)選 C.3. (2021成都一診)如圖,雙曲

19、線 E：孑一活=1(a> 0, b > 0), 長方形ABCD的頂點(diǎn)A, B分別為雙曲線 E的左、右焦點(diǎn),且點(diǎn) C, D 在雙曲線E上,假設(shè)AB|= 6, |BC|= §那么雙曲線E的離心率為()A"B.|D. .''5解析：選D 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a = 1,那么|PFi|PF2|= 2a = 2,即|6|PF2|= 2,解析：選B根據(jù)|AB| = 6可知c= 3,又|BC|= ,所以b =5, b2=號(hào)a,所以c2 = a2+號(hào)a2a 222c=9,解得a= 2(舍負(fù)),所以e= a =a32.4. (2021郴州二模)雙曲線= 1(m&

20、gt;0)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線 x+ y= 5上,那么雙曲線的漸近線方程為()a y=B. y=C. y =D. y=解析：選b由雙曲線mx291(m> 0)的焦點(diǎn)在y軸上,且在直線 x+ y= 5上,直線 x+ y= 5與y軸的交點(diǎn)為(0,5),有 c = 5,貝U m+ 9= 25,得m= 16,所以雙曲線的方程為y6_x9=1,4故雙曲線的漸近線方程為 y = ±3x.應(yīng)選B.課時(shí)跟蹤檢測A級(jí)1. (2021襄陽聯(lián)考)直線I: 4x 5y= 20經(jīng)過雙曲線C: |2-b= 1(a>0, b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)和虛軸的一個(gè)端點(diǎn),那么雙曲線C的離心率為()A 5c 3A.

21、B匚C. 83 5解得|PF2|= 4或8.3. 2021全國卷川x2雙曲線C：孑2b= 1a>0, b>0的離心率為2,那么點(diǎn)4,0到C的漸近線的距離為A. 2解析：選Dc -e=ab2_ b+ a2= 2,Aa = 1.雙曲線的漸近線方程為x± = 0.點(diǎn)4,0到C的漸近線的距離d= 42 = 24.假設(shè)實(shí)數(shù)k滿足0 < k< 9,那么曲線箱-芒=1與曲線啟-yA 離心率相等B 虛半軸長相等C.實(shí)半軸長相等D .焦距相等解析：選D 由0<k<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上,由 25+ 9 k =25 k+ 9,得兩雙曲線的焦距相等.5

22、. 2021陜西局部學(xué)校摸底在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,雙曲線Ci： 2X2 y2= 1,過C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行直線, 那么該直線與另一條漸近線及x軸所圍成的三角形的面積為A亞A. 42R返B. 22解析：選C設(shè)雙曲線C1的左頂點(diǎn)為A,那么A ¥,0,雙曲線的漸近線方程為y=土. 2x,不妨設(shè)題中過點(diǎn) A的直線與漸近線y = . 2x 平行,那么該直線的方程為y= 2 x+于,y= V2x,即y= ,2x+ 1聯(lián)立y= 7 2x+ 1,x= 解得所圍成的三角形的面積 S= 2 -OA|1y= 2.所以該直線與另一條漸近線及x軸彳,應(yīng)選C.6. (2021 寧五校協(xié)作體

23、模考)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,雙曲線 C：學(xué)= 1(a>0, b>0)的離心率為 于,從雙曲線 C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線,垂足為 A,假設(shè) AFO 的面積為1,那么雙曲線C的方程為()x2 y2 彳ox22 .B.y2= 14 yA = 12 82 2x y .C = 1C.416解析：選D 由于雙曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|= b, |0A|= a,所以ab= 2,又雙曲線C的離心率為.5,所以, 1+ p= 5,即b2= 4a2,解得a2= 1, b2= 4,所以雙曲線c的方程為x2-y4 = i,應(yīng)選d.7. (2021北京高考)假設(shè)雙曲線 £ 7

