(完整版)初中函數(shù)概念大全

1、 函數(shù)及其相關(guān)概念 1、變量與常量 在某一變化過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。 一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。 2、函數(shù)解析式 用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。 使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。 3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn) （1）解析法 兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法

2、叫做列表法。 （3）圖像法 用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。 4、由函數(shù)解析式畫(huà)其圖像的一般步驟 （1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值 （2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn) （3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。 一次函數(shù)和正比例函數(shù) ?bkx?y?0），那么y叫做xk， 1、一次函數(shù)的概念：一般地，如果b是常數(shù)，k的一次函數(shù)。 （?kxy?bkx?y?0）。這時(shí)，y叫做特別地，當(dāng)一次函數(shù)x（k為常數(shù)，中的b為0時(shí)，k的正比例函數(shù)。 2、一次函數(shù)、正比例函數(shù)的圖像 所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線 ykxbk0)(byy軸上一次

3、函數(shù)是直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即一次函數(shù)在的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線(y?kx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，；正比例函數(shù)0）的直線。 的截距)y yy?) yx A(3、斜率：11, 12) x yP(?tank?00y=kx+b x?xd 12) B(xykb ykx22, 0) (直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式:?: 由直線上兩點(diǎn)確定的直線的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱兩點(diǎn)式b yy?a ?12y)?b?(x?xy?kx?b?(tanx)x 11xx?x 0 12xy?1yx 軸和由直線在軸上的截距確定的直線的截距式方程，簡(jiǎn)稱截距式：ab llbx?y?kb?xy?k ： 設(shè)兩條直線分別為，若212211

4、1?k?l?l?k2211Y l/lb?bk?k/l?l 若。，則有且21212112A kx?y?bkx?y?b0000y，x: 即：）到直線y=kx+b(（點(diǎn)Pkx-y+b=0) 的距離?d?00222?)1kk?(?1 此方法拓展思路，以、兩點(diǎn)間距離公式（當(dāng)遇到?jīng)]有思路的題時(shí)，可用4X 尋求解題方法）B ，xB，xA如圖：點(diǎn)坐標(biāo)為（y）點(diǎn)坐標(biāo)為（y）2121?22yyx?x? 的長(zhǎng)度為ABAB則間的距離，即線段 2121 5、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定?kx?y。確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一k（k確定一個(gè)正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式0）中的常數(shù)?by?kx? 次函數(shù)定義式

5、。解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法。0）中的常數(shù)k和（kb 軸。兩點(diǎn)的一條直線，|k|的值越大，圖象越靠近于y6、（1）一次函數(shù)圖象是過(guò) 隨x的增大而增大；從左至右圖象是上升的（左低右高）；（2）當(dāng)k>0時(shí)，圖象過(guò)一、三象限，y x的增大而減小。從左至右圖象是下降的（左高右低）；y（3）當(dāng)k<0時(shí)，圖象過(guò)二、四象限，隨時(shí)，一次函0時(shí)，與y軸的交點(diǎn)(0,b)在負(fù)半軸。當(dāng)b）在正半軸；當(dāng)）當(dāng)（4b>0時(shí)，與y軸的交點(diǎn)（0，bb<0 數(shù)就是正比例函數(shù)，圖象是過(guò)原點(diǎn)的一條直線 不相等。 ）幾條直線互相平行時(shí)，k值相等而b（5 反比例函數(shù) 1、反比例函數(shù)的概念 k1?kxy?y?

6、的形式。自變（k是常數(shù)，一般地，函數(shù)k0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成x? xy=k(k的取值范圍是x是常數(shù)，k0)0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)，也可寫(xiě)成x量成反比x為常數(shù)，k0，兩個(gè)變量的積是定值，所以y與k反比例函數(shù)中，兩個(gè)變量成反比例關(guān)系：由xy=k，因?yàn)閥=k (k0)，因?yàn)閗為不等于零的常數(shù)，兩個(gè)變量的商是定值。變化，而正比例函數(shù)y=kx(k0)是正比例關(guān)系：由 xk(k0)的圖象的畫(huà)法、反比例函數(shù)2y= 畫(huà)圖方法：描點(diǎn)法。 x由于雙曲線的圖象有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，所以只要描出它在一個(gè)象限內(nèi)的分支，再對(duì)稱地畫(huà)出另一分支。一定要 注意：k>0，雙曲

