壓電陶瓷測量原理

1、 壓電陶瓷及其測量原理 近年來，壓電陶瓷的研究發(fā)展迅速，取得一系列重大成果，應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，已深入到國民經(jīng)濟(jì)和尖端技術(shù)的各個(gè)方面中，成為不可或缺的現(xiàn)代化工業(yè)材料之一。由于壓電材料的各向異性，每一項(xiàng)性能參數(shù)在不同的方向所表現(xiàn)出的數(shù)值不同，這就使得壓電陶瓷材料的性能參數(shù)比一般各向同性的介質(zhì)材料多得多。同時(shí)，壓電陶瓷的眾多的性能參數(shù)也是它廣泛應(yīng)用的重要基礎(chǔ)。 （一）壓電陶瓷的主要性能及參數(shù) （1）壓電效應(yīng)與壓電陶瓷 在沒有對稱中心的晶體上施加壓力、張力或切向力時(shí)，則發(fā)生與應(yīng)力成比例的介質(zhì)極化，同時(shí)在晶體兩端將出現(xiàn)正負(fù)電荷，這一現(xiàn)象稱為正壓電效應(yīng)；反之，在晶體上施加電場時(shí)，則將產(chǎn)生與電場強(qiáng)度成比例的

2、變形或機(jī)械應(yīng)力，這一現(xiàn)象稱為逆壓電效應(yīng)。這兩種正、逆壓電效應(yīng)統(tǒng)稱為壓電效應(yīng)。晶體是否出現(xiàn)壓電效應(yīng)由構(gòu)成晶體的原子和離子的排列方式，即晶體的對稱性所決定。在聲波測井儀器中，發(fā)射探頭利用的是正壓電效應(yīng)，接收探頭利用的是逆壓電效應(yīng)。（2） 壓電陶瓷的主要參數(shù) 1、介質(zhì)損耗 介質(zhì)損耗是包括壓電陶瓷在內(nèi)的任何電介質(zhì)的重要品質(zhì)指標(biāo)之一。在交變電場下，電介質(zhì)所積蓄的電荷有兩種分量：一種是有功部分（同相），由電導(dǎo)過程所引起；另一種為無功部分（異相），由介質(zhì)弛豫過程所引起。介質(zhì)損耗是異相分量與同相分量的比值，如圖 1 所示，為同相分量，為異相分量，與總電流 I 的夾角為，其正切值為 其中 為交變電場的角頻率，R

3、 為損耗電阻，C 為介質(zhì)電容。 圖 1 交流電路中電壓-電流矢量圖（有損耗時(shí)）2、機(jī)械品質(zhì)因數(shù) 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)是描述壓電陶瓷在機(jī)械振動(dòng)時(shí)，材料內(nèi)部能量消耗程度的一個(gè)參數(shù)，它也是衡量壓電陶瓷材料性能的一個(gè)重要參數(shù)。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)越大，能量的損耗越小。產(chǎn)生能量損耗的原因在于材料的內(nèi)部摩擦。機(jī)械品質(zhì)因數(shù)的定義為： 機(jī)械品質(zhì)因數(shù)可根據(jù)等效電路計(jì)算而得 式中為等效電阻（）， 為串聯(lián)諧振角頻率（Hz）， 為振子諧振時(shí)的等效電容（F），為振子諧振時(shí)的等效電感。 與其它參數(shù)之間的關(guān)系將在后續(xù)詳細(xì)推導(dǎo)。 不同的壓電器件對壓電陶瓷材料的 值的要求不同，在大多數(shù)的場合下（包括聲波測井的壓電陶瓷探頭），壓電陶瓷器件要求壓

