正交實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

1、正交實(shí)驗(yàn)如何數(shù)據(jù)分析我們把在試驗(yàn)中考察的有關(guān)影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素（也叫 因子），把在試驗(yàn)中準(zhǔn)備考察的各種因索的不同狀態(tài)（或配方）稱為水 平。在研究比較復(fù)雜的工程問題中，往往都包含著多個(gè)因素，而且每 個(gè)因素要取多個(gè)水平。對(duì)于包含五個(gè)因素、五個(gè)水平的工程項(xiàng)目，理論計(jì)算必須進(jìn)行5、 = 3125次試驗(yàn)。顯然，所需要的試驗(yàn)次數(shù)太多了，工作量太大。實(shí) 踐告訴我們，合理安排試驗(yàn)和科學(xué)分析試驗(yàn)，是試驗(yàn)工作成敗的關(guān)鍵。試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的好，試驗(yàn)次數(shù)就少，周期也短，這樣不僅節(jié)省了 大量人力、物力、財(cái)力和時(shí)間，而且可以得到理想的結(jié)果。相反，如 果試驗(yàn)設(shè)計(jì)安排的不好，即使進(jìn)行了很多次試驗(yàn)，浪費(fèi)了大量材料、 人力和

2、時(shí)間，也不一定能夠得到預(yù)期的結(jié)果。正交試驗(yàn)法，就是在多因素優(yōu)化試驗(yàn)中，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)與正交 性原理，從大量的試驗(yàn)點(diǎn)中挑選有代表性和典型性的試驗(yàn)點(diǎn)，應(yīng)用“正 交表”科學(xué)合理地安排試驗(yàn)，從而用盡量少的試驗(yàn)得到最優(yōu)的試驗(yàn)結(jié) 果的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。正交試驗(yàn)法也叫正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，它是用“正交表”來(lái)安排和分 析多因素問題試驗(yàn)的一種數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是試驗(yàn)次數(shù) 少，效果好，方法筒單，使用方便，效率高。由于試驗(yàn)次數(shù)大大減少，使得試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理非常重要。我們可以 從所有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)中找到最優(yōu)的一個(gè)數(shù)據(jù)，當(dāng)然，這個(gè)數(shù)據(jù)肯定不是 最佳匹配數(shù)據(jù)，但是肯定是最接近最佳的了。用正交表安排的試驗(yàn)具有均衡分散和整齊可比

3、的特點(diǎn)。均衡分散, 是指用正交表挑選出來(lái)的各因素和各水平組合在全部水平組合中的 分布是均衡的。整齊可比是說每一因素的各水平間具有可比性。最簡(jiǎn)單的正交表Li（2，）如表-1所示。表一 1水列1231111212232124221記號(hào)Li（2'）的含意如下：“L”代表正交表；L下角的數(shù)字“4”表示有4橫行（簡(jiǎn)稱為行），即要做四次試驗(yàn)；括號(hào)的指數(shù)“3”表示有3縱列（簡(jiǎn)稱為列），即最多允許安排的因素個(gè)數(shù)是3個(gè)；括號(hào)的數(shù)“2”表示表的主要部分只有2種數(shù)字，即因素有兩種水 平1與2,稱之為1水平與2水平。表LiQ之所以稱為正交表是因?yàn)樗袃蓚€(gè)特點(diǎn)：1、每一列中，每一因素的每個(gè)水平，在試驗(yàn)總次數(shù)中出

4、現(xiàn)的次數(shù)相等。表-1里不同的水平只有兩個(gè)一一1和2,它們?cè)诿恳涣兄懈鞒?現(xiàn)2次。2、任意兩個(gè)因素列之間，各種水平搭配出現(xiàn)的有序數(shù)列(即左邊 的數(shù)放在前，右邊的數(shù)放在后，按這一次序排出的數(shù)對(duì))時(shí)，每種數(shù) 對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)相等。這里有序數(shù)對(duì)共有四種(1,1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).它們各出現(xiàn)一次。常見的正交表有：L (2% L8(2)，L42”)，L32 (231) L9 )， L27 (313). ； U(45), ； L25(56)等。此外還有混合水平正交表：各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的 正交表稱為混合水平正交表。如晨(4*21)，表中有一列最大數(shù)字為 4,有4列最大

