PA+kPB最值探究胡不歸+阿氏圓

1、PA+k PB型的最值問題【問題背景】“PA+k PB型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k值為1時(shí)，即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB之和最短問題，就可用我們常見的“飲馬問題”模型 來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí)，若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題，則無 法進(jìn)行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類，一般分為2類研究。 即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題；點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探究線段最值問題的解決方案?！局R(shí)儲(chǔ)備】線段最值問題常用原

2、理：1三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；2兩點(diǎn)問線段最短；3連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；【模型初探】（一）點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)- “胡不歸”問題如圖1-1-1所示，已知sin / MBN=k P為角/MBNM中一邊BM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)，點(diǎn)A在射線BM BN的同側(cè)，連接AP,則當(dāng)PA+k PB的值最小時(shí)，P點(diǎn)的 位置如何確定？分析：本題的關(guān)鍵在丁如何確定“k - PB的大小，過點(diǎn)P作P（U BN垂足為Q, WJ k - PB=PB sin / MBN=PQ,本題求“PA+k PB的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ的最小俏如圖1-1-2）,即A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)

3、最?。ㄈ鐖D1-1-3）,本題得解。動(dòng)態(tài)展示：見GIF格式！思考：當(dāng)k值大丁1時(shí)，“PA+k PB線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢?提取系數(shù)k艮呵哦！ ！【數(shù)學(xué)故事】從前，有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒，當(dāng)他獲悉在家的老父親病危 的消息后，便立即啟程趕路。由丁思鄉(xiāng)心切，他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理， 所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑2B（如圖所示），而忽視了走折線雖然路 程多但速度快的實(shí)際情況，當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí)，老人剛剛咽了氣，小伙子 失聲癰哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？ 何以歸”。這個(gè)古老的傳說，引起了人們的思索，小伙子能否提前到家？倘 若可以，他應(yīng)該選擇一條怎

4、樣的路線呢？這就是風(fēng)靡千白年的“胡不歸問題”。圖】京E【模型初探】（二）點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)如圖所示2-1-1 ,00的半徑為r,點(diǎn)A、B都在 00夕卜，P為0上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k - OB連接PA、P己則當(dāng)“PA+k PB的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確上截取OC使OC=k r,則可說明BPOA PCO相似，即k - PB=PC本題求“PA+k PB的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC的最小值，即A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3 ）,本題得解。動(dòng)態(tài)展示：見GIF格式！【問題背景】 阿氏圓乂稱阿波羅尼斯圓，已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=kPBk1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家

5、阿波羅尼* “阿氏圓”問題斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”【模型初探】“阿氏圓” 一般解題步驟：第一步：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O（將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接），則連接OP OB第二步：計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、OB長(zhǎng)度；第三步：計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比k；OB第四步：在OB上取點(diǎn)C,使彳WCWP；OP OB第五步：連接AC,與圓O交點(diǎn)即為點(diǎn)P.【模型類比】“胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等丁小丁1系數(shù)起點(diǎn)構(gòu)造所需角（k=sin Z CAE -過終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線 - 利用垂線段最短解決問題“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造?CAP推出PA2ABAC即：半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段【典型例題】1.（胡

6、不歸問題）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4且ZABC=60 , M為對(duì)角線1BD（不含B點(diǎn)）上任怠一點(diǎn)，則AM+-BMI的最小值為2-1分析：如何將BM轉(zhuǎn)化為其他線段呢？2即本題k似L必須轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值啊,2即轉(zhuǎn)化為300角的正弦值。思考到這里，不難發(fā)現(xiàn)，只要作MN直丁BC11則MNBM即AM+BM最小轉(zhuǎn)化為AM+MNR小，本題得解。詳解：如圖，作A必丁BC垂足為N,.四邊形ABCD是菱形且/ABC=60 , Z DBC=30 ,*_ 1MN即sin Z DBC=- ,2 BM1 _. . -BM=MN21AM+BM的最小值為AN.2在RTAABN中，AN=AB sin Z ABC=

7、6姬3了.21AM+BM的取小值為3壬.2變式思考：（1）本題如要求“2AM+BM的最小值你會(huì)求嗎？（2）本題如要求“AM+BM+CM勺最小值你會(huì)求嗎？1AM+BM=AM+M NP2D答案：（1 ） 63 （ 2）6rJ3本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！-詳見：本公眾號(hào)前文！2.（阿氏圓問題）如圖，點(diǎn)A、B在。0上，且OA=OB=,6且OI0日點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB1,且OD=4動(dòng)點(diǎn)P在。0上，則2PC PD的最小值為分析：如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢？不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn)，即2倍關(guān)系就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型：構(gòu)造共邊共角相似半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段 詳解： 連接OP,在射線O