4、電陶瓷的 值要高。 3、壓電常數(shù) 壓電陶瓷具有壓電性，即在其外部施加應(yīng)力時(shí)能產(chǎn)生額外的電荷。其產(chǎn)生的電荷與施加的應(yīng)力成比例，對于壓力和張力來說，其符號(hào)是相反的，電位移 D（單位面積的電荷）和應(yīng)力 的關(guān)系表達(dá)式為： 式中 Q 為產(chǎn)生的電荷（C），A 為電極的面積（m²），d 為壓電應(yīng)變常數(shù)（C/N）。 在逆壓電效應(yīng)中，施加電場 E 時(shí)將成比例地產(chǎn)生應(yīng)變 S，所產(chǎn)生的應(yīng)變 S 是膨脹還是收縮，取決于樣品的極化方向。 S=dE 兩式中的壓電應(yīng)變常數(shù) d 在數(shù)值上是相同的，即另一個(gè)常用的壓電常數(shù)是壓電電壓常數(shù) g，它表示應(yīng)力與所產(chǎn)生的電場的關(guān)系，或應(yīng)變與所引起的電位移的關(guān)系。常數(shù) g 與 d

5、 之間有如下關(guān)系： 式中為介電系數(shù)。在聲波測井儀器中，壓電換能器希望具有較高的壓電應(yīng)變常數(shù)和壓電電壓常數(shù)，以便能發(fā)射較大能量的聲波并且具有較高的接受靈敏度。 4、機(jī)電耦合系數(shù) 當(dāng)用機(jī)械能加壓或者充電的方法把能量加到壓電材料上時(shí)，由于壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng)，機(jī)械能（或電能）中的一部分要轉(zhuǎn)換成電能（或機(jī)械能）。這種轉(zhuǎn)換的強(qiáng)弱用機(jī)電耦合系數(shù) k 來表示，它是一個(gè)量綱為一的量。機(jī)電耦合系數(shù)是綜合反映壓電材料性能的參數(shù)，它表示壓電材料的機(jī)械能和電能的耦合效應(yīng)。機(jī)電耦合系數(shù)的定義為： k²=或者k²=機(jī)電耦合系數(shù)不但與材料參數(shù)有關(guān)，還與具體壓電材料的工作方式有關(guān)。對于壓電陶瓷來說，它的大

6、小還與極化程度相關(guān)。它只是反映機(jī)、電兩類能量通過壓電效應(yīng)耦合的強(qiáng)弱，并不代表兩類能量之間的轉(zhuǎn)換效率。壓電材料的耦合系數(shù)在不同的場合有不同的要求，當(dāng)制作換能器時(shí)，希望機(jī)電耦合系數(shù)越大越好。（二）壓電換能器的等效電路 壓電換能器的等效電路表示法，是利用電學(xué)網(wǎng)絡(luò)術(shù)語表示壓電陶瓷的機(jī)械振動(dòng)特性，即把某些力學(xué)量模擬為電學(xué)量的方法。把壓電換能器用等效電路來表示，有很多優(yōu)點(diǎn)：其一，可以把力學(xué)上復(fù)雜的振動(dòng)問題有效地進(jìn)行簡化；其二，為了得到換能器的各個(gè)參數(shù)，從而定量地分析或篩選換能器；其三，實(shí)際應(yīng)用的需要，因?yàn)樵趯?shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，壓電換能器也是接入到具體的電子線路中的，得到壓電換能器的等效電路能夠更好地對其外圍電

7、路進(jìn)行匹配設(shè)計(jì)。由此可見，得到壓電換能器的等效電路是十分必要的。2.3 壓電換能器的諧振特性 將壓電換能器按照圖 2-2 所示線路連接。當(dāng)改變信號(hào)頻率時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，通過壓電陶瓷換能器的電流也隨著發(fā)生變化，其變化規(guī)律如圖 2-3（a）所示。從圖2-3（a）可以看出，當(dāng)信號(hào)為某一頻率時(shí)，通過壓電陶瓷換能器的電流出現(xiàn)最大值 ；而當(dāng)信號(hào)變到另一頻率時(shí)，傳輸電流出現(xiàn)最小值 。由流經(jīng)它的電流隨頻率的變化可以看出，壓電陶瓷換能器的阻抗是隨頻率的變化而變化的，其變化規(guī)律同電流相反，如圖 2-3（b）所示。 圖 2-2 壓電陶瓷換能器諧振特性接線示意圖 圖 2-3 壓電陶瓷換能器電流、阻抗同頻率的關(guān)系曲線 (a

