自動控制原理-第5章新系統(tǒng)頻域分析

1、第5章控制系統(tǒng)的頻域分析時域分析法具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點，主要用于分析線性系統(tǒng)的過渡過程。如果描述系統(tǒng)的微分方 程是一階或二階的，求解后可利用時域指標(biāo)直接評估系統(tǒng)的性能。然而實際系統(tǒng)往往都是高階的，要 建立和求解高階系統(tǒng)的微分方程比較困難。而且，按照給定的時域指標(biāo)設(shè)計高階系統(tǒng)也不容易實現(xiàn)。本章介紹的頻域分析法，可以彌補時域分析法的不足。頻域法是通過分析不同諧波的輸入時系統(tǒng) 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，故又稱為頻率響應(yīng)法。利用此方法，將傳遞函數(shù)從復(fù)域引到具有明確物理概念的頻域來 分析系統(tǒng)的特性。頻率分析的優(yōu)點較多。首先，只要求出系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。其次，由系統(tǒng)的頻率特性所確定的頻域指標(biāo)

2、與系統(tǒng)的時域指標(biāo)之間存在著一定的對應(yīng)關(guān)系，而系統(tǒng)的頻率特性又很容易和它的結(jié)構(gòu)、參數(shù)聯(lián)系起來。因而可以根據(jù)頻率特性曲線的形狀去確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和 參數(shù)，使之滿足時域指標(biāo)的要求，并且可以同時確定系統(tǒng)工作的頻率范圍。此外，頻率特性不但可由 微分方程或傳遞函數(shù)求得，而且還可以用實驗方法求得。 這對于某些難以用機理分析方法建立微分方程或傳遞函數(shù)的元件(或系統(tǒng))來說，采用頻率特性可以較方便地解決此類問題。因此，頻率法得到了 廣泛的應(yīng)用，它也是經(jīng)典控制理論中的重點內(nèi)容?？刂葡到y(tǒng)的時域分析法和頻域分析法，作為經(jīng)典控制理論的兩個重要組成部分，既相互滲透，又 相互補充，在控制理論中占有重要地位。頻率特性具有較強的直

3、觀性和明確的物理意義，可用實驗的 方法測量系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，因此，頻率特性分析的方法在控制工程中廣泛應(yīng)用。頻率特性的定義是以輸入信號為諧波信號給出的。當(dāng)輸入信號為周期信號時，可將其分解為疊加的頻譜離散的諧波信號；當(dāng)輸入信號為非周期信號時，可將非周期信號看成周期為無窮大的周期信號， 因此，非周期信號分解為疊加的頻譜連續(xù)的諧波信號。這樣一來，就可用關(guān)于系統(tǒng)對不同頻率的諧波 信號的響應(yīng)特性研究，取代關(guān)于系統(tǒng)對任何信號的響應(yīng)特性的研究。5.1 頻率特性概述5.1.1 頻率特性的基本概念1頻率響應(yīng)：線性定常控制系統(tǒng)或元件對正弦輸入信號(或諧波信號)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出響應(yīng)稱為 頻率響應(yīng)。為了說明頻率響應(yīng)，先看一

4、個RC電路，如圖5-1 (R-C電路)所示。設(shè)電路的輸入、輸出電壓圖5-1 R-C電路的正弦信號分別為Ur(t)和Uc(t),電路的傳遞函數(shù)為Uc(s)1G(s)-Ur(s) Ts 1式中，TRC為電路的時間常數(shù)。若給電路輸人一個振幅為 X、頻率為即:ur(t) X sin t(5-1)當(dāng)初始條件為。時，輸出電壓的拉氏變換為1Uc(s)-Ur(s)Ts 1對上式取拉氏反變換，得出輸出時域解為Ts 1X22sXT $ uc 1 T"2 2 eXT22sint arctanT上式右端第一項是瞬態(tài)分量，第二項是穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng)時，第一項趨于0,電路穩(wěn)態(tài)輸出為B sin t(5-2)XUcs(