24、= 1(a>0)的離心率為 ¥,貝U a=a 42解析：由e=aa2+ b2a2 + 4 5a2,得 1T = 4,/a2= 16.答案：4&過雙曲線x2的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于B兩點(diǎn),貝U |AB|=解析：雙曲線的右焦點(diǎn)為F(2,0),過F與x軸垂直的直線為x= 2,漸近線方程為x2 -=0,將 x= 2 代入 x2-y3 = o,得 y2= 12, y= ±23,故 |AB|= 43.答案：4.39. (2021海淀期末)雙曲線|2冷=1(a>0, b>0)的漸近線為正方形 OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn) B為

25、該雙曲線的焦點(diǎn).假設(shè)正方形OABC的邊長為2,那么a =解析：雙曲線乍一y2= 1的漸近線方程為y= fx,由可得兩條漸近線互相垂直,由雙曲線的對稱性可得 一=1又正方形 OABC的邊長為2,所以c= 2 E,所以a2+ b2= c2 =a(2 ,2)2,解得 a = 2.答案：210. (2021南昌摸底調(diào)研)雙曲線Cx2a22b2= 1(a>0, b> 0)的右焦點(diǎn)為 F,過點(diǎn)F作圓(x a)2+ y2=看的切線,假設(shè)該切線恰好與的一條漸近線垂直,那么雙曲線C的離心率解析：不妨取與切線垂直的漸近線方程為y=,由題意可知該切線方程為y=ac2cc16c), 即卩ax+ by ac

26、= 0圓(x a)2 + y2=花的圓心為(a,0),半徑為4,那么圓心到切線的距離d =|a2 ac| ac a2 cc=c = 4,又e=a,貝U e2 4e+ 4 = 0,解得e= 2,所以雙曲線 C的離心率e= 2. a2+ b2 c4a答案：211. 雙曲線的中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)Fi, F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,2,且過點(diǎn)(4 ,10),點(diǎn)M(3 , m)在雙曲線上.(1) 求雙曲線的方程；> >(2) 求證：MF1MF2= 0 ；(3) 求厶F1MF2的面積.解：(1)'/e= 2,雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等.那么可設(shè)雙曲線方程為x2 y2=入雙曲線過點(diǎn)(4, .10)

27、,'16 10=入 即 入=6.x2 y2雙曲線方程為-& = 1.(2)證實(shí)：不妨設(shè)F1, F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn), 那么MH = ( 2書一3, m), MM= (2羽一3, m). MF 1 MF 2= (3 + 21'3) X (3 2>j3) + m2 = 3 + m2,/ M點(diǎn)在雙曲線上,-9 m2 = 6,即 m2 3= 0,- MF1 MF 2= 0.(3) F1MF2 的底邊長 |F1F2| = 4 3.由(2)知 m=±. 3. F1MF2的高 h= |m|= 3,1 - SAF1 MF2 = 2 4 3X 3 = 6.12.

28、中央在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)Fi, F2,且|FiF2|= 2 ,13 ,橢圓的長半軸長與雙曲線實(shí)半軸長之差為4,離心率之比為3 : 7.(1)求橢圓和雙曲線的方程；假設(shè)P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),求cos/ F1PF2的值.解:(1)由題知c= 13,設(shè)橢圓方程為+ £= 1(a>b>0),雙曲線方程為2%= 1(m>0 ,a bm nn>0),a m= 4,那么解得 a= 7, m= 3.那么 b= 6, n = 2.故橢圓方程為49+卷=1,雙曲線方程為 罟£ = 1.不妨設(shè)F1, F2分別為橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是第一

29、象限的交點(diǎn),那么|PF1|+ |PF2|= 14, |PF1| |PF2|= 6,所以 |PF1|= 10, |PF2|= 4.又|F1F2|= 2.13,所以 COS/F1PF2=|PF1| X 10X 4= 5.+ |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2|102+ 42 2 .13 24y= kx與雙曲線C:y2= 1(a>0, b>0)有兩個(gè) bb由題意知a> . 3,1+b2> 4,即宦 a2> 2.922. (2021吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)如圖,雙曲線C:孑一b9= 1(a>0, b>0)的左、右焦點(diǎn)分別 為Fi, F2,直線I過點(diǎn)Fi且與雙曲線C的一條漸近線垂直,與兩條漸近線分別交于M, NC. y V兩點(diǎn),假設(shè)|NFi|= 2|MFi|,那么雙曲線C的漸近線方程為()B . y= ± 3xD. y= +