8、)電流-頻率關(guān)系曲線 (b)阻抗-頻率關(guān)系曲線 從圖中可以看出，當(dāng)信號(hào)頻率為時(shí)，通過壓電陶瓷換能器的電流最大，即其等效阻抗最小，導(dǎo)納最大；當(dāng)信號(hào)頻率為時(shí)，通過壓電陶瓷換能器的電流最小，即其等效阻抗最大，導(dǎo)納最小。因此把稱為最大導(dǎo)納頻率或最小阻抗頻率；而把稱為最小導(dǎo)納頻率或最大阻抗頻率。而當(dāng)信號(hào)頻率繼續(xù)增大時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)一系列的電流的極大值和極小值，如圖 2-4 所示。 圖 2-4 壓電陶瓷換能器電流隨頻率變化示意圖（多諧振模式） 2.2.4 壓電換能器的等效電路 根據(jù)交流電路相關(guān)知識(shí)，對于圖 2-5 所示好的 LC 電路來說，其阻抗 Z 也隨著頻率的變化而變化。在圖 2-2 所示的線路中，用 L

9、C 電路代替壓電陶瓷換能器，可以發(fā)現(xiàn)，在壓電陶瓷換能器的諧振頻率處，只要選擇合適的、和 ，通過 LC 電路的電流和 LC 電路的阻抗的絕對值隨頻率的變化曲線，分別同圖 2-1中的（b）和（c）的關(guān)系曲線非常相似。也就是說，在串聯(lián)諧振頻率附近，壓電陶瓷換能器的阻抗特性和諧振特性同 LC 電路的阻抗特性和頻率特性非常相似。因此，利用機(jī)電類比的方法，可以用一個(gè) LC 電路來表示壓電陶瓷換能器的參數(shù)和特性，這個(gè) LC 電路即為壓電陶瓷換能器的等效電路。 圖 2-5 LC 電路 對壓電陶瓷換能器來說，在任何串聯(lián)諧振頻率附近，其電行為可以用圖 2-3所示的 LC 電路來表示。在壓電陶瓷換能器的串聯(lián)諧振頻率

10、附近，如果值存在一種振動(dòng)模式，即沒有其它寄生響應(yīng)，則在串聯(lián)諧振頻率附近很窄的頻率范圍內(nèi)，可以認(rèn)為壓電陶瓷換能器的等效參數(shù)、和與頻率無關(guān)。在實(shí)際中通過選擇合適的尺寸進(jìn)行加工處理，是可以將所需要的振動(dòng)模式同其他模式充分隔離開來的。 另外，考慮到在實(shí)際中，在通電之后，壓電陶瓷換能器必然會(huì)存在能量的損耗，這一能量損耗可用一個(gè)并聯(lián)電阻 來等效。所以其最終等效電路圖如圖 2-6所示。 圖 2-6 壓電陶瓷換能器等效電路圖 圖中串聯(lián)支路中的稱為壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電感，稱為動(dòng)態(tài)電容，稱為動(dòng)態(tài)電阻。這三個(gè)參數(shù)用來表征壓電陶瓷換能器在工作（加電源激勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng)）的情況下，振動(dòng)部分所受到的力阻抗和介質(zhì)對振動(dòng)的反作用

