函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)

1、函數(shù)定義域、值域求法總結(jié)一、定義域是函數(shù)y=f(x)中的自變量x的范圍。 求函數(shù)的定義域需要從這幾個(gè)方面入手： （1）分母不為零 （2）偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。（3）對(duì)數(shù)中的真數(shù)部分大于0。 （4）指數(shù)、對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0，且不等于1 （5）y=tanx中xk+/2；y=cotx中xk等等。( 6 )中x二、值域是函數(shù)y=f(x)中y的取值范圍。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）圖象法（數(shù)形結(jié)合） （3）函數(shù)單調(diào)性法（4）配方法 （5）換元法 （包括三角換元） （6）反函數(shù)法（逆求法） （7）分離常數(shù)法 （8）判別式法 （9）復(fù)合函數(shù)法（10）不等式法 （11）平方法等等這些解題思想與

2、方法貫穿了高中數(shù)學(xué)的始終。三、典例解析1、定義域問題例1 求下列函數(shù)的定義域： ； ； 解：x-2=0，即x=2時(shí)，分式無意義，而時(shí)，分式有意義，這個(gè)函數(shù)的定義域是.3x+2<0，即x<-時(shí)，根式無意義，而，即時(shí)，根式才有意義，這個(gè)函數(shù)的定義域是|.當(dāng)，即且時(shí)，根式和分式 同時(shí)有意義，這個(gè)函數(shù)的定義域是|且另解：要使函數(shù)有意義，必須： Þ 例2 求下列函數(shù)的定義域： 解：要使函數(shù)有意義，必須： 即： 函數(shù)的定義域?yàn)椋?要使函數(shù)有意義，必須： 定義域?yàn)椋?x|要使函數(shù)有意義，必須： Þ 函數(shù)的定義域?yàn)椋阂购瘮?shù)有意義，必須： 定義域?yàn)椋?要使函數(shù)有意義，必須： 即

3、 x< 或 x> 定義域?yàn)椋豪? 若函數(shù)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 解：定義域是R,例4 若函數(shù)的定義域?yàn)?1，1，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：函數(shù)的定義域?yàn)椋豪? 已知f(x)的定義域?yàn)?，1，求f(2x1)的定義域。分析：法則f要求自變量在1，1內(nèi)取值，則法則作用在2x1上必也要求2x1在 1，1內(nèi)取值，即12x11,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域；或者從位置上思考f(2x1)中2x1與f(x)中的x位置相同，范圍也應(yīng)一樣，12x11,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域。（注意：f(x)中的x與f(2x1)中的x不是同一個(gè)x，即它們意義不同。）解：f

4、(x)的定義域?yàn)?，1，12x11，解之0x1，f(2x1)的定義域?yàn)?，1。例6已知已知f(x)的定義域?yàn)?，1，求f(x2)的定義域。答案：1x21 x211x1 練習(xí)：設(shè)的定義域是-3，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須： 得： 0 函數(shù)的定域義為：例7已知f(2x1)的定義域?yàn)?，1，求f(x)的定義域因?yàn)?x1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定義域。已知f(3x1)的定義域?yàn)?，2），求f(2x+1)的定義域。）（提示：定義域是自變量x的取值范圍）練習(xí)：已知f(x2)的定義域?yàn)?，1，求f(x)的定義域若的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）已

5、知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋瑒t（）B 2、求值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；反比例函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，值域?yàn)閥|y0；二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?例1 求下列函數(shù)的值域 y=3x+2(-1x1) （記住圖像） 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5略 當(dāng)x>0，=，當(dāng)x<0時(shí)，=值域是2，+).（此法也稱為配方法）函數(shù)的圖像為：二次函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)：例2 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：； ； ； 解：，頂點(diǎn)為(2,-3)，頂

6、點(diǎn)橫坐標(biāo)為2. 拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R，x=2時(shí)，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的值域是y|y-3 .頂點(diǎn)橫坐標(biāo)23,4，當(dāng)x=3時(shí)，y= -2；x=4時(shí)，y=1； 在3,4上，=-2，=1；值域?yàn)?2，1.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 0,1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=1時(shí)，y=-2,在0,1上，=-2，=1；值域?yàn)?2，1.頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2 0,5，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=2時(shí)，y=-3, x=5時(shí)，y=6,在0,1上，=-3，=6；值域?yàn)?3，6.注：對(duì)于二次函數(shù),若定義域?yàn)镽時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值；當(dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最大值.若定義域?yàn)閤 a,b,則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)

