巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)

1、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 數(shù)字信號(hào)處理課程作業(yè)學(xué) 號(hào)：S315060063專 業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)生姓名：董程鳳任課教師：鄭麗穎教授 2015年12月巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)摘要：本文分析了國(guó)內(nèi)外數(shù)字濾波器技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)，介紹了低通濾波器的基本結(jié)構(gòu)和常見的幾種低通濾波器的設(shè)計(jì)比較，重點(diǎn)介紹了巴特沃斯低通濾波器。首先分析了巴特沃斯低通濾波器的特性，然后用MATLAB的信號(hào)處理工具箱提供的函數(shù)設(shè)計(jì)了巴特沃斯低通濾波器，使得巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)變得更加簡(jiǎn)單、快捷、直觀。關(guān)鍵詞：低通濾波器，巴特沃斯低通濾波器，MATLAB1. 引言在信號(hào)處理過(guò)程中，所處理的信號(hào)往往混有噪音，從接受到的信號(hào)中消除

2、或減弱噪音是信號(hào)傳輸和處理中十分重要的問(wèn)題。根據(jù)有用信號(hào)和噪音的不同特性，提取有用信號(hào)燈過(guò)程成為濾波，實(shí)現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱為濾波器。在近代電信設(shè)備和各類控制系統(tǒng)中，濾波器應(yīng)用極為廣泛，例如，濾波器最早應(yīng)用于語(yǔ)音處理，除此之外，還應(yīng)用于圖像處理、通信、音視頻壓縮和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等領(lǐng)域中。濾波技術(shù)是數(shù)字信號(hào)分析、處理技術(shù)的重要分支。無(wú)論是信號(hào)的獲取、傳輸，還是信號(hào)的處理和交換都離不開濾波技術(shù)，它對(duì)信號(hào)安全可靠和有效靈活地傳輸是至關(guān)重要的。根據(jù)濾波器的選頻作用可以將它分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器。低通濾波器和高通濾波器是濾波器的兩種最基本的形式，其它的濾波器都可以分解為這兩種

3、類型的濾波器，例如：低通濾波器與高通濾波器的串聯(lián)為帶通濾波器，低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。根據(jù)“最佳逼近特性”標(biāo)準(zhǔn)還可以把濾波器分為巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波器和貝塞爾濾波器。巴特沃斯濾波器是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器，它廣泛應(yīng)用于通信領(lǐng)域、電測(cè)中，目前人們已經(jīng)成功地將巴特沃斯低通濾波器應(yīng)用于電動(dòng)測(cè)試中。2. 低通濾波器2.1濾波器的基本概念從輸入信號(hào)中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過(guò)程稱為濾波，相應(yīng)的裝置稱為濾波器。濾波器是一種選頻裝置，可以使信號(hào)中特定的頻率成分通過(guò)，而極大地衰減其它頻率成分。在測(cè)試裝置中，利用濾波器的這種選頻作用，可以濾除干擾噪聲或進(jìn)行頻譜分析。

4、廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視為是一種濾波器。因?yàn)?，任何裝置的相應(yīng)特性都是激勵(lì)頻率的函數(shù)，都可用頻域函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測(cè)試系統(tǒng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，諸如機(jī)械系統(tǒng)、電氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率范圍內(nèi)，按其頻域特性，對(duì)所通過(guò)的信號(hào)進(jìn)行變換與處理。如果濾波器的輸入和輸出均為離散信號(hào)，稱該濾波器為數(shù)字濾波器。當(dāng)濾波器的輸出信號(hào)為輸入端的線性函數(shù)時(shí)，該濾波器稱為線性濾波器，否則稱為非線性濾波器。2.2常見濾波器下面介紹幾種常見的濾波器：1 低通濾波器從頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號(hào)中低于的頻率成分幾乎不受衰減地通過(guò)，而高于的頻率成分受到極大地衰減。2 高

