線性代數(shù)-向量空間

1、第四章向量的線性相關(guān)性1 1 n n 維向量一個含有 0, 1 的數(shù)集P,如果對于P中任意兩個數(shù)的四那么運算結(jié)果仍在這 個數(shù)集中(除數(shù)不為 0),那么稱該數(shù)集P為一數(shù)域。容易驗證整數(shù)集不是數(shù)域；有理數(shù)集Q、實數(shù)集 R、復(fù)數(shù)集 C 均為數(shù)域，以后分別稱之為有理數(shù)域、實數(shù)域和復(fù)數(shù)域。對于任一數(shù)域P ,有Q P C o定義 1:數(shù)域 P 中 n n 個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組(a1,a2,L ,an)稱為數(shù)域 P上的 n n 維向量，向量常用希臘字母，等表小。其中ai稱為向量的第 i 個分量。假設(shè) n n 維向量(a,a2,L ,an)和(b,b2,L ,bn)的對應(yīng)分量相等，即aib(i 1,2,L n)

2、,稱向量 與 相等，記為 。向量(ai,a2,L ,an)也稱為 n n維行向量。n n 維行向量可視為 1 n矩陣來定義加法與數(shù)乘。矩陣中關(guān)于加法與數(shù)乘的性 質(zhì)也適合向量的加法與數(shù)乘。向量有時為了方便也寫成列的形式a2a，a? ,L ,an。M稱為 n n 維列向量。作為列向量時可視為 n 1 矩陣來定義加法與數(shù)乘。數(shù)域 P上全體 n n 維向量的集合對于線性運算稱為數(shù)域 P上的 n n 維向量空間, 記為Pn。泛線性相關(guān)性一、線性表示定義 2:設(shè)1,2,L,s是一組 n n 維向量，k1,k2,L ,ks是一組數(shù)，稱向量k1k2 2Lks s為向量組1,2,L ,s的一個線性組合。如果某一

3、向量可表示成k1 1k2 2L ks s,那么稱向量 可由1,2,L ,s線性表示。例如向量組11, 2,1 ,22, 3,1 ,30, 1,1 ,有3212,稱3可由1,2線性表示。注意：線性方程組 AX B 的增廣矩陣可寫成分塊矩陣形式 (1,2,L ,s| )。其中 A(1,2,L ,s) ,i(i 1,2,L ,s)為 A 的第 i 列元 素構(gòu)成的列向量。定理 1:1: n n 維向量 可由向量組1,2,L,s線性表示的充要條件是線性方程組1,2,L ,si有解(這里每個i及 均為 n 維列向量)。證明：記i(a1i,a2i,L ,ani) (i 1,2,L,s),bn)。假設(shè)k1 1

4、k2 2Lks s,即(k,k2,L ,ks)滿足ank1ai2k2L aksbLLLLLLL亦即 k1,k2,L ,ks是線性方程組1,2,L ,si 的解反之亦然。例1:設(shè)1(1,0,0),2(1,1,0) ,3(1,1,1)；1(2,3,4),2(a,b,c)。I可1,2能否由1,2,3線性表??？假設(shè)能線性表小，求出具體的表達式111M 2100M1解：因為1,2,311011M3010M1001M4001M4所以11243從題中可以看出，上述兩個線性方程組的系數(shù)矩陣完全相同，解這兩個線性方程組均需要把它們通過初等行變換化為簡化階梯形。而在進行初等行變換時， 不同列的元素之間沒有影響。因

5、此，上述兩個方程組的增廣矩陣可合并為(1,2,3|1,2),通過初等行變換把系數(shù)矩陣化為簡化階梯形，就可同時求出這兩個線性方程組的解。一般地，對系數(shù)矩陣相同的假設(shè)十個線性方程組AX Bi(i 1,2,L ,s),可以通過“擴充增廣矩陣(A|B!,L ,Bs)的初等行變換來求解。amkan2k2Lansksbn1,2,3i2111Ma011Mb001Mc100M ab010M bc2(a b)1(b c)2c30 0 1 M c、線性相關(guān)性定義 3:設(shè)1,2,L ,s是一組 n 維向量，如果存在一組不全為0的數(shù)ki,k2,L,ks，使得ki1k2 2Lkss0成立。那么稱向量組i,2,L,s線性