5、數(shù)字為2。也就是說該表可以安排1個(gè)4水平因素和4 個(gè)2水平因素。選擇正交表的原則，應(yīng)當(dāng)是被選用的正交表的因素?cái)?shù)與水平數(shù)等 于或大于要進(jìn)行試驗(yàn)考察的因素?cái)?shù)與水平數(shù)，并且使試驗(yàn)次數(shù)最少。 如我們要進(jìn)行3因素2水平的試驗(yàn)，選用L (2，)表最理想。但是，要進(jìn)行5因素2水平的試驗(yàn)仍用L(23)表， 那么便放不下5個(gè)因素了。這時(shí)，應(yīng)當(dāng)選用LK2')表，這樣盡管只用 了此表的5個(gè)因素列，還有兩個(gè)因素列是空列，但這并不影響分析。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果(數(shù)據(jù))的處理分析通常有兩種方法，一是直觀分析法, 又叫極值分析法；另一種方法是方差分析。1 .直觀分析法：根據(jù)正交表進(jìn)行試驗(yàn)，可以 得到就某一（單指標(biāo)，也有多指標(biāo)

6、）考察 指標(biāo)的試驗(yàn)結(jié)果，通過直觀分析 或方差分析，就可以得出最佳的 實(shí)驗(yàn)方案。直觀分析試驗(yàn)結(jié)果的步驟 （以四因素三水平為例）如下， 見表一2,根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別計(jì) 算出：分別對(duì)每次實(shí)驗(yàn)各因 素的一水平的實(shí)驗(yàn)結(jié)果求和，即 L：再對(duì)每次實(shí)驗(yàn)各因素的二 水平結(jié)果求和，即Hj：對(duì)每次試驗(yàn)各因子的三水平的結(jié)果求和，即口理 分別求出各因素各水平結(jié)果的平均值：即L/3,分/3,并填入正交表中； 分別求出各因素的平均值的差值（也叫極差），如果是三個(gè)以 上水平則要找出平均值最大值或最小值之間的差值Rj。根據(jù)極差數(shù)Rj的大小，可以判斷各因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響大小。判斷原則是：極差愈大，所對(duì)應(yīng)的因素愈重要；由此可以確定

7、出 主、次要因素的排列順序。根據(jù)各因素各水平所對(duì)應(yīng)指標(biāo)結(jié)果的平均值的大小可以確定各因 素取什么水平好。確定的原則是：如果要求指標(biāo)愈小愈好，則取最小的平均值所對(duì) 應(yīng)的那個(gè)水平；如果要求指標(biāo)愈大愈好，則取最大的平均值所對(duì)應(yīng)的 那個(gè)水平；如果要求指標(biāo)適中（固定值），則取適中的平均值所對(duì)應(yīng) 的那個(gè)水平。需要說明的是，最優(yōu)的水平組合并不一定就在由正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所 指定的實(shí)驗(yàn)當(dāng)中。所以，根據(jù)試驗(yàn)指標(biāo)的數(shù)值要求所確定的各因素的最優(yōu)水平組合, 就可以篩選出最佳的試驗(yàn)方案條件、以及較好的試驗(yàn)方案條件。對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的直觀分析法，除了極差分析外。為了更形象直觀的 得出試驗(yàn)分析結(jié)果，我們還可以采用畫趨勢(shì)圖（效應(yīng)曲線圖）的

