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1、PA+k PB型的最值問題【問題背景】“PA+k PB型的最值問題是近幾年中考考查的熱點(diǎn)更是難點(diǎn)。當(dāng)k值為1時(shí),即可轉(zhuǎn)化為“PA+PB之和最短問題,就可用我們常見的“飲馬問題”模型 來處理,即可以轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題來處理。而當(dāng)k取任意不為1的正數(shù)時(shí),若再以常規(guī)的軸對(duì)稱思想來解決問題,則無 法進(jìn)行,因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動(dòng)點(diǎn)P所在圖像的不同來分類,一般分為2類研究。 即點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)和點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)。其中點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“胡不歸”問題;點(diǎn)P在圓周上運(yùn)動(dòng)的類型稱之為“阿氏圓”問題。本文將分別從這兩類入手與大家共同探究線段最值問題的解決方案?!局R(shí)儲(chǔ)備】線段最值問題常用原

2、理:1三角形的三邊關(guān)系:兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;2兩點(diǎn)問線段最短;3連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短;【模型初探】(一)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)- “胡不歸”問題如圖1-1-1所示,已知sin / MBN=k P為角/MBNM中一邊BM上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn),點(diǎn)A在射線BM BN的同側(cè),連接AP,則當(dāng)PA+k PB的值最小時(shí),P點(diǎn)的 位置如何確定?分析:本題的關(guān)鍵在丁如何確定“k - PB的大小,過點(diǎn)P作P(U BN垂足為Q, WJ k - PB=PB sin / MBN=PQ,本題求“PA+k PB的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PQ的最小俏如圖1-1-2),即A、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)

3、最?。ㄈ鐖D1-1-3),本題得解。動(dòng)態(tài)展示:見GIF格式!思考:當(dāng)k值大丁1時(shí),“PA+k PB線段求和問題該如何轉(zhuǎn)化呢?提取系數(shù)k艮呵哦! !【數(shù)學(xué)故事】從前,有一個(gè)小伙子在外地學(xué)徒,當(dāng)他獲悉在家的老父親病危 的消息后,便立即啟程趕路。由丁思鄉(xiāng)心切,他只考慮了兩點(diǎn)之間線段最短的原理, 所以選擇了全是沙礫地帶的直線路徑2B(如圖所示),而忽視了走折線雖然路 程多但速度快的實(shí)際情況,當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時(shí),老人剛剛咽了氣,小伙子 失聲癰哭。鄰居勸慰小伙子時(shí)告訴說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸? 何以歸”。這個(gè)古老的傳說,引起了人們的思索,小伙子能否提前到家?倘 若可以,他應(yīng)該選擇一條怎

4、樣的路線呢?這就是風(fēng)靡千白年的“胡不歸問題”。圖】京E【模型初探】(二)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)如圖所示2-1-1 ,00的半徑為r,點(diǎn)A、B都在 00夕卜,P為0上的動(dòng)點(diǎn),已知r=k - OB連接PA、P己則當(dāng)“PA+k PB的值最小時(shí),P點(diǎn)的位置如何確上截取OC使OC=k r,則可說明BPOA PCO相似,即k - PB=PC本題求“PA+k PB的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC的最小值,即A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D2-1-3 ),本題得解。動(dòng)態(tài)展示:見GIF格式!【問題背景】 阿氏圓乂稱阿波羅尼斯圓,已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=kPBk1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家

5、阿波羅尼* “阿氏圓”問題斯發(fā)現(xiàn),故稱“阿氏圓”【模型初探】“阿氏圓” 一般解題步驟:第一步:連接動(dòng)點(diǎn)至圓心O(將系數(shù)不為1的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別與圓心相連接),則連接OP OB第二步:計(jì)算出所連接的這兩條線段OP、OB長(zhǎng)度;第三步:計(jì)算這兩條線段長(zhǎng)度的比k;OB第四步:在OB上取點(diǎn)C,使彳WCWP;OP OB第五步:連接AC,與圓O交點(diǎn)即為點(diǎn)P.【模型類比】“胡不歸”構(gòu)造某角正弦值等丁小丁1系數(shù)起點(diǎn)構(gòu)造所需角(k=sin Z CAE -過終點(diǎn)作所構(gòu)角邊的垂線 - 利用垂線段最短解決問題“阿氏圓”構(gòu)造共邊共角型相似構(gòu)造?CAP推出PA2ABAC即:半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段【典型例題】1.(胡

6、不歸問題)如圖,四邊形ABCD是菱形,AB=4且ZABC=60 , M為對(duì)角線1BD(不含B點(diǎn))上任怠一點(diǎn),則AM+-BMI的最小值為2-1分析:如何將BM轉(zhuǎn)化為其他線段呢?2即本題k似L必須轉(zhuǎn)化為某一角的正弦值啊,2即轉(zhuǎn)化為300角的正弦值。思考到這里,不難發(fā)現(xiàn),只要作MN直丁BC11則MNBM即AM+BM最小轉(zhuǎn)化為AM+MNR小,本題得解。詳解:如圖,作A必丁BC垂足為N,.四邊形ABCD是菱形且/ABC=60 , Z DBC=30 ,*_ 1MN即sin Z DBC=- ,2 BM1 _. . -BM=MN21AM+BM的最小值為AN.2在RTAABN中,AN=AB sin Z ABC=