6、相關(guān)，否那么稱它們線性無關(guān)。由定理 1可得以下結(jié)果：推論1 :向量組1,2,L ,s線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(1,2,L ,s|0)有非 0 解；向量組1,2,L ,s線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(1,2,L ,s|0)僅有 0 解。考慮到齊次線性方程組常數(shù)項為零，對丁方程組的初等行變換常數(shù)項仍為 零。故以后齊次線性方程組只用系數(shù)矩陣(1,2,L ,s)表示。例 2：當 t 為何值時，向量組1(t,1,1) ,2(1,t,1) ,3(1,1,t)線性相關(guān)。(1,2,3)有非零解。即 t 1 或 t 2 時，向量組線性相關(guān)。由定義 1 及推論 1容易推出下歹 0 結(jié)果：1

7、)向量組中含有 0 向量，那么向量組線性相關(guān)2)假設(shè)向量組1,2,L ,s線性相關(guān)，那么向量組1,2,L ,s,s 1,L ,t線性相關(guān)；反之，向量組1,2,L ,s,s 1,L ,t線性無關(guān)，那么向量組1,2,L ,s線 性無關(guān)。3)向量組1,2,L ,s線性無關(guān)，那么將1,2,L ,s添加任意有限個相同個數(shù)的分量后所得到的新向量組也線性無關(guān)。反之，假設(shè)向量組1,2,L ,s線性相關(guān),那么截去1,2,L ,s的假設(shè)干個分量后所得到的新向量組一定線性相關(guān)。事實上，線性相關(guān)和線性無關(guān)定義還有以下一個等價的說法。定理 2：向量組1,2,L ,s線性相關(guān)當且僅當存在組中某一向量可由其余向量線性表示；

8、向量組1,2,L ,s線性無關(guān)當且僅當組中任一向量均不能由其余t 1 1解：當系數(shù)矩陣行列式1 t 11 1 t(t 1)2(t 2) 0時，齊次線性方程組4 / i3向量線性表示。證明：這里證定理的前一局部，后一局部讀者自行練習。設(shè)向量組1,2,L ,s線性相關(guān)，貝帝在不全為 0的數(shù) ki,k2,L ,ks(不妨設(shè)某一 kj0)，使得 ki ik2 2Lks s0。從而1(ki iL kj i j ikj i j iL ks s)。即j可由其余向量線性表小。 kj反之，設(shè)向量j可由其余向量線性表示jki iLkj i j iki j iLkss ,即ijkiiLkj i j iki j iL

9、ks s0所以向量組i,2,L,s線性相關(guān)。例 3:1) 設(shè)向量組i,2,3線性無關(guān)，證明：向量組i2 ,23 ,3i也線性無關(guān)。2) 設(shè)i,2,3,4為任一向量組，證明：向量組i2 ,23 ,34 ,4 i一定線性相關(guān)。證明：i)設(shè)有 ki, k2,k3，使得ki(i 2)k2(23)k3(3i)0 ,整理得(ki+k3)i(ki+ k2)2(k2+k3)30。因為i,2,3線性無關(guān)，所以(k*) (ki+k2)(k2+k3) 0。解得ki=k2k30。從而i2 ,23 ,3i也線性無關(guān)。2)因(i2) ( i)(23) (34) ( i)(4 i)0 ,由定義i 2,23 ,34 ,4i線

10、性相關(guān)。陷等價向量組、等價向量組5 / 13設(shè)有向量組(I):1,2,L ,s和向量組(II) :1,2,L ,t。如果向量組(II)中每一個向量均可由1,2,L ,s線性表示，稱向量組(II)可由向量組線性表示。由定理 1及擴充方程組的概念，可知(II)由(I)線性表示擴充的線性方程組(1,2,L ,s|1,2,L ,t)有解秩(A)=秩(A|B),這里A (1,2,L ,s),B (1,2,L定義 4:如果向量組(I)與(II)可以相互線性表示，稱 與(II)等價。(A|B)=秩(B)。例 4:設(shè)有兩向量組因為 秩(A)=秩(A|B)=秩(B),所以兩向量組等價。二、極大線性無關(guān)組定義5：

11、一個向量組中如果存在個向量1,2,L ,r,滿足:(1)1,2,L ,r線性無關(guān)；(2) 向量組中任一向量均可由1,2,L ,r線性表示。稱1,2,L ,r為向量組的一個極大線性無關(guān)組。易知，(I)與(II)等價擴充線性方程組(A|B)與(B|A)均有解秩(A)=秩4證明上述兩向量組等價。證明：(1,2,3,100012202112(1,0,2,1)(1,2,0,1)(2,1,3,0)(2,5, 1,4)2552MMMM11100113(1, 1,3,1)(0,1, 1,3)(0, 1,1,4)1021120121302514MMMM113101130114011410001200212025