5、t)0 ° sin t arctan T1 T2 2一X式中，B ,為輸出曲壓的振幅;為Uc(t)與ur(t)之間的相位差。1 T2 2式(5-2)表明：R-C電路在正弦信號ur(t)作用下，過渡過程結(jié)束后，輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍是一個與輸入信號同頻率的正弦信號，只是幅值變?yōu)檩斎胝倚盘柗档?/% T2 2倍,相位則滯后了arctanT 。上述結(jié)論具有普遍意義。事實上，一般線T系統(tǒng)(或元件)輸人正弦信號x(t) Xsin t的情況下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出(即頻率響應(yīng))y(t) Ysin( t )也一定是同頻率的正弦信號，只是幅值和相位不樣。如果對輸出、輸入正弦信號的幅值比A Y/X和相位差作進

6、一步的研究，則不難發(fā)現(xiàn)，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定的情況下，A和僅僅是的函數(shù)，它們反映出線性系統(tǒng)在不同頻率下的特性，分別稱為幅頻特性和相頻特性，分別以A()和()表示。2頻率特性：線性定常系統(tǒng)在正弦輸入信號的作用下，其穩(wěn)態(tài)輸出(頻率響應(yīng))的幅值與輸入信Xo()號的幅值比稱為 幅頻特性，記作A( ) 0 ；輸出信號與輸入信號的相位之差稱為相頻特性，記Xi()作()；它們都是頻率的函數(shù)，兩者合稱為系統(tǒng)的 頻率特性，記作A()()或A( )ej ()。也就是說頻率特性定義為的復(fù)變函數(shù)，其幅值為 A(),相位為 ()。3頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系設(shè)線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為41G(s)= Xs)Xi(s)mm 1

7、bmsbm 1snn 1ansan 1sb1s b0a1s a0(n m)m有 Xo(s) Um 1bm 1Sbisbo) an(s s)(s S2)(s Sn)Xi(5-3)當(dāng)給系統(tǒng)輸入正弦波信號時，即xi（t） Xisind,XtX i D則 Xi(s)=,S co代入（5-3）式，可得系統(tǒng)輸出為Xo(s)="m 1,m 1SS1)(S S2)biS bo) anX(s Sn)式中，Si為系統(tǒng)特征方程的根,ai(S Si)(S（b為b的共軻復(fù)數(shù)）為待定系數(shù)。(5-4)對式5-4)進行拉氏反變換，得系統(tǒng)輸出為Xo(t)_ _Sitaiebebej t(5-5)對于穩(wěn)定系統(tǒng)而言，上式

8、中第一部分為瞬態(tài)響應(yīng)。由于系統(tǒng)特征根Si均具有負實部,故當(dāng)時間時，瞬態(tài)響應(yīng)趨近于零；第二部分為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，用Xos(t)表示Xos (t) be jbej(5-6)其中，b、b由待定系數(shù)法求得,b = G(S)Xi(S j )(S j )(sXiG( j )_ XiA(j2 一)e j j2g G(s)Xi(s j )(s j )(sXiG(j ) XiA( )ej2j2將b、b代入式（5-6）中，則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:ej t ( ) e j t ()Xos(t)XiA( )j2Xi sin t由歐拉公式可得Xos(t)XoSin t ()(5-7)式（5-7）表明，線性系統(tǒng)在正弦信號作用下，其輸

9、出量的穩(wěn)態(tài)分量的頻率與輸入信號相同,其幅值Xo=XiA（），相位差為（），即 A（ ）=G（j ），()G(j )。.U( )2 V( )2)arctg3 U()cos ( ) jsin ()()因G(j ) G(j ) = G(j )，所以G(j )為系統(tǒng)的頻率特性，而 G(j )可直接將G(s)中的s 以j代之而得到。這就說明了傳遞函數(shù)與頻率特性之間的關(guān)系。4頻率特性的表達方式系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)，其矢量圖如圖5-2所示，可用以下幾種方式表示：(我不太明白，你看看是什么意思。公式中并沒有矢量，而是通過幅值和相位來表示的。如果是圖中問題的 話，沒有辦法編輯，你重新畫吧。)代數(shù)式