11、的強(qiáng)弱。并聯(lián)電容 又稱靜態(tài)電容，表征壓電陶瓷換能器在未加激勵(lì)的情況下等效為一個(gè)純電容，它的值的大小與換能器的形狀有關(guān)。并聯(lián)電阻 又稱靜態(tài)電阻，表征換能器的電損耗的大小。2.2.5 壓電換能器的導(dǎo)納特性根據(jù)已得到的壓電換能器的等效電路圖，來進(jìn)一步分析其導(dǎo)納特性。為了簡化推導(dǎo)，先假定壓電陶瓷換能器沒有電損耗，即 =0，此時(shí)其等效電路即為一個(gè) LC 電路，如圖 2-5 所示。則 (2-1)式中：Y 為換能器的總的導(dǎo)納值，為并聯(lián)支路的導(dǎo)納值，為串聯(lián)支路的導(dǎo)納值。先對串聯(lián)支路進(jìn)行分析。 得到：, (2-2)若令則。由式（2-2）可得:,所以， 兩邊同時(shí)加上，可得(2-3)若以電導(dǎo)為橫坐標(biāo)，電納為縱坐標(biāo)，

12、則式（2-3）表示一個(gè)以（,0）為圓心，為半徑的圓，也即是我們所說的導(dǎo)納圓。如圖 2-7 中虛線所示 圖 2-7 導(dǎo)納圓圖 對于串聯(lián)支路進(jìn)行分析，根據(jù)串聯(lián)諧振頻率的定義，令 =0，則由式（2-3）可得到 =0 或 。由于實(shí)際的壓電陶瓷換能器的動(dòng)態(tài)電阻 不可能為零，根據(jù)式（2-2）中的表達(dá)式可以知道，只有滿足串聯(lián)諧振的條件。即：，所以可以得到串聯(lián)支路的諧振頻率（又稱機(jī)械共振頻率）： (2-4)接著考慮加入靜態(tài)電容后的情況。由式（2-1）可知，考慮靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納相當(dāng)于在串聯(lián)支路的電納（虛部）加上 。鑒于一般情況下，壓電陶瓷換能器的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)都較大，也即在串聯(lián)諧振頻率 附近，的值隨頻率的變

13、化很小，可以近似認(rèn)為是一個(gè)常數(shù)。因此，只需將串聯(lián)支路所得到的導(dǎo)納圓的縱坐標(biāo)向上平移一個(gè)常數(shù)，而橫坐標(biāo)保持不變即可得到加入靜態(tài)電容后換能器的導(dǎo)納關(guān)系圖，如圖 2-7 中點(diǎn)劃線所示。若再考慮到換能器的靜態(tài)電阻并不為零，則實(shí)際中的導(dǎo)納圓不可能與縱軸相切，而是向橫軸的正向平移一定的量（平移距離的大小取決于靜態(tài)電阻的阻值），如圖 2-7 中實(shí)線圓所示對導(dǎo)納圓圖進(jìn)行簡要的分析可知：當(dāng)即時(shí)，電納值大于零，當(dāng)即時(shí)，電納值小于零。所以，隨著頻率的增加，導(dǎo)納圓是沿順時(shí)針方向變化的。另外，在串聯(lián)諧振頻率的附近，還存在著兩個(gè)頻率點(diǎn)使得換能器總的電納為零，此時(shí)電源信號(hào)經(jīng)過換能器之后只有幅值的改變，而沒有相位的變化，也即

14、電壓和電流信號(hào)同相位。這兩個(gè)頻率中，值較小的那個(gè)頻率 稱為諧振頻率，較大的稱為反諧振頻率。另外還存在使得換能器的導(dǎo)納值取得最大的頻率 ，導(dǎo)納值最小的頻率 。連接原點(diǎn)和串聯(lián)諧振頻率點(diǎn)，與導(dǎo)納圓的交點(diǎn)處的頻率稱為并聯(lián)諧振頻率。另外，需要特別指出的是，上述討論是在一個(gè)振動(dòng)模態(tài)諧振頻率 附近較小的頻率變化范圍內(nèi)進(jìn)行的，并且只有在導(dǎo)納圓的直徑遠(yuǎn)大于這個(gè)頻率范圍內(nèi)的變化時(shí)才是正確的，否則換能器的導(dǎo)納曲線將變得十分復(fù)雜，具有蔓葉曲線的特征。根據(jù)以上導(dǎo)納圓圖的推導(dǎo)過程，下面介紹一下壓電陶瓷換能器等效電路中各個(gè)參數(shù)和導(dǎo)納圓圖的關(guān)系，并給出各自的計(jì)算公式。 在換能器的導(dǎo)納圓圖中作平行于縱軸的直徑，交導(dǎo)納圓于兩點(diǎn)，