12、20MMMM1100013001406 / 13由定義可知，任一向量組與它的極大線性無關(guān)組等價。對丁向量組1(1,0),2(0,1),3(1,1)。因為1,2線性無關(guān)，312,所以1 ,2是一個極大線性無關(guān)組；同理可得1,3與2,3均為該向量組的極大線性無關(guān)組。此例說明向量組的極大線性無關(guān)組不唯一。盡管一個向量組的極大線性無關(guān)組不一定唯一，但有以下結(jié)果：定理 3:向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)相同。證明：設(shè)1,2,L ,1與1,2,L ,2是某向量組的兩個極大線性無關(guān)組，下 證12。因為向量組1,2,L ,1線性無關(guān)，齊次線性方程組(1,2,L ,1)僅有零解，記A(1,2,L

13、,1),所以秩(A)=1;同理，記B (1,2,L ,2),那么秩(B)=2。由丁極大線性無關(guān)組是等價的， 所以秩(A)=秩(B )。從而12o向量組的極大線性無關(guān)組中所含向量的個數(shù)稱為向量組的秩。定理 4:矩陣的秩=行向量組的秩(也稱為矩陣的行秩)=列向量組的秩(也 稱為矩陣的列秩)。證明省略。例5 :向量組1(1, 2,2,3) ,2( 2,4, 1,3) ,3( 1,2,0,3),4(0,6, 2,3),5(2,6,3,4)。求該向重組的一個極大線性無關(guān)組， 并用它來表示其余向量。解：因為1210212102242 66000 62(4,5)210 23032 21333 34096 3

14、2-1 -161 00121023900021620 1 - 0-39。032211000310 0 0 130 0 0 00所以1,2,4線性無關(guān);7 / 13從而1,2,4是一個極大線性無關(guān)組。且有16由例 5 的計算可以看出： 只要把向量組中的向量按列的形式所構(gòu)成的矩陣用 初等行變換化為簡化階梯形，那么極大線性無關(guān)組以及其余向量用極大線性無關(guān)組 的線性表示，均可直接從簡化階梯形中得到，讀者自已找出其中規(guī)律。三、有關(guān)秩的一些結(jié)果由丁初等變換不改變矩陣的秩，即初等矩陣左右乘矩陣不改變矩陣的秩, 從而可得以下性質(zhì) 1:性質(zhì) 1:假設(shè)P,Q為可逆矩陣，那么秩A=秩PA=秩AQ =秩PAQ。性質(zhì)

15、2:秩AB min秩A,秩B。證明：1(aij)ms，B (bjk)sn,記AB M秩1,2,L ,m秩1,2,L ,s,即秩AB秩B。同理可證：秩AB秩A。從而性質(zhì) 2 得證。性質(zhì) 3:秩A B秩A+秩B。證明留給讀者。4 4 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、解的結(jié)構(gòu)設(shè)有線性方程組AX B L 1和對應(yīng)的齊次線性方程組AX 0 L 2,那么169那么有iai1 1L 弧s,即1,2,L ,m可由1,2,L ,s線性表示。8 / 13它們的解有以下性質(zhì)：性質(zhì)4：設(shè)Xi,X2是的解，那么對任意數(shù) ki,k2,kiX1k2X2也是的解。證明：因X1,X2是(2)的解，所以AX10 , AX20。從而 A(k

16、iX1k2X2)kiAX1k2AX20。即 kiX1k?X2是(2)的解。此結(jié)果可推廣到一般情形：設(shè) Xi,L ,Xs是(2)的解，那么對任意數(shù) ki,L ,ks,kiXiLk2Xs也是(2)的解。性質(zhì) 5:設(shè) Yx 是(i)的解，那么 Y 丫2是(2)的解。性質(zhì) 6:設(shè)Xi是(2)的解，Y 是(i)的解，那么XiY 是(i)的解。仿照性質(zhì) 4 可驗證性質(zhì) 5 和性質(zhì) 6。由以上性質(zhì)可得：假設(shè)非齊次線性方程組的某一特解0和它對應(yīng)的齊次線性方程組的通解 X，那么非齊次線性方程組的通解為 X0。二、根底解系定義 6:設(shè)i,2,L ,s是齊次線性方程組 AX 0 的解，且滿足：1)i,2,L ,s線