7、線兩分支分別在第一、三象限。k<0，雙曲線兩分支分別在第二、四象限。(在每一象限內(nèi)，從左向右上升)因此，它的增減性與一次函數(shù)相反反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 k=kx-1(k0)中，x0， y0，則有雙曲線不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸永不相交。但無(wú)限靠近x軸、 特點(diǎn)：y=y x軸。畫(huà)圖時(shí)圖象要體現(xiàn)這種性質(zhì)，千萬(wàn)注意不要將兩個(gè)分支連起來(lái)。 3、反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像 反比例 函數(shù)k(k?0y?) x的符k 號(hào)k>0 k<0 圖像 y O x y O x 性質(zhì) ?的取值范圍是xx0， ?； y 的取值范圍是y0k>0當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別 y 在第一、三象限。在

8、每個(gè)象限內(nèi)， 隨x 的增大而減小。?0， x的取值范圍是x?0； y的取值范圍是y 當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別 y 在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)， 的增大而增大。隨x 4、反比例函數(shù)解析式的確定 k?y中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖像上的確定的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù) x k的值，從而確定其解析式。一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出 5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何的意義k(ky?0)圖像上任一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON如下圖，過(guò)反比例函數(shù)的面積 xk ,?xy?k,S?y?k xyy?x?PN=S=PM? x 二次函數(shù)2y?ax?bx

9、?c(a,b,c是常數(shù)，a?0)，那么y叫做x 、二次函數(shù)的概念：一般地，如果 1的二次函數(shù)。 2?bx?c(a,b,c是常數(shù)，y?axa?0)叫做二次函數(shù)的一般式。 b?x對(duì)稱的曲線，這條曲線叫拋物線。2、二次函數(shù)的圖像：二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于 2a3、二次函數(shù)圖像的畫(huà)法 五點(diǎn)法： （1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫(huà)出對(duì)稱軸 2c?ax?bxy? 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（2）求拋物線。將這五個(gè)的對(duì)稱點(diǎn)DCy軸的交點(diǎn)，再找到點(diǎn)CA,B當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)及拋物線與 點(diǎn)按從左到右的順序連接起來(lái)，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

10、三點(diǎn)可粗略地畫(huà)出二D、。由DC、M及對(duì)稱點(diǎn)軸的交點(diǎn)軸只有一個(gè)或無(wú)交點(diǎn)時(shí)，描出拋物線與當(dāng)拋物線與xyC ，然后順次連接五點(diǎn)，畫(huà)出二次函數(shù)的圖像BA次函數(shù)的草圖。如果需要畫(huà)出比較精確的圖像，可再描出一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)、 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法4.222b?b4acbbac?b4?2），（?x?c?ax?y?ax?bx? （1）公式法：，頂點(diǎn)是，對(duì)稱軸是直線 a42aa2a42a?2k?x?hy?akh，對(duì)稱軸是直線的形式，得到頂點(diǎn)為() （2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為,x?h. （3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。 若已知拋

11、物線x?x21、),y(x,y)(x?xy ，則對(duì)稱軸方程可以表示為：值相同）（及上兩點(diǎn) 1222c?bxy?axc,ba 中，拋物線的作用5.aa?0a?0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；頂 （1）時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小當(dāng)aaa 越小，圖像開(kāi)口越大。 越大，圖像開(kāi)口越小，相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同. 點(diǎn)為其最高點(diǎn)。yyx?0x?h. 軸（或重合）的直線記作特別地， 平行于軸記作直線. b2c?ax?bxy?xab，和 共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線 （2） 2ab?0yyab0b?軸左側(cè)；同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在、故： 時(shí)，對(duì)稱軸為（即軸； a