10、G (j ) U( ) jV()式中：U ()為實頻特性，V()為虛頻特性。幅頻特性 A( )=G(j )相頻特性 ()=G(j三角函數(shù)式G (j ) A(極坐標(biāo)式 G (j ) A(復(fù)指數(shù)式 G (j ) A( )ej ( )5頻率特性的特點和作用頻率特性分析方法廣泛應(yīng)用于機械、電氣、流體傳動等各種系統(tǒng)中，是分析線性定常系統(tǒng)的基本 方法之一。系統(tǒng)的頻率特性有幾下特點: 系統(tǒng)頻率特性就是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)(t)的傅里葉變換，即(t)的頻譜。所以，對系統(tǒng)頻率特性的分析就是對單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻譜分析，F(xiàn) (t) = G(j )。時間響應(yīng)分析主要用于分析線性系統(tǒng)的過渡過程，以獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性，而頻

11、率特性分析 則通過分析不同的諧波輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以獲得系統(tǒng)的動態(tài)特性。 在研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及參數(shù)的變化對系統(tǒng)性能的影響時，許多情況下，頻域分析法比時域分析法要容易些。若研究系統(tǒng)的階次較高，特別是對于不能用解析法求得微分方程的系統(tǒng)，在時域中分析系統(tǒng)，時域分析進行比較困難。而采用頻率特性分析可以較方便地解決此問題。 若系統(tǒng)在輸入信號的同時，在某些頻帶中有嚴(yán)重的噪聲干擾，則對系統(tǒng)采用頻率特性分析法 可以設(shè)計出合適的通頻帶，以抑制噪聲的影響。由此可見，在經(jīng)典控制理論中，頻域分析法比時域分析法更有優(yōu)勢。5.1.2頻率特性的求取及表示方法頻率特性求取內(nèi)容主要包括其相頻特性與幅頻特性，一般有三種方法求取

12、。1)定義法 如果已知系統(tǒng)的微分方程，可將輸入變量以正弦函數(shù)代入，求系統(tǒng)輸出變量的穩(wěn)態(tài) 解(頻率響應(yīng))，輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入變量的復(fù)數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。2) j替代法 如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可將系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的s以j替代，即可得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。3)試驗法 這是對實際系統(tǒng)求取頻率特性的一種常用而又重要的方法。根據(jù)頻率特性的定義，首先，保持輸入正弦信號的幅值和初相角不變，只改變頻率 ，測出輸出信號的幅值和相位角。然后,作出幅值比-頻率 的函數(shù)曲線，此即幅頻特性曲線A();作出相位差-頻率 的函數(shù)曲線，此即相 頻特性曲線 ()。K例5-1已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G (s)，求其頻率特性。

13、Ts 1解法1)定義法一./ 、Xi因 xi(t) Xi sin t,則 X/s) = -2s所以 Xo(s) = G(s)Xi(s)K X|Ts 1 s2X；KT 工拉氏反變換得 xo(t)-丁2 2 e TXiK . / * sin( t1 T2 2arctgT )式中，第一項為瞬態(tài)分量，第二項為穩(wěn)態(tài)分量。 依據(jù)定義得系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為 ()一arctgT解法2) j替代法系統(tǒng)的頻率特性為G (j ) G ( s) s jK1 jTK(1 jT ) K jTK2(1 jT )(1 jT )1 (T )幅頻特性A( ) G(j )K一廠T2相頻特性() G(j ) arctgT

14、5.2頻率特性的極坐標(biāo)(Nyquist )圖描述控制系統(tǒng)頻率特性的表示方法有幅相頻率特性(Nyquist)圖法、對數(shù)頻率特性(Bode)圖法和對數(shù)幅相頻率特性(Nichols)圖法，而 Nyquist圖法與Bode圖法更為常用。5.2.1 G j 復(fù)平面幅相頻率特性是在圖 5-3所示的G j復(fù)平面上研究的，當(dāng) 從。至ij+8變化時，G j作為一個矢量，其端點在G j復(fù)平面上所形成的軌跡就是頻率特性的極坐標(biāo)圖，亦稱乃奎斯特圖(Nyquist曲線)。它一方面表示了幅值與頻率、相位與頻率的關(guān)系特性，同時也表示了 實頻U ( 3 )和虛頻 V ( 3 )的變化特性。圖5-3頻率特性的極坐標(biāo)圖5.2.2