8、方法, 得出正確的綜合分析結(jié)論。效應(yīng)曲線圖（因素指標(biāo)分析）就是要畫出各因素水平與指標(biāo)的關(guān) 系圖，它是一種座標(biāo)圖，它的橫座標(biāo)用各因素的不同水平表示；縱座 標(biāo)同為試驗(yàn)指標(biāo)。其實(shí)它就是根據(jù)極差分析數(shù)據(jù)所繪出來(lái)的，可以一 目了然看出各因素的哪個(gè)水平為最優(yōu)（根據(jù)指標(biāo)的具體數(shù)值要求）。2 .方差分析法：通過試驗(yàn)可以獲得一組結(jié)果實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這組數(shù)據(jù)之間一般會(huì)存在 一定的差異，即使在相同的條件下做幾次試驗(yàn)，由于偶然因素的影響, 所得的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)也不完全相等，這說明實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)不僅與實(shí)驗(yàn)條 件的改變有關(guān)，也包括實(shí)驗(yàn)誤差的影響。方差分析是用來(lái)區(qū)分所考察因子的由于水平不同對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果 的差異是由于水平的改變所引起還

9、是由于試驗(yàn)誤差所引起的，以便進(jìn) 一步（在直觀分析的基礎(chǔ)上）檢驗(yàn)?zāi)男┮蜃訉?duì)結(jié)果有影響，哪些沒有 影響，并區(qū)分哪些是影響結(jié)果的主要因素，哪些是次要因素。我們通過一個(gè)例子來(lái)說明方差分析法的原理和計(jì)算方法。在研究某膠料的過程中，為考察生膠的轉(zhuǎn)動(dòng)黏度對(duì)膠料壓縮變形 有無(wú)顯著的影響，進(jìn)行了試驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表-3所示：表一 3壓縮、黏變139142147150138.236.535.632.2233.335.934. 131.6336.032.832.835.6平均值35.835. 134.233.2我們把轉(zhuǎn)動(dòng)黏度記做因子A,這是單因子4水平的實(shí)驗(yàn)，每個(gè)水平都進(jìn)行了 3次重復(fù)試驗(yàn)，從這組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，如何來(lái)判

10、斷A因子對(duì)壓縮變形有無(wú)顯著性影響呢？首先從這組數(shù)據(jù)出發(fā)，計(jì)算出實(shí)驗(yàn)誤差引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)及A因子水 平的改變所引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)?？梢杂^察到在A的同一水平下，雖然試驗(yàn)條件沒有改變，但所得的 試驗(yàn)數(shù)據(jù)不完全一樣，也就是說壓縮變形值不完全一樣。這是由于試 驗(yàn)誤差的存在使數(shù)據(jù)發(fā)生了波動(dòng)。例如，A的第一水平下(Al = 139) 數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：(38.2+33.3+36.0) =35.83數(shù)據(jù)的波動(dòng)值是：S尸(38. 2-35. 8)之十(33. 3-35. 8)2+(36. 0-35. 8) =12.05我們稱Si為A的第一水平下的偏差平方和。偏差平方和反映了一組 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分散和集中的程度，S大表明這組

11、數(shù)據(jù)分散，S小表明它們 集中。類似地，可以按公式：- 1 3再=浮3_ 2Sa=£(囹x-) , i=l ,2,3,4尸1計(jì)算各水平下數(shù)據(jù)的平均值及偏差平方和：S2=7. 89x2 =35.1西=34.2Sa=3. 93元=33.2Sf8. 96將各因子A在各水平下的偏差平方和相加，得S-=S1+S2+S3+Sq=，Gj xj- =32. 83i-l j-這完全是由試驗(yàn)誤差引起的，它表征了試驗(yàn)誤差在這組試驗(yàn)中引 起的數(shù)據(jù)的總波動(dòng)值，我們稱S誤為試驗(yàn)的偏差平方和。對(duì)因子A,可以注意到A的四個(gè)水平下的平均值工也各不相同。這 種數(shù)據(jù)平均值的波動(dòng)不僅與試驗(yàn)誤差有關(guān)，還包括由于A的水平不同 引

