D72可分離變量微分方程第1次課ppt課件

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 1目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y), F(x), 2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求微分方

2、程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時丟失的解 y = 0 )3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù) )故所求特

3、解為 1)0(y4目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù) )所求通解:5目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習練習:.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分離變量分離變量xyxydedeCxyee即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有uue1積分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 為任意常數(shù) )所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (積分6目錄 上

4、頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.e0tMM然后積分:td)(知 t = 0 時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原M0MtO7目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5.成正比,求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0

5、( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)e1 (tmkkgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系. kgmv t 足夠大時8目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解后者是通解 , 但不包含前一個解 .例如, 方程分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù) .解; 階;通解; 特解 y = x 及 y = C 93. 解微分方程的步驟-先求通解，再求特解