15、 典型環(huán)節(jié)的 Nyquist圖由于任何系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均可以看成為由若干個典型環(huán)節(jié)組成，因此掌握典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是研究控制系統(tǒng)幅相頻率特性的關(guān)鍵。(1)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是G (s) K , K>0令s = j 3則可得比例環(huán)節(jié)的頻率特性為G (j ) K顯然，實頻特性 U為恒值K,虛頻特性 V恒為0,所以幅頻特性G(j ) U2 V2. K2 0 K相頻特性G( j ) arctan(V/U) arctan( 0/K ) 0可見，當(dāng)co從0一8變化時，G j的幅值和相角均不變。所以比例環(huán)節(jié)的 Nyquist為實軸上的一個定點(K, j0)。如圖5-4 (a)所示。(2)積分

16、環(huán)節(jié)1積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是G (s) 1 ,s實頻特性U為恒值0,虛頻特性 V=同樣方法可得頻率特性G j1j1/所以幅頻特性 相頻特性 當(dāng)3 = 0時， 當(dāng)W 00時， 可見，當(dāng)3從|G|G|G (j co) | = 1/ co/ G (j co) =- 90o(j co) |=8, / G (jco) = 90o(j 3)|= 0 , / G (j 3)=- 90o0一oo變化時，g (j co)的幅值由00一 0,相角，f1為一90o。所以積分環(huán)節(jié)的 Nyquist圖是一與虛軸負段重合的直線，且由無窮遠處指向原點。如圖5-4 (b)所示。(3)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)頻率特性實頻特性幅

17、頻特性相頻特性U為恒值|G (j0,0)G (s) = sG ( j 3 ) = j W虛頻特性V=|=。O所以/ G (j Q = 90o。|G (j Q |=0, / G (j &當(dāng) 3 =訓(xùn)寸,|G (j。|=8, / G (j Q=90o=90o可見，當(dāng)3從0-8變化時，g (j 的幅值由0-8,相角恒為90。所以微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖5-4 ( c)所示。為虛軸的上半軸，且由原點指向無窮遠點。如圖Nyquist 圖(4)慣性環(huán)節(jié)3Re慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是G (s)Ts 1頻率特性G (j &1 jT 1.T+ jr實頻特性(3)虛頻特性(3)11 T2 2T幅頻特

18、性|G相頻特性 /G (j Q = arctgT小當(dāng) 3= 0 時，|G(jQ |= 1, Z G (j& = 00；當(dāng) 3= 1/T 時，|G (j Q |=回2，/ G (j。= -45o；當(dāng) 3=訓(xùn)寸，|G (j Q |=0, Z G (jo) = -900?？梢?，當(dāng)從0一 8變化時，G (j Q的幅值由1 一0 ,相角為0 一一900=所以慣性環(huán)節(jié)的 Nyquist - 圖為正實軸下的一個半圓，圓心為(1/2J0),半徑為1/2。這一點可證明如下：虛頻特性與實頻特性之比為：勺T ,U()將其代入實頻特性表達式、展開并配方得：221 C1U ) - V2)-,2 2上式代表一個圓

19、的方程式，圓的半徑為1/2 ,圓心在(11.-12 , j0)處，如圖5-5所示(圖中標(biāo)注 a的變化方向)Im00 Re圖5-5慣性環(huán)節(jié)的 Nyquist圖例5-2已知某環(huán)節(jié)的幅相特性曲線如圖5-6所示，當(dāng)輸入頻率1的正弦信號時，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位遲后30，試確定環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。解根據(jù)幅相特性曲線的形狀，可以斷定該環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)形式為依題意有G(j )KTs 1A(0)G(j0)K 10 arctan T 30因此得 K 10, T J3/3圖5-6幅相特性曲線所以G(s)慣性環(huán)節(jié)是一種低通濾波器，從幅頻特性可以看出，該濾波器低頻信號容易通過，而高頻信號通過后幅值衰減較大。5)一階微分環(huán)節(jié)(或