8、A上截取AE=6.即：OP2OC OEOP(A OEPPE 2PC. 2PC PD PE PD,即P、Ck E三點(diǎn)共線最小在R訟OED中，DETOD2OE21-F14T 4 1F即2PC PD的最小值為4 10變式思考：（1）本題如要求“PC1PD”的最小值你會(huì)求嗎？2（2）本題如要求“PC3 PD”的最小值你會(huì)求嗎?2答案：(1)2而(2)3/lG【變式訓(xùn)練】（胡不歸問題）1.如圖，等腰ABC中，AB=AC=3 BC=2 BC邊上的高為AQ點(diǎn)D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD-DC運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒， 動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒，則當(dāng)AD時(shí)， 運(yùn)

9、動(dòng)時(shí)間最短為 秒.答案：二T，:2432.如圖，在菱形ABCD中，AB= 且 Z ABC=150 ,點(diǎn) P是對(duì)角線 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB+PDJ最小值為.答案：6 2本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦！ ！ ！【中考真題】（胡不歸問題）1.（2016俺州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A （-1 , 0）, B （0,-海）、C （2, 0）,其中對(duì)稱軸與x軸交丁點(diǎn)Do若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD則1 PB PD的最小值為。22.（2014.成都）如圖，已知拋物線y變（x 2）（x 4）與x軸從左至右依次交丁點(diǎn)9A、B,與y軸交丁點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的

10、直線y&竺與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為33D （-5 ,3。設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？答案：33,2, 234，課外提升：2015日照、2015內(nèi)江、2016隨州多個(gè)城市均在壓軸題考察了 “胡不歸”問題。要好好專研哦！ ?。ê粴w問題變式）又更加枚埃段瀏區(qū)JL人臨近耐式芥坤蝦世出t甲L今夫H刊卜內(nèi)泣個(gè)防毒 在個(gè)株強(qiáng)討瓷得禳舞,taBr tt-TBBHUBMCD-VTMB.也*Wr.戶機(jī)4中 fW.N，#fi荷TH AM

11、 JK上i典PM*牛H*的目卜伯v* *. . c氐同的一帔州以下5f vff Z4J9W. h* 辱,訕#= W - Miff F灣AfQ -4 M.Bl PM # UV PM、地FH (阿氏圓問題)1. (1)【問題提出】：如圖1 ,在Rt ABC中，ZAC手900, CA4, C住6,1OC半徑為2 , P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP, BP,求AW - BP的最小值.嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP,在CB上取點(diǎn)D,使CD= 1,貝U有CD CP 1, 乂.Z PC6Z BCP,. APCIA BCP,CP CB 2PD 1, . Pt1BP. AW1BA

12、AW PD.BP 222_ _ 、1用你元成余下的思考，并直接與出答案：AW - BP的最小值為2- .-，、，.1(2).【自王探索】：在I可題提出的條件不變的情況下，-AW BP的最小3值為.(3).【拓展延伸】：已知扇形COD中，ZCO厚90o,。妥6, OX 3,。牛5,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，貝U 2PV PB的最小值為2一答案：衫,曠,13.【變式訓(xùn)練】32.如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心作半徑為4的圓交X軸正半軸丁點(diǎn)A,3.如圖，半圓的半徑為1, AB為直徑，AG BD為切線，AC=1 BD=2 P為蒞上 一動(dòng)點(diǎn)，求W*C+PD勺最小值為.答案：5,32T2(2017甘肅蘭州)如

13、圖，拋物線 y =-x2+bx c 與直線 AB交丁 A -4,4 , B 0, 4兩點(diǎn)，直線AC : y = _! x 6交 y 軸與點(diǎn)C，點(diǎn) E2是直線 AB 上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) E 作EF _ x軸交AC丁點(diǎn) F，交拋物線丁點(diǎn)G. 求拋物線 y = -x2+bx c 的表達(dá)式； 連接GB , EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；在 y 軸上存在一點(diǎn) H，連接 EH , HF ,當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以 A, E, F, H 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn) E, H的坐標(biāo)；在的前提下，以點(diǎn) E 為圓心，EH 長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn) M為。E上一動(dòng)點(diǎn)，求1-AM +CM的最小值.2答案：(1) y=- x2- 2x+4; (2) G (- 2, 4); (3) E (- 2, 0). H (0,T）；【中考真題】A(阿氏圓問題)寫在最后:“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題，即“PA+k PB（kl的常數(shù)）型的最值問題。兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，即將k - PB這條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某條具體線段PC的長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短 或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)造最短距離。不過兩類問題的難點(diǎn)都在丁如何對(duì)k