7、6姬3了.21AM+BM的取小值為3壬.2變式思考:(1)本題如要求“2AM+BM的最小值你會(huì)求嗎?(2)本題如要求“AM+BM+CM勺最小值你會(huì)求嗎?1AM+BM=AM+M NP2D答案:(1 ) 63 ( 2)6rJ3本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦!-詳見:本公眾號(hào)前文!2.(阿氏圓問題)如圖,點(diǎn)A、B在。0上,且OA=OB=,6且OI0日點(diǎn)C是OA的中點(diǎn),點(diǎn)D在OB1,且OD=4動(dòng)點(diǎn)P在。0上,則2PC PD的最小值為分析:如何將2PC轉(zhuǎn)化為其他線段呢?不難發(fā)現(xiàn)本題出現(xiàn)了中點(diǎn),即2倍關(guān)系就出現(xiàn)了。套用“阿氏圓”模型:構(gòu)造共邊共角相似半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段 詳解: 連接OP,在射線O

8、A上截取AE=6.即:OP2OC OEOP(A OEPPE 2PC. 2PC PD PE PD,即P、Ck E三點(diǎn)共線最小在R訟OED中,DETOD2OE21-F14T 4 1F即2PC PD的最小值為4 10變式思考:(1)本題如要求“PC1PD”的最小值你會(huì)求嗎?2(2)本題如要求“PC3 PD”的最小值你會(huì)求嗎?2答案:(1)2而(2)3/lG【變式訓(xùn)練】(胡不歸問題)1.如圖,等腰ABC中,AB=AC=3 BC=2 BC邊上的高為AQ點(diǎn)D為射線AO上一點(diǎn),一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD-DC運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)速度3個(gè)單位每秒, 動(dòng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)單位每秒,則當(dāng)AD時(shí), 運(yùn)

9、動(dòng)時(shí)間最短為 秒.答案:二T,:2432.如圖,在菱形ABCD中,AB= 且 Z ABC=150 ,點(diǎn) P是對(duì)角線 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB+PDJ最小值為.答案:6 2本題也可用“費(fèi)馬點(diǎn)”模型解決哦! ! !【中考真題】(胡不歸問題)1.(2016俺州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A (-1 , 0), B (0,-海)、C (2, 0),其中對(duì)稱軸與x軸交丁點(diǎn)Do若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD則1 PB PD的最小值為。22.(2014.成都)如圖,已知拋物線y變(x 2)(x 4)與x軸從左至右依次交丁點(diǎn)9A、B,與y軸交丁點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)B的

10、直線y&竺與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為33D (-5 ,3。設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),連接AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止,當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為 時(shí),點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少?答案:33,2, 234,課外提升:2015日照、2015內(nèi)江、2016隨州多個(gè)城市均在壓軸題考察了 “胡不歸”問題。要好好專研哦! ?。ê粴w問題變式)又更加枚埃段瀏區(qū)JL人臨近耐式芥坤蝦世出t甲L今夫H刊卜內(nèi)泣個(gè)防毒 在個(gè)株強(qiáng)討瓷得禳舞,taBr tt-TBBHUBMCD-VTMB.也*Wr.戶機(jī)4中 fW.N,#fi荷TH AM

11、 JK上i典PM*牛H*的目卜伯v* *. . c氐同的一帔州以下5f vff Z4J9W. h* 辱,訕#= W - Miff F灣AfQ -4 M.Bl PM # UV PM、地FH (阿氏圓問題)1. (1)【問題提出】:如圖1 ,在Rt ABC中,ZAC手900, CA4, C住6,1OC半徑為2 , P為圓上一動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP, BP,求AW - BP的最小值.嘗試解決:為了解決這個(gè)問題,下面給出一種解題思路:如圖2,連接CP,在CB上取點(diǎn)D,使CD= 1,貝U有CD CP 1, 乂.Z PC6Z BCP,. APCIA BCP,CP CB 2PD 1, . Pt1BP. AW1BA

12、AW PD.BP 222_ _ 、1用你元成余下的思考,并直接與出答案:AW - BP的最小值為2- .-,、,.1(2).【自王探索】:在I可題提出的條件不變的情況下,-AW BP的最小3值為.(3).【拓展延伸】:已知扇形COD中,ZCO厚90o,。妥6, OX 3,。牛5,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn),貝U 2PV PB的最小值為2一答案:衫,曠,13.【變式訓(xùn)練】32.如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為圓心作半徑為4的圓交X軸正半軸丁點(diǎn)A,3.如圖,半圓的半徑為1, AB為直徑,AG BD為切線,AC=1 BD=2 P為蒞上 一動(dòng)點(diǎn),求W*C+PD勺最小值為.答案:5,32T2(2017甘肅蘭州)如

13、圖,拋物線 y =-x2+bx c 與直線 AB交丁 A -4,4 , B 0, 4兩點(diǎn),直線AC : y = _! x 6交 y 軸與點(diǎn)C,點(diǎn) E2是直線 AB 上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) E 作EF _ x軸交AC丁點(diǎn) F,交拋物線丁點(diǎn)G. 求拋物線 y = -x2+bx c 的表達(dá)式; 連接GB , EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);在 y 軸上存在一點(diǎn) H,連接 EH , HF ,當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),以 A, E, F, H 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形?求出此時(shí)點(diǎn) E, H的坐標(biāo);在的前提下,以點(diǎn) E 為圓心,EH 長(zhǎng)為半徑作圓,點(diǎn) M為。E上一動(dòng)點(diǎn),求1-AM +CM的最小值.2答案:(1) y=- x2- 2x+4; (2) G (- 2, 4); (3) E (- 2, 0). H (0,T);【中考真題】A(阿氏圓問題)寫在最后:“胡不歸”和“阿氏圓”問題都是一類解決最短距離問題,即“PA+k PB(kl的常數(shù))型的最值問題。兩類問題所蘊(yùn)含的都是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,即將k - PB這條線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為某條具體線段PC的長(zhǎng)度,進(jìn)而根據(jù)“垂線段最短 或兩點(diǎn)之間線段最短”的原理構(gòu)造最短距離。不過兩類問題的難點(diǎn)都在丁如何對(duì)k

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