20、稱導(dǎo)前環(huán)節(jié))一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是G (s) = 1+ Ts頻率特性 G (j 3)= 1+jT 3實頻特性 U(3)= 1,虛頻特性 V ()=Teo幅頻特性 |G (j co) | =由 T2 2 ,相頻特性 ZG (j 3) = arctgT。當(dāng) 3=0 時，|G (jeo) | = 1 , Z G (jeo) =0o當(dāng) 3= 1"時，|G (j 3)| = J2/2 , / G (j co) = 45o當(dāng) 3=00時，|G (j co) | =°°, Z G (j 3)= 90oNyquist可見，當(dāng)3從0 一8變化時，G (j 3)的幅值由1 一 8,

21、相角為0 900,所以微分環(huán)節(jié)的 圖為一條始于(1, j0)點，平行于虛軸，位于第一象限的一條垂線，如圖 5-7所示。ImG(j )1/T45。/G(j )(1,j0)Re圖5-7 一階微分環(huán)節(jié)的Nyquist 圖6)二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為G (s)2T s 12ns2 2 s 2s Uns n1T，0 1)頻率特性G (j co)2n(j)2 j2 n12j2 一n幅頻特性|G (j co)2 一相頻特性/ G (j a) = -arctg n2當(dāng) 3=0 時，|G (jeo) | = 1 , Z G (jeo) =0o當(dāng) 3 = 3 n 時，|G (j 3 ) 1 = 1/

22、(2 ) , / G (j 3 ) = -90 0當(dāng) 3 =8時，|G (j 3)| =0, / G (j 3)= 180 0可見，當(dāng)3從0 - 8變化時，G (j 3)的幅值由1 - 0,相角為0 一一 1800。所以二階欠阻尼系統(tǒng)的環(huán)節(jié)的Nyquist圖始于(1, j0)點，終止于原點，曲線與虛軸的交點頻率就是無阻尼固有頻率 此時幅值為1/(2 ),曲線分布在第三、第四像限，如圖 5-8所示。在阻尼比較小時，幅頻特性|G (j co) |在頻率為3 r處出現(xiàn)峰值，此峰值稱為諧振峰值，3稱為諧振頻率。3 r可由下式求得： S( )0-d r(5-8)3= n*；1 2|G (j cor) |

23、 =從式(5-8)可知，當(dāng) <=0 時，W r = CO no(5-9)7)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是G (s) = T2s2 2T s 1頻率特性 G (j co) = 1T2 2 j2T實頻特性 U (co) = 1T2 2虛頻特性 V (co) = 2T幅頻特性 |G (j co) |=；1 T2 2 2 ( 2T )22T相頻特性 / G (j w) = arctan 十二1 T2 2當(dāng) w= 0 時， |G (j & |= 1, / G (j Q = 0o當(dāng)1/Tn 時，|G (j o |= 2 ，/ G (j Q = 90o當(dāng) 3=訓(xùn)寸，|G (j Q |=

24、8, / G (j Q = 180o可見，當(dāng)3從 0 一 8變化時，G (j 3)的幅值由1 一 8,相角由0 一 180。所以二階微分環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)的Nyquist圖始于(1, j0)點，為上半平面上的曲線，并且 取值不同，其圖形也不同。曲線與虛軸的交點的頻率為1/Tn ,此時的幅值為 2 ,如圖5-9所示。圖5-9二階微分環(huán)節(jié)的 Nyquist圖8)延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是G (s) = e s頻率特性為 G (j a) = e j = cos jsin實頻特性 U (co) = cos虛頻特性 V (3) = - sin幅頻特性 |G (j 3)| = 1相頻特性 ZG (jco)=-可

25、見，延遲環(huán)節(jié)的 Nyquist圖是一個單位圓。其幅頻特性A ()恒為1,而相頻特性()隨頻率3順時針方向變化而成正比變化，即矢量端點在單位圓上無限循環(huán)，如圖5-10所示。圖5-10延遲環(huán)節(jié)的 Nyquist圖G (j )10(j )(1 j2 )10例5-3設(shè)一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s) ，試?yán)L制其乃奎斯特圖。s(2s 1)解：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為20.10(1 4 2)j (1 4 2)由上式可見，系統(tǒng)是由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)而成的。實頻特性U (j )20(1 4 2)虛頻特性U (j )105 0(1 4 )幅頻特性 G (j )10、(1 4 2)相頻特性G (j