17、，性無關(guān)，2)AX 0 的任一解可由i,2,L ,s線性表示。那么稱i,L ,s是 AX 0 的一個根底解系例 6:求齊次線性方程組Xi3x5xX2X3X4X5X42X43X402 X2X24X2X32X33 X33X56X5X5000的一個根底解集解：i i ii ii 0ii53 2 ii 30 i226A0 i 22 6000005 4 33 i000009 / 13取 X X3 3= = 1 1 , , X4X50 ,得解1(1, 2,1,0,0)取 X41 ,X3X50,得解2(1, 2,0,1,0)取X51,X3X40 得解2(1, 6,0,0,1)111226(1,2,3)100

18、, 它的秩=3。0100011,2,3線性無關(guān)。乂方程組的任-解可表示為：X1X3X4X5111X22X32x46X5226X XX3X3X31X40X50X4X4010X5X5001即(Xb X2,X3, X4, X5)X31X42X53，也即任一解可由1,2,3線性表示。從而 1,2,3是齊次線性方程組的一個根底解系。例 6中的求法就是齊次線性方程組的根底解系的一種常見求法。線性方程組的初等變換，對應(yīng)于增廣矩陣的初等行變換。實際上，如果交換 兩個未知量在方程中的位置，也不改變方程組的解，這時對應(yīng)于增廣矩陣進行了 對應(yīng)的一個初等列變換。因此求解過程可對系數(shù)矩陣進行列的交換，只不過要調(diào) 整相應(yīng)

19、未知量的次序。具體用下面例子來說明。例 7：用根底解系表示以下方程組的通解：X12 X2X3X40X12 X2X3X40X12 X2X35X4解:解為XiX2X3X4X52X32X46X5(X3, X4, X5為任意數(shù))10 / 1312 111210A12 11000112 150000(X1X4X3X2)1012嘏0M &總0000那么按(Xi,X4,X3, X2)順序的根底解系為120021001復(fù)原成(Xi,X2,X3, X4)順序的根底解系為:故方程組的通解為 c1 1c22(c1,c2為任意數(shù))注：根底解系可以直接從增廣矩陣的簡化階梯形中直接得到，讀者不妨自行找出規(guī)律。例8

20、:求線性方程組2 為X13X17 為X24X3X3X43X43134X27X3X3x4的通解(用根底解系表小)0解：2143 M 4101 0M 3-1011 M 3012 0M 8A3 110 M 1000 1M 67073 M 3000 0M 011 / 13對應(yīng)的齊次線性方程組的根底解系為1(1,2,1,0),在通解中取自由未知量12 / 13全為 0,得到齊次線性方程組的一個特解為3, 8,0,6。所以方程組的通解為ki k 為任意數(shù)。5 5 基、維數(shù)、坐標定義 7： n n 維向量空間 pn的子集 V V , ,如果對任意數(shù) k k , , l l 和 V V 中任意向量 ，有 k

21、l V,稱 V 為 n n 維向量空間 Pn的子空間，也稱為線性空間。特殊地，n n 維向量空間本身是它自身的子空間，單個 0向量構(gòu)成的子集也構(gòu)成子空間。集合 V X | AX 0,A 為 m n 矩陣,乂為 n 維列向量是線性空間，稱為齊次線性方程組 AX 0 的解空間。定義 8:如果線性空間 V 中，存在 r 個向量1,2,L ,，滿足：11,2,L ,r線性無關(guān)；2V 中任一向量可由1,2,L ,r線性表示。那么稱1,2,L ,r為 V 的一個基,r 稱為 V 的維數(shù)，記為 dim V 或維數(shù)V。由齊次線性方程組的根底解系和線性空間的基定義可得線性方程組AX 0的任一根底解系均為其解空間

22、的一個基。設(shè)1,2,L ,r是線性空間 V 的一個基，對 V 中任一向量，那么有X1 1X2 2L Xr r,且表達式是唯一的。事實上，假設(shè)有X11X2 2L Xrr火12 2L、那么X1Y11X2Y22L XrYrr。由1,2,L ,r線性無關(guān)，知X Yi0，即 XiYi i 1,2,L ,r。由于表達式唯一，稱X,X2,L ,XJ為向量 在基1,2,L ,r下的坐標。定義9：設(shè)1,2,L ,r和1,2,L ,r是線性空間 V 的兩個基，且L L (3)a2r3式乂可以寫成形式矩陣乘法:(1,2,L ,r)(i,2,L ,r)Aa11a21ar 1 ra1r13 / 13稱 A (aj)r r為從基1,2, L ,r到基