7、x0是否屬于區(qū)間a,b.若a,b,則是函數(shù)的最小值（a>0）時(shí)或最大值（a<0）時(shí)，再比較的大小決定函數(shù)的最大（小）值.若a,b,則a,b是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值.注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（小）值；當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論.練習(xí)：1、求函數(shù)y=3+(23x)的值域解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(23x)0， 故3+(23x)3。 函數(shù)的值域?yàn)?2、求函數(shù) 的值域解： 對(duì)稱軸 例3 求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：法一：（單調(diào)性法）設(shè)f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,

8、(x1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定義域?yàn)閤1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域?yàn)閥|y4/3。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+4-x的值域。(答案：y|y3)法二：換元法(下題講)例4 求函數(shù) 的值域 解：（換元法）設(shè)，則 點(diǎn)評(píng)：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用

9、十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4例5 （選）求函數(shù) 的值域解：（平方法）函數(shù)定義域?yàn)椋?例6 （選不要求）求函數(shù)的值域解：（三角換元法） 設(shè) 小結(jié)：（1）若題目中含有，則可設(shè) （2）若題目中含有則可設(shè)，其中（3）若題目中含有，則可設(shè)，其中（4）若題目中含有，則可設(shè)，其中（5）若題目中含有，則可設(shè)其中-10134-4xy 例7 求 的值域解法一：（圖象法）可化為 如圖， 觀察得值域解法二：（零點(diǎn)法）畫數(shù)軸 利用可得。-103解法三：（選）（不等式法） 同樣可得值域練習(xí)：的值域呢？ （）（三種方法均可）例8 求函數(shù) 的值域解：（換元法）設(shè) ，則 原函數(shù)可化為10xy

10、 例9求函數(shù) 的值域解：（換元法）令，則 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域?yàn)?例10 求函數(shù) 的值域解：（圖象法）如圖，值域?yàn)?例11 求函數(shù) 的值域解法一：（逆求法）解法二：（分離常數(shù)法）由 ，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?；如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來求值域。例12 求函數(shù) 的值域011解法一：（逆求法） 小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。解法二：（換元法）設(shè) ，則 01練習(xí)：y=；（y(-1，1)）.例13 函數(shù) 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（換

11、元法）設(shè) ，則 解法三：（判別式法）原函數(shù)可化為 1） 時(shí) 不成立2） 時(shí)，綜合1）、2）值域解法四：（三角換元法）設(shè)，則 原函數(shù)的值域?yàn)?0例14 求函數(shù)的值域5解法一：（判別式法）化為1）時(shí)，不成立2）時(shí)，得綜合1）、2）值域解法二：（復(fù)合函數(shù)法）令，則 所以，值域例15 函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）1）當(dāng)時(shí)，2） 時(shí)，綜合1）2）知，原函數(shù)值域?yàn)槔?6 (選) 求函數(shù)的值域解法一：（判別式法）原式可化為 解法二：（不等式法）原函數(shù)可化為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故值域?yàn)槔?7 （選） 求函數(shù)的值域解：（換元法）令 ，則原函數(shù)可化為。小結(jié)：已知分式函數(shù) ，如果在

12、其自然定義域內(nèi)可采用判別式法求值域；如果是條件定義域，用判別式法求出的值域要注意取舍，或者可以化為（選）的形式，采用部分分式法，進(jìn)而用基本不等式法求出函數(shù)的最大最小值；如果不滿足用基本不等式的條件，轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性去解。 練習(xí)：1 、；解：x0，y11.另外，此題利用基本不等式解更簡捷：(或利用對(duì)勾函數(shù)圖像法)2 、0<y5.3 、求函數(shù)的值域； 解：令0,則,原式可化為,u0，y，函數(shù)的值域是（-，.解：令 t=4x-0 得 0x4 在此區(qū)間內(nèi) (4x-)=4 ，(4x-) =0函數(shù)的值域是 y| 0y24、求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2：函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-1，2的距離之和，易見y的最小值是3，函數(shù)的值域是3，+. 如圖 5、求函數(shù)的值域解：設(shè) 則 t0 x=1-代入得 t0 y46、（選）求函數(shù)的值域方法一：去分母得 (y-1)+(y+5)x-6y-6=0 當(dāng) y¹1時(shí) xÎR =(y+5)+4(y-1)×6(y+1)