26、)90 arctg 2 ；當(dāng) 3=0 時，U(co) = 20, V(co) = 00|G (j co) | =8, / G (j 3)= 90o；當(dāng) CO =°° 時，U(co) = 0, V(co) = 0|G (j 3)| =0, / G (j 3)= 180o；該系統(tǒng)的Nyquist圖如圖5-11所示。不難看出，當(dāng)一 j0 )且平行于虛軸的直線。0時，Nyquist曲線漸近于過點(一 20,5.2.2開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線如果已知開環(huán)頻率特性 G( j )，可令由小到大取值，算出A()和()相應(yīng)值，在G平面描 點繪圖可以得到比較準(zhǔn)確的開環(huán)系統(tǒng)幅相特性。實際系統(tǒng)分析過

27、程中，往往只需要知道幅相特性的大致圖形即可，并不需要繪出準(zhǔn)確曲線?？梢詫㈤_環(huán)系統(tǒng)在s平面的零極點分布圖畫出來，令s j沿虛軸變化，當(dāng) 0 時，分析各零點、極點指向s j的復(fù)向量的變化趨勢，就可以概略畫出開環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線。概略繪制的開環(huán) Nyquist圖應(yīng)反映開環(huán)頻率特性的三個重要因素：(1) 開環(huán)Nyquist圖的起點(0)和終點()。(2) 開環(huán)Nyquist圖與實軸的交點設(shè) g時，G(j )的虛部為(5-10)ImG(j g)0(g) G(j g) k ; k 0, 1, 2,(5-11)稱g為相角交界頻率，開環(huán)頻率特性曲線與實軸交點的坐標(biāo)值為ReG(j g) G(j g)(5-12

28、)3的變化趨(3) 開環(huán)Nyquist圖隨的變化范圍即曲線所在的象限及幅頻特性、相頻特性隨例5-4單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為G(s)sv(T1s 1)(T2 s 1)1 sTiT21s T2分別概略繪出當(dāng)系統(tǒng)型別 v 0,1,2,3時的開環(huán)幅相特性。解 討論v 1時的情形。在s平面中畫出G(s)的零極點分布圖,如圖 5.12 ( a)所示。系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為G(j )(s p)(s p2)(s P3)K T1T2K邛211j (j /T2)j0在s平面原點存在開環(huán)極點的情況下，為避免 0時G(j )相角不確定，我們?nèi)∽鳛槠瘘c進行討論。(0到0距離無限小，如圖 5-12所示。/Is P

29、i j0 01Ts P2 j0A10 90P3 j0T1A21八0TiT2A390G(j0 )當(dāng)由0逐漸增加時，jTi1人一口斗人一三個矢量的幅值連續(xù)增加；除 T290外,3均由0連續(xù)增加，分別趨向于90。s p1j 0 A 190s P221S p3 j A339090G(j )K3Ai i 1270由此可以概略繪出 G(j )的幅相曲線如圖5-12 (b)中曲線G1所示。同理，討論v 0, 2,3時的情況，可以列出表5-1,相應(yīng)概略繪出幅相曲線分別如圖5-12 (b)中G0 ,G2 , G3所示。(a) v 1時G(s)的零極點圖(b)對應(yīng)不同型別幅頻曲線圖5-12 例5-4圖表5-1例5

30、-4結(jié)果列表G(j )G(j0 )G(j )零極點分布0-KG0(j )(j1)(m 1)K 00180TG -WaL-KG1(j )j (j1)(仃21)900270L一而； -|/TSKG2(j )2(j ) (j1)( jT21)18003601TG MlTiKG3( j )3K(j )3(jT11)( jT21)2700450A % -LT,當(dāng)系統(tǒng)在右半s平面不存在零、極點時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)一般可寫為G(s)K( 1s 1)( 2s 1)( ms 1)s (Tis 1)(T2s 1)(Tn s 1)(nm)開環(huán)幅相曲線的起點 G(j0 )完全由K確定，而終點G(j)則由nm來確定。G