5、通濾波器與低通濾波器相反，從頻率，其幅頻特性平直。它使信號(hào)中高于的頻率成分幾乎不受衰減地通過(guò)，而低于的頻率成分將受到極大地衰減。3 帶通濾波器它的帶通頻帶在之間。它使信號(hào)中高于而低于的頻率成分可以不受衰減地通過(guò)，而其它成分受到衰減。4 帶阻濾波器與帶通濾波器相反，阻帶在頻率之間。它使信號(hào)中高于而低于的頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號(hào)幾乎不受衰減地通過(guò)。2.3低通濾波器低通濾波是一種過(guò)濾方式，規(guī)則為低頻信號(hào)能正常通過(guò)，而超過(guò)設(shè)定臨界值的高頻信號(hào)則被阻隔、減弱?？梢院?jiǎn)單的認(rèn)為：設(shè)定一個(gè)頻率點(diǎn)，當(dāng)信號(hào)頻率高于這個(gè)頻率時(shí)不能通過(guò)，在數(shù)字信號(hào)中，這個(gè)頻率點(diǎn)也就是截止頻率，當(dāng)頻域高于這個(gè)截止頻率是，則

6、全部賦值為0.因?yàn)樵谶@一處理過(guò)程中，讓低頻信號(hào)全部通過(guò)，所以稱為低通濾波。對(duì)不同濾波器而言，每個(gè)頻率的信號(hào)的減弱程度不同，當(dāng)使用音頻應(yīng)用時(shí)，它有時(shí)稱為高頻剪切濾波器，或高音消除濾波器。低通濾波器是指車載功放中能夠讓低頻信號(hào)通過(guò)而不讓中、高頻信號(hào)通過(guò)的電路，起作用是濾去音頻中的中音和高音成分，增強(qiáng)低音成分以驅(qū)動(dòng)揚(yáng)聲器的低音單元。由于車載放大部分都是全頻功放，通常采用AB類放大設(shè)計(jì)，功率損耗比較大，所以濾除低頻段的信號(hào)，只推動(dòng)中高頻揚(yáng)聲器是節(jié)省功率、保證音質(zhì)的最佳選擇。低通濾波器的工作原理很簡(jiǎn)單，就是利用電容通高頻阻低頻、電感通低頻阻高頻的原理。對(duì)于需要截止的高頻，利用電容吸收電感、阻礙的方法不使

7、它通過(guò)；對(duì)于需要放行的低頻，利用電容高阻、電感低阻的特點(diǎn)讓它通過(guò)。低通濾波器概念有許多不同的形式，其中包括電子線路（如音頻設(shè)備中使用的hiss濾波器、平滑數(shù)據(jù)的數(shù)字算法、音障、圖像模糊處理等等，這兩個(gè)工具都通過(guò)剔除短期波動(dòng)、保留長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)提供了信號(hào)的平滑形式。低通濾波器在信號(hào)處理中的作用等同于其它領(lǐng)域中移動(dòng)平均數(shù)所起的作用；低通濾波器有很多種。其中，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器。低通濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)：1 通帶增益通帶增益是指濾波器在通頻帶內(nèi)的電壓放大倍數(shù)。性能良好的LPF通帶內(nèi)的幅頻特性曲線是平坦的，祖帶內(nèi)的電壓放大倍數(shù)基本為零。2 通帶截止頻率其定義與放大電路的上限截止頻

8、率相同。通帶與阻帶之間稱為過(guò)渡帶，過(guò)渡帶越窄，說(shuō)明濾波器的選擇性越好。3. 巴特沃斯低通濾波器3.1巴特沃斯低通濾波器的簡(jiǎn)介巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種，特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。這種濾波器最先由英國(guó)工程師斯替芬巴特沃斯在1930年發(fā)表在英國(guó)無(wú)線電工程期刊的一篇論文中提出的，可以構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)，是目前最為流行的一類數(shù)字濾波器。經(jīng)過(guò)離散化可以作為數(shù)字巴特沃斯濾波器，較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點(diǎn)，因而在自動(dòng)控制、語(yǔ)音、圖像、通信、雷達(dá)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低