15、分別記作、。在點(diǎn)處，串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等，即。由式（2-2）可得： (2-5)在 點(diǎn)處，串聯(lián)支路的動(dòng)態(tài)電導(dǎo)和電納值相等，但符號(hào)相反，即。由式（2-2）可得: (2-6)結(jié)合式（2-5）和式（2-6），可得： (2-7)再由式（2-4）可得： (2-8)機(jī)械品質(zhì)因數(shù)： (2-9)結(jié)合式（2-7）和（2-8）可得：式（2-5）和式（2-6）消去得到： 則所以： （2-10）動(dòng)態(tài)電阻的值可以通過導(dǎo)納圓的直徑求得： （2-11）靜態(tài)電容 的值也可由導(dǎo)納圓偏離橫軸的距離來確定： （2-12） 式中 為圓心的縱坐標(biāo)。 靜態(tài)電阻的值可由導(dǎo)納圓偏離縱軸的距離（或圓心的橫坐標(biāo)）來確定： （2-13）式

16、中為圓心的橫坐標(biāo)。 至此，我們已得到壓電陶瓷換能器等效電路中所有參數(shù)的計(jì)算公式。 2.3 測量原理在上一節(jié)中，得到的壓電陶瓷換能器等效電路參數(shù)的計(jì)算公式都是基于導(dǎo)納圓的，也即是基于各個(gè)頻率下的電導(dǎo)和電納值的，因此我們需要得到每個(gè)頻率點(diǎn)的導(dǎo)納值。為此采用圖 2-8 所示的測量原理圖進(jìn)行測量。 圖 2-8 壓電陶瓷換能器測量原理示意圖 圖 2-8 中，AC 為頻率可控的交流信號(hào)源，R 表示源內(nèi)阻， 稱為精密電阻，為加在壓電陶瓷換能器山的電壓信號(hào) 為經(jīng)過換能器之后的電壓信號(hào)。根據(jù)前面章節(jié)所介紹的壓電陶瓷的導(dǎo)納特性可以知道，在經(jīng)過換能器之后的電壓信號(hào)相對于會(huì)有一個(gè)幅度和相位的變化。不失一般性，在這里設(shè)

17、定： ， （2-14）其中： ，分別表示兩路信號(hào)的幅值， 為信號(hào)的角頻率，為信號(hào)的初始相位，為兩路信號(hào)的相位差。 按照習(xí)慣表達(dá)，先求壓電陶瓷換能器的阻抗，再取倒數(shù)得到導(dǎo)納。 將式（2-14）代入得 =對應(yīng)得到：， （2-15）再由導(dǎo)納和阻抗的關(guān)系可得 即：， （2-16）由以上推導(dǎo)可以看出，換能器的導(dǎo)納和阻抗值僅與加在其兩端的電壓信號(hào)的幅值比和相位差有關(guān)，因此只需要得到兩路信號(hào)的幅值和相位信息即可得到換能器等效電路的各個(gè)參數(shù)。而實(shí)際中，只需要對兩路信號(hào)進(jìn)行采樣，再通過對采樣所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理便可得到幅值和相位信息。2.4 正弦信號(hào)的測量方法 根據(jù)上一節(jié)介紹的測量原理可知，要得到壓電換能器在測試頻