12、起的數(shù)據(jù)波動(dòng)。A的第一水平下的平均值 =35. 8,這個(gè)平均值可代替各個(gè)1水平 (共3個(gè))對(duì)壓縮變形的影響，對(duì)其它的水平亦可作同樣地考慮，記 做：x = lyi；=34. 6表示數(shù)據(jù)的總平均值，貝依因子各水平平均值之間的偏差平方和 為：4 = Sa=3(-a)2 = 11.43它刻劃了A水平不同引起的數(shù)據(jù)波動(dòng)值，稱為因子A的偏差平方和, 如果記：r-i表示所有的數(shù)據(jù)圍繞它們的總平均值的波動(dòng)值，則可以證明：Sg. = S,+S 誤從數(shù)據(jù)偏差平方和可見，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)多的，偏差平方和就可能大。 為了消除數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的影響，我們采用平均偏差平方和S/fA、S/f誤， 其中3和f誤分別表示偏差平方和Sa和S誤的

13、自由度。所謂自由度，就是獨(dú)立的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)。與偏差平方和一樣，自由度也可以分解為：%.=八+ f誤而f.=N-l, N為同一水平的總試驗(yàn)次數(shù)；£,1=A的水平數(shù)一1；f 誤=臭一f*A；考慮比值：5/f3誤/誤若F比近似等于1,表明S/f.與S誤/f誤差不多,也就說明因子A的水 平改變對(duì)指標(biāo)的影響在誤差圍之，即水平之間無(wú)顯著差異。那么，當(dāng)口多大時(shí)，才能說明因子A水平改變對(duì)結(jié)果有顯著影響 呢？這時(shí)要查一下F分布臨界值表。F分布臨界值表列出了各種自由度 情況下F比的臨界值。在F分布臨界值表上橫行。代表F比中分子的自由 度3,豎行f2代表F比中分母的自由度f(wàn)誤。查得的臨界值記做F«

14、,這里 的a是預(yù)先給定的顯著性水平，若限NF,我們就有（1 一。）的把握 說明因子A的水平改變對(duì)結(jié)果（指標(biāo)）有顯著性影響，其幾何意義見圖一1所示。對(duì)我們所討論的例子，有：f . = 12-1 = 11；fA =4-1=3；f 誤=11-3=8；把有關(guān)數(shù)據(jù)帶入F,的表達(dá)式，得：5=1143£3=1 085 誤/f 誤 32.83/8我們給定顯著性水平a =0. 10,從F分布臨界值表中查出：Fo. io (3,8) 2. 92由于F比=1.08< Fo.io(3,8)=2. 92因此我們大概有90%的把握說因子A的水平改變對(duì)結(jié)果的影響無(wú) 顯著差異，也就是說我們有90%的把握，說生

15、膠轉(zhuǎn)動(dòng)黏度水平的改變 對(duì)壓縮變形的影響無(wú)顯著差異，試驗(yàn)結(jié)果所出現(xiàn)的波動(dòng)就主要是由試驗(yàn)誤差造成的(有必要通過改變?cè)囼?yàn)條件來(lái)減 小試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的波動(dòng))。反之，當(dāng)F比之F。時(shí)，我們大概有90%的把握說因子A的水平改變對(duì)結(jié)果的影響有顯著影響。顯著性水平a ,是指我們對(duì)作出的判斷大概有1 a的把握。對(duì)于 不同的顯著性水平，有不同的F分布表，常用的有a =0. 01, a =0. 05 和a =0. 10三種。為了區(qū)別顯著性的程度，當(dāng)FQF。（3, L）時(shí)，就說該因子水平的 改變對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有高度顯著的影響，記做*；當(dāng)F°°（。，f2）>Ffe>F0.05（fi, fz）時(shí)，