12、b?0yab軸右側(cè)、. （即異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在 a22y?ax?bx?cy?ax?bx?ccyycy?0x?軸 （3）的大小決定拋物線，拋物線與時(shí)，軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)與cyy00?cc?0c?軸交于負(fù)半軸與軸交于正半軸；，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn); . ,與0有且只有一個(gè)交點(diǎn)（，,）：b 0?y.軸右側(cè)，則.如拋物線的對(duì)稱軸在 以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立 a 6、二次函數(shù)的解析式有三種形式：2)0ac(,b,c是常數(shù)，a?y?ax?bx? 1）一般式：（2),h,k是常數(shù)，a0?ay?(x?h)?k(a （2）頂點(diǎn)式：22xxcax?bx?y?0?cax?bx存在和軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程

13、）交點(diǎn)式：當(dāng)拋物線有實(shí)根x與（32122c?bx?x)y?ax?ax?bx?c?a(xx)(x式項(xiàng)時(shí)，根據(jù)二次三式的分解因式為兩，二次函數(shù)根可轉(zhuǎn)化21y?a(x?x)(x?x)。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下： 21函數(shù)解析式 開(kāi)口方向 對(duì)稱軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) 2ax?y 0?a 當(dāng)時(shí) 開(kāi)口向上0?a 當(dāng)時(shí) 開(kāi)口向下y0x?軸）（ （0,0） 2ky?ax? y0?x軸） （k) (0, ?2hxy?a? x?h h,0) (?2k?ya?x?h x?h kh,) (2c?axy?bx 2 b?ac4b2?a?y)?x(a4a2b?x a22b?4bac，?) (a4

14、a27、二次函數(shù)的最值 2b?4acby?x?時(shí)，。（或最小值），即當(dāng) 如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值 最值4a2ab?x?x?x?xx?x內(nèi)，那么，首先要看是否在自變量取值范圍若在此范圍內(nèi)，如果自變量的取值范圍是 21122a2bac?4by?x?x?x?范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍時(shí)，x=；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在則當(dāng) 21最值4a2a22y?ax?bx?cy?ax?bx?cxx?xx?；如果在此范圍時(shí)，內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)121212最小最大22y?ax?bx?cy?ax?bx?cxx?x?x。時(shí)， x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)內(nèi)，y隨21

15、1221最小最大8、二次函數(shù)的圖象 函數(shù)2)0是常數(shù)，a?(a,b,cy?ax?bx?c 二次函數(shù) 圖像a>0 a<0 y y x 0 1 0 x 性質(zhì) ）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（1 b? ，）對(duì)稱軸是（2x=2a2?b4acb?）； 頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，b隨y（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x時(shí)，的增大而減b?x>時(shí)，2a右增； （4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)y值，最小值（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸； b?，x= （2）對(duì)稱軸是2bac?b?）；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ 2b時(shí)，y隨x（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)?shù)脑龃蠖龃?；在?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)b?時(shí)，x>y隨2a增右減； （4）

16、拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)?y大值，最大值2a4，4aa2?x<??；在對(duì)稱軸的y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減b?x=2a2b4ac? 4a4aa?x<2x的增大而減小，簡(jiǎn)記左b?x=2a2b?4ac 42a右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y有最小a時(shí)，y有最a 拋物線的交點(diǎn)9. 2c?bxy?axyc). （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, 2c?ax?bxyxxxx，是對(duì)應(yīng)一元二次方軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的圖像與、 （2）拋物線與軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)2120?c?ax?bxx式別判的根的程方次二元一的應(yīng)對(duì)由以可況情點(diǎn)交的軸與線物拋.根數(shù)實(shí)個(gè)兩的程2acb4? 判定：?x0?軸相交；() 拋物線與 有兩個(gè)交點(diǎn)x?x0?軸相切；() 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在拋物線與軸上）?x0?軸相離(. 拋物線與) 沒(méi)有交點(diǎn) x軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 3）平行于 （k，則橫坐個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為當(dāng)有21個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn). 同（2）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、2k?cax?bx. 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根標(biāo)是?20?ky?kx?nGl0?ay?ax?bx?c 二與次函數(shù)組，數(shù) （4）一次函由方的圖像程的交點(diǎn)的圖像y?kx?n Gl?有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與的解的數(shù)目來(lái)確定：方程組有