18、率下的電導(dǎo)和電納值，就需要測得其兩端正弦信號(hào)的幅值比和相位差。但是實(shí)際中，硬件電路實(shí)現(xiàn)的僅是對兩路信號(hào)的 A/D 轉(zhuǎn)換采集，也即是得到的是兩路正弦信號(hào)的一系列的離散的點(diǎn)。在這一節(jié)中，將介紹從這些采集到的離散的點(diǎn)計(jì)算其幅值和相位的方法。2.4.1 數(shù)字相關(guān)法 隨著微處理器和大規(guī)模集成電路的迅速發(fā)展，在測試系統(tǒng)中，越來越多的傳統(tǒng)的測量方法被數(shù)字化測量方法所取代。近年來，由于相關(guān)函數(shù)法具有提高測試精度，減少或簡化硬件設(shè)計(jì)，能夠充分利用測試系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和微型計(jì)算機(jī)，提高測試系統(tǒng)的可靠性和可維護(hù)性的諸多優(yōu)點(diǎn)，使得相關(guān)技術(shù)原理在相位差的測量及數(shù)字信號(hào)處理中得到了廣泛應(yīng)用，并展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景1、

19、相關(guān)函數(shù)法原理 相關(guān)函數(shù)法利用兩同頻正弦信號(hào)的延時(shí)為零時(shí)的互相關(guān)函數(shù)值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差。設(shè)兩路被測信號(hào)為：， （2-17）其中：A、B 分別表示兩路信號(hào)的幅值，表示信號(hào)的頻率，、 分別表示兩路信號(hào)的干擾噪聲信號(hào)，表示兩路信號(hào)的相位差。顯然，信號(hào) x(t)和y(t)是相關(guān)的，則兩路信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)為： （2-18）式中 T 為信號(hào)的周期，即當(dāng) =0時(shí)，有 由于噪聲信號(hào)之間不相關(guān)，噪聲和信號(hào)之間也不相關(guān)，將上式進(jìn)一步展開得： 所以，可以得到相位差的計(jì)算公式： (2-19)而信號(hào)幅值的大小可由信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)求得 (2-20)當(dāng) =0時(shí)，有 所以可得信號(hào)幅值的計(jì)算公式： (2

20、-21)將上式代入式（2-19），可得相位差計(jì)算公式的另一種表達(dá)式： (2-22)而在實(shí)際中，是沒有完整精確的信號(hào)的表達(dá)式的，有的是對信號(hào)的模數(shù)轉(zhuǎn)換所得到的離散的數(shù)據(jù)，離散序列的自相關(guān)和互相關(guān)的計(jì)算公式如下： (2-23)式中：n 表示采樣個(gè)數(shù)，i 表示第 i 個(gè)采樣點(diǎn)，x(i)、y(i)分別表示兩路信號(hào)的第 i 個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換得到數(shù)值。由式（2-23）分別求出兩路信號(hào)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)值之后，再由式（2-21）和式（2-22）即可得到兩路信號(hào)各自的幅值和它們之間的相位差。但是，需要指出的是，由數(shù)字相關(guān)法求得的相位差，并不能區(qū)分是超前還是滯后，這就需要采用其他方法來確定相位差符號(hào)的正負(fù)號(hào)。根據(jù)前

21、面測量原理中的介紹，由式（2-15）和式（2-16）可知，壓電陶瓷換能器的電導(dǎo)值僅取決于兩路信號(hào)相位差的余弦值，而電納的值是在電導(dǎo)值取得最大的時(shí)候發(fā)生變號(hào)。由此，可以先求得電導(dǎo)的值，再通過循環(huán)找其最大值，并從使電導(dǎo)取得最大值時(shí)的相位差開始，把相位差變號(hào)，得到新的相位差序列，再由新的相位差序列求電納的值即可。圖2-9 表示的為采用數(shù)字相關(guān)法對一號(hào)壓電換能器測量數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，其中（a）表示的是導(dǎo)納圓圖，（b）表示的是電導(dǎo)和電納值隨測試頻率的變化曲線。 (a) (b) 圖 2-9 數(shù)字相關(guān)法處理結(jié)果 2、相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)及誤差分析 通過上面對相關(guān)函數(shù)法測量原理的理論推導(dǎo)過程可以看出，相關(guān)函數(shù)法測量