16、就說該因子水平的改變，對(duì)試 驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，記做*;當(dāng)F°.05（f, f2） >FA>F0,10（fl, f2）時(shí),就說該因子水平的改變，對(duì)試 驗(yàn)結(jié)果有一定的影響，記做*。根據(jù)是否要考慮兩個(gè)因素的交互作用，又將雙因素方差分析分為 雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析和雙因素不重復(fù)試驗(yàn)的方差分析。此外還有多因素方差分析，分析方法與此類同，這里不進(jìn)行討論。3. 交互作用：在多因素對(duì)比試驗(yàn)中，某些因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響往往有相互制 約、互相聯(lián)系的現(xiàn)象。在處理多因素對(duì)比試驗(yàn)時(shí)，不僅需要分別研究各因素水平的改變 對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響以及每個(gè)因素的單獨(dú)作用，還要考慮它們之間的相 互作用。通常在一

17、個(gè)試驗(yàn)里，不僅各個(gè)因素在起作用，而且因素之間有時(shí) 會(huì)聯(lián)合起來(lái)影響試驗(yàn)的結(jié)果指標(biāo)，這種作用叫做交互作用。如果因素力的數(shù)值和水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨因素價(jià)勺變化也 發(fā)生變化；同樣地，若因素6的數(shù)值或水平發(fā)生變化時(shí)，試驗(yàn)指標(biāo)隨 因素力變化的變化也發(fā)生變化，則稱因素48間有交互作用，記為4X6。當(dāng)任意兩元素之間（如A與B）存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論 因素A、B本身對(duì)指標(biāo)的影響是否顯著，A、B的最佳水平的選取都應(yīng)從 A與B的搭配中去選擇。為了考慮交互作用的影響，一般在選擇正交表時(shí)，要注意留有一 定的空列。進(jìn)行方差分析時(shí)，當(dāng)被分析因子對(duì)指標(biāo)的影響不顯著時(shí)，其原因 是試驗(yàn)誤差太大或誤差的自由度小，試驗(yàn)

18、誤差有可能掩蓋了被考察因 素的顯著性，使得F檢驗(yàn)靈敏度下降。若F檢驗(yàn)顯著，說明存在交互作 用。如果在處理實(shí)際問題時(shí)，已經(jīng)知道不存在交互作用，或已知交互 作用對(duì)試驗(yàn)的指標(biāo)影響很小，則可以不考慮交互作用。主次因素的分析一般通過極差分析就可以得出結(jié)論，從效應(yīng)圖可 以看得更直觀。對(duì)極差分析、方差分析以及交互作用的分析結(jié)果必須要根據(jù)具體 的實(shí)際條件（例如材料成本，時(shí)間花費(fèi)，主次因素，對(duì)指標(biāo)的影響程 度等，特別是對(duì)復(fù)合指標(biāo)數(shù)據(jù)考核時(shí)）進(jìn)行綜合分析，才能最后得出 最佳水平組合。本實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和計(jì)算使用“正交設(shè)計(jì)助手”軟件。4軟件分析法使用“正交設(shè)計(jì)助手II ”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。其操作步驟如下：1.文件'新建工程：命名該未命名工程；并存儲(chǔ)工2.程;實(shí)驗(yàn)'新建實(shí)驗(yàn)一一進(jìn)入設(shè)計(jì)向?qū)?（1）實(shí)驗(yàn)說明：填寫實(shí)驗(yàn)名稱和簡(jiǎn)要敘述及選擇標(biāo)準(zhǔn)正交表。對(duì)于多指標(biāo)（復(fù)合指標(biāo)）檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，可以在同一工程中建立多個(gè)實(shí)驗(yàn), 實(shí)驗(yàn)最佳方案的確定要通過對(duì)各實(shí)驗(yàn)分析、討論所得的結(jié)論加以綜合 考慮。（2）選擇正交表；從下拉菜單中選擇合適的正交表，考慮到交互 作用，需要留有一定的