9、通濾波器。3.2巴特沃斯低通濾波器的特性巴特沃斯低通濾波器的平方幅度響應(yīng)為其中，n為濾波器的階數(shù)，為低通濾波器的截止頻率。該濾波器具有一些特殊的性質(zhì)：1 對(duì)所有的n，都有當(dāng)時(shí)，；2 對(duì)所有的n，都有當(dāng)時(shí)，即在處有3dB的衰減；3 是的單調(diào)遞減函數(shù)，即不會(huì)出現(xiàn)幅度響應(yīng)的起伏；4 時(shí)，巴特沃斯濾波器趨向于理想的低通濾波器；5 在=0處平方幅度響應(yīng)的各級(jí)導(dǎo)數(shù)均存在且等于0，因此在該點(diǎn)上取得最大值，且具有最大平坦特性。圖1展示了2階、4階、8階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性?？梢婋A數(shù)n越高，其幅特性越好，低頻檢測(cè)信號(hào)保真度越高。圖1巴特沃斯低通濾波器幅頻特性從表1可以看出，巴特沃斯濾波器在帶通和過(guò)渡區(qū)域

10、的線性相位、衰減斜率、加載特性以及跳躍反應(yīng)方面具有特性均衡的優(yōu)點(diǎn)。因此在實(shí)際使用中，巴特沃斯濾波器已被列為首選。表1 巴特沃斯與貝塞爾、切比雪夫?yàn)V波器的特性差異比較濾波器類型帶通過(guò)渡區(qū)域階躍響應(yīng)巴特沃斯濾波器帶通中最大的平坦幅度比貝塞爾濾波器陡峭，但不如切比雪夫?yàn)V波器性能好有一些過(guò)沖和振鈴，但低于切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器帶通中的紋波比巴特沃斯濾波器和貝塞爾濾波器陡峭過(guò)沖和振鈴合理貝塞爾濾波器帶通中的平坦幅度響應(yīng)比巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器慢與巴特沃斯和切比雪夫?yàn)V波器相比，過(guò)沖和振鈴非常小3.3 巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)，用下式表示： N為濾波器的階數(shù)

11、。當(dāng)=0時(shí)，=1；=時(shí)，=1/2，是3dB截止頻率。=時(shí)，逐漸增大，幅度下降非常迅速。和N同幅度特性關(guān)系圖如圖1所示。N決定了幅度下降速度，N越大，通帶就越平坦，過(guò)渡帶也隨之變窄，阻帶幅度同過(guò)渡帶下降的速度越迅速，總體頻響特性同理想低通濾波器的實(shí)際誤差越小。用S代替，把幅度平方函數(shù)變成S的函數(shù)：，此公式說(shuō)明了幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)可以用下面的公式來(lái)表達(dá)：2n個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為的圓上，間隔是rad。如圖2所示。圖2 三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)只取S平面左半面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成。的表達(dá)式為例如N=3，通過(guò)下式可以計(jì)算出6個(gè)極點(diǎn)：，當(dāng)

12、n=3時(shí)，6個(gè)極點(diǎn)中位于左半平面的三個(gè)分別是：，取S平面左半面平面的極點(diǎn)，組成：將對(duì)3dB截止頻率歸一化，歸一化后的表示為：令，p稱為歸一化拉式復(fù)變量。，稱為歸一化頻率。經(jīng)過(guò)歸一化后巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)為：式中，為歸一化極點(diǎn)，為位于左半平面的極點(diǎn)用下式表示：，把極點(diǎn)表達(dá)式代入歸一化后的巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)，得到的的分母是p的n階多項(xiàng)式，用下式表示：下面來(lái)確定n，由技術(shù)指標(biāo)，和確定。在定義 ，中，將和分別代入幅度平方函數(shù)，得到和，再將和代入中，整理得：聯(lián)立這兩個(gè)式子可得：令，則n的表達(dá)式為：，取大于等于N的最小整數(shù)。 經(jīng)過(guò)總結(jié)，巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟大致為：1 通過(guò)，和的值，用公式