22、信號(hào)的幅值和相位差與信號(hào)的頻率無關(guān)。也即是說相關(guān)函數(shù)法不受頻率的影響，可以用來測量未知頻率的信號(hào)的相位差。同時(shí)，相關(guān)函數(shù)法測量原理的推導(dǎo)都是基于正弦函數(shù)的，因此，它只能用于測量正弦或余弦信號(hào)，并不能測量一般的周期信號(hào)。由于噪聲干擾信號(hào)和原信號(hào)并不相關(guān)，所以相關(guān)函數(shù)法能夠有效的抑制噪聲干擾。但是，如果在系統(tǒng)中存在相關(guān)性較強(qiáng)的干擾信號(hào)，并且信噪比又比較低的情況下，相關(guān)函數(shù)法測量誤差就會(huì)比較大。由相關(guān)函數(shù)法離散序列的最終計(jì)算公式可以看出，其計(jì)算結(jié)果與采樣的點(diǎn)數(shù)有關(guān)，也即是說測量誤差的大小與采樣點(diǎn)數(shù)是相關(guān)的，采樣點(diǎn)數(shù)越大，計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)值，測量誤差也就越小。 綜合以上對相關(guān)函數(shù)法的特點(diǎn)的分析，可知

23、相關(guān)函數(shù)法對于采樣轉(zhuǎn)換信號(hào)中的直流偏移和噪聲等干擾具有很強(qiáng)的抑制能力，它的誤差主要是因?yàn)椴捎糜邢揲L度的樣本代替了高斯白噪聲和均勻分布的 A/D 量化誤差，使得被檢正弦信號(hào)與噪聲信號(hào)并非完全不相關(guān)。所以，相關(guān)函數(shù)法的測量誤差與 A/D 轉(zhuǎn)換的位數(shù)、信號(hào)的信噪比和采集點(diǎn)數(shù)有關(guān)。 2.4.2 快速離散傅里葉變換法 現(xiàn)代信號(hào)分析采用數(shù)字化方式實(shí)現(xiàn)，其核心是離散傅立葉變換，它完成了從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，不僅可以實(shí)現(xiàn)線性譜分析，而且還是均方譜分析的關(guān)鍵。離散傅立葉變換（DFT）實(shí)現(xiàn)了信號(hào)首次在頻域表示的離散化，使得頻域也能夠用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，但由于用于實(shí)際時(shí)計(jì)算量太大而使應(yīng)用受到限制。直到1965 年由 C

24、ooly 和 Tukey 建立了一種快速傅立葉變換FFT 時(shí)，DFT 的應(yīng)用才成為現(xiàn)實(shí)1、FFT 獲取正弦波幅值和相位的原理 設(shè)采集正弦信號(hào)得到的離散序列為 x(n)，n=1,2，KN。則該序列的離散傅里葉變換為： （2-24） 則其初始相位為： 其中：是信號(hào)的采樣頻率，N 是采樣長度。 在對時(shí)域離散序列進(jìn)行傅立葉變換之后，可以得到其離散的幅度譜和相位譜，在幅度譜和相位譜中找到對應(yīng)時(shí)域波形的頻率的譜線就可以得到時(shí)域的正弦波形的幅值和相位信息。圖 2-10 所示的是采用快速離散傅里葉變換法對采集到的數(shù)據(jù)處理的結(jié)果。 （a） (b) 圖 2-10 快速離散傅里葉變換法處理結(jié)果 2、FFT 的特點(diǎn)及

25、誤差分析 通過傅里葉變換可以只提取基波參數(shù)，因此諧波的存在并不影響基波成分，所以諧波的存在對應(yīng)用這種方法測量相位差幾乎沒有影響；對于噪聲干擾，只有當(dāng)高斯白噪聲接近基波的頻率分量時(shí)才會(huì)影響到基波的相位，所以應(yīng)用 FFT 法測量相位差也能有效地抑制高斯白噪聲干擾。但是，實(shí)際上信號(hào)是連續(xù)的無限長的序列，用 FFT 對其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須截短形成有限長序列，再進(jìn)行周期延拓，這樣就不可避免的造成信號(hào)頻譜的泄漏，由此便產(chǎn)生了相位差測量誤差。誤差現(xiàn)象主要是：混疊現(xiàn)象、柵欄效應(yīng)和截?cái)嘈?yīng)。要想減小相位差測量誤差，就必須提高譜分辨率。實(shí)際中可通過提高采樣頻率或者增加采樣數(shù)據(jù)長度來提高譜分辨率，進(jìn)而達(dá)到減小相位差

26、測量誤差的目的。2.4.3 正弦曲線參數(shù)擬合法 設(shè)被測的正弦信號(hào)為： (2-25)其中： f 表示信號(hào)頻率，表示被測信號(hào)幅值，表示被測信號(hào)的初始相位角，D表示被測信號(hào)的直流分量。由于被測信號(hào)的頻率為已知的，故只需對測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行三參數(shù)的正弦曲線擬合，即可得到被測信號(hào)的幅值和相位信息。為此，進(jìn)一步將上式展開可得： (2-26)其中：從而將被測信號(hào)的幅值和初始相角轉(zhuǎn)化為對參數(shù) A、B 的求取。 其基本思想就是尋找合適的 A、B 和 D 的值，使得其測量殘差的平方和取得最小。設(shè)每個(gè)頻率下測量的時(shí)間序列為，n 為測量數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，為采樣頻率，為每個(gè)點(diǎn)的測量值。則測量殘差的表達(dá)式為： (2-27)要使得上

27、式取得最小值，可對其參數(shù)求偏導(dǎo)，并令其為零。即： (2-28)進(jìn)一步化簡得到： (2-29)對于式（2-29），構(gòu)造如下三個(gè)矩陣：式（2-29）可寫成如下矩陣形式：上式中 X 的解為： (2-30)則被測信號(hào)幅值的計(jì)算公式為: (2-31)初始相角的計(jì)算公式為： (2-32)至此，得到了被測信號(hào)的幅值和相位信息。采用同樣的方法對第二路信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即可得到第二路信號(hào)的幅值和相位信息，從而求出兩路信號(hào)的幅值比和相位差，進(jìn)一步便可得到每個(gè)頻率下?lián)Q能器的電導(dǎo)和電納值。圖 2-11為參數(shù)擬合法的處理結(jié)果。 圖 2-11 正弦曲線參數(shù)擬合法處理結(jié)果 2.5 導(dǎo)納圓的帶約束最小二乘曲線擬合 通過

28、以上章節(jié)的介紹，我們已經(jīng)得到了各個(gè)測試頻率下壓電換能器的電導(dǎo)和電納值，繪制出了導(dǎo)納圓圖，但這還是不夠的。由壓電換能器等效電路的各個(gè)參數(shù)的計(jì)算公式可以看出，我們還需要得到導(dǎo)納圓的圓心和半徑的值。為此，就需要對所得到的離散點(diǎn)進(jìn)行圓曲線擬合。 擬合圓的方法有很多種，常用的有平均值法、加權(quán)平均法和最小二乘法。平均值法的思想是分別計(jì)算各個(gè)離散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的平均值，作為圓心的橫、縱坐標(biāo)，將圓心到各個(gè)離散點(diǎn)的距離的平均值作為半徑。這種方法計(jì)算簡單，適用于離散點(diǎn)分布較均勻的情況，但對于分布不均的情況，所計(jì)算的圓心位置會(huì)偏向離散點(diǎn)分布較密集的一側(cè)，半徑的計(jì)算值也會(huì)偏小，誤差較大。加權(quán)平均法是對平均值法的改進(jìn)，它在