13、算出濾波器的階數(shù)n。2 根據(jù)，求出歸一化極點(diǎn)，將代入中，得出歸一化傳輸函數(shù)。3 將去歸一化。將代入中，從而得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)。4. MATLAB仿真及分析4.1 MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB語(yǔ)言是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的預(yù)言，它編程效率高，測(cè)試程序手段豐富，擴(kuò)展能力強(qiáng)，內(nèi)涵豐富。它的信號(hào)處理工具箱提供了設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的函數(shù)。本文充分利用這些函數(shù)，進(jìn)行了巴特沃斯濾波器的程序設(shè)計(jì)，并將其作為函數(shù)文件保存，可方便地進(jìn)行調(diào)用。4.2 MATLAB仿真及分析用函數(shù)設(shè)計(jì)歸一化的巴特沃斯低通濾波器。函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下，選巴特沃斯濾波器的階數(shù)n和截止頻率，從而可用函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的

14、傳遞函數(shù)。可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)n及截止頻率，其中為通帶的拐角頻率，為阻帶的拐角頻率，和的單位均為；為通帶區(qū)的最大波動(dòng)系數(shù)，和阻帶區(qū)的最小衰減系數(shù)，和的單位都為dB?？稍O(shè)計(jì)截止頻率為的n階低通模擬巴特沃斯濾波器，其傳遞函數(shù)為：。令=1，得到巴特沃斯濾波器歸一化結(jié)果，如表2所示。表2 n=18階的巴特沃斯濾波器系數(shù)濾波器的性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率=2400HZ，通常最大衰減=3dB，阻帶截止頻率=5000HZ，阻帶最小衰減=25dB。MATLAB程序如下：%采樣率>> f_N=16000; %設(shè)計(jì)要求指標(biāo) >> f_p=2400;>> f

15、_s=5000;>> R_p=3;>> R_s=25;%計(jì)算歸一化角頻率>> Ws=f_s/(f_N/2);>> Wp=f_p/(f_N/2);%計(jì)算階數(shù)和截止頻率>> n,Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);%計(jì)算H（Z）>> b,a=butter(n,Wn);%作出H（Z）的幅頻相頻圖，freqz（b，a，計(jì)算點(diǎn)數(shù)，采樣率）>> freqz(b,a,1000,8000)>> subplot(2,1,1);>> axis(0 4000 -30 3)利用MATLAB工具箱

16、里的函數(shù)，仿真設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的仿真結(jié)果如圖3所示。圖3 假定的輸入信號(hào)的頻譜和濾波器的輸出信號(hào)的頻譜5. 結(jié)論本文主要介紹利用MATLAB對(duì)巴特沃斯濾波器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和分析。在本文的第一章為大家引入了濾波器的概念和發(fā)展?fàn)顩r。在第二章主要介紹了低通濾波器的基本概念、特性和常用的幾種濾波器。在第三章和第四章是本文的重點(diǎn)，介紹了巴特沃斯低通濾波器，包括巴特沃斯濾波器的特性、設(shè)計(jì)理念以及利用MATLAB仿真和分析巴特沃斯濾波器。雖然巴特沃斯低通濾波器相對(duì)于切比雪夫和貝塞爾濾波器具有較大的優(yōu)點(diǎn)，但是，它仍然具有不足之處。首先，巴特沃斯濾波器的相位不是線性的，另外，對(duì)與巴特沃斯低通濾波器來(lái)說(shuō)，在通帶內(nèi)的=0附近非常逼近理想濾波器，但是在附近效果并不好，也就是說(shuō)它不是等紋波的逼近理想濾波器。所以我們對(duì)于此方面的研究還需進(jìn)一步的探索。本文雖然對(duì)巴特沃斯濾波器的許多方面均加以詳細(xì)介紹，但是作為數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)博大精深的分支，這只是狠下的一個(gè)方面。隨著技術(shù)的不斷發(fā)展和人們對(duì)知識(shí)的深切渴望，我們對(duì)巴特沃斯低通濾波器的研究還有很長(zhǎng)的路要走。參考文獻(xiàn)1 徐明遠(yuǎn) 邵玉斌.MATLAB仿真在通信與電子工程中的應(yīng)用（第二版）.西安電子科技大學(xué)出版社，20102 互聯(lián)網(wǎng)3 李鐘慎.基于MATLAB設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器.華僑大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，泉州 3620114 李