31、(j0 )90G(j ) 090 (n m)過程中G(j )的變化趨勢，可以根據(jù)各開環(huán)零點、極點指向s j的矢量之模、相角的變化規(guī)律概略繪出。例5-5已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gk(s)2 k° s (0.5s 1)(s 1)試概略繪出系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。解 系統(tǒng)型別v 2,零點一極點分布圖如圖5-13(a)所示。顯然(1)起點Gk( j0 )180(2)終點 Gk(j ) 0270(3)與坐標(biāo)軸的交點一k22Gk(j ) 2H(1 2.5) j (0.5)2(1 0.25 2) 12(a)圖5-13極點一零點分布圖與幅相特性曲線 一、， 一 一2 一一令虛部為0,可解出當(dāng) 0.

32、5 (即g 0.707)時，幅相曲線與實軸有一交點，交點坐標(biāo) g為ReG j a 2.67keg概略幅相曲線如圖5-13 ( b )所示。5.3頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)(Bode)圖描述5.3.1 概述對數(shù)頻率特性曲線又叫伯德 (Bode)曲線。它由對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性兩條曲線所組成，是 頻率法中應(yīng)用最廣泛的一組圖線。Bode圖是在半對數(shù)坐標(biāo)紙上繪制出來的。橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，縱坐標(biāo)采用線性的均勻刻度。Bode圖中，對數(shù)幅頻特性是 G(j )的對數(shù)值20lg|G(j )|和頻率 的關(guān)系曲線；對數(shù)相頻特 性則是G(j )的相角()和頻率的關(guān)系曲線。在繪制 Bode圖時，為了作圖和讀數(shù)方便，常將兩

33、種曲線畫在半對數(shù)坐標(biāo)紙上，采用同一橫坐標(biāo)作為頻率軸，橫坐標(biāo)雖采用對數(shù)分度，但以 的實際值標(biāo)定，單位為rad/s(弧度/秒)。所以橫坐標(biāo)的最小值是大于零的任意實數(shù)。橫坐標(biāo)的起點可根據(jù)實 際所需的最低頻率來決定畫對數(shù)頻率特性曲線時，必須掌握對數(shù)刻度的概念。盡管在坐標(biāo)軸上標(biāo)明的數(shù)值是實際的值，但坐標(biāo)上的距離卻是按值的常用對數(shù)lg 來刻度的。坐標(biāo)軸上任何兩點1和2 (設(shè)21)之間的距離為lg 2 lg 1,而不是 21。橫坐標(biāo)上若兩對頻率間距離相同，則其比值相等。頻率 每變化10倍稱為一個十倍頻程，記作dec。每個dec沿橫坐標(biāo)走過的間隔為一個單位長度， 如圖5.14所示。由于橫坐標(biāo)按的對數(shù)分度，故對

34、而言是不均勻的，但對lg 來說卻是均勻的線性刻度。對數(shù)幅頻特性圖的縱軸是將A )取常用對數(shù)，并乘上 20倍，使其變成對數(shù)幅值L()，即L( ) 201gA()稱為對數(shù)幅值，單位是 dB(分貝)。幅值A(chǔ)()每增大10倍，對數(shù)幅值L()就增 加20dB。由于縱坐標(biāo)L()已作過對數(shù)轉(zhuǎn)換，故縱坐標(biāo)值是線性刻度的。對數(shù)相頻特性圖的縱坐標(biāo)為相角()，單位是度，采用線性刻度。Bode)圖，如圖對數(shù)幅頻特性與對數(shù)相頻特性合起來稱為頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖，又稱波德( 5-14所示。為了方便直觀比較起見，兩張圖上下對齊。L( dB40200.1 0.20.52510十倍頻程(dec)2050100-20rad/s-

35、40180900.10.5102050100G)十倍頻程(de©rad/s-90O1-180 0-圖5-14 Bode圖坐標(biāo)系頻率特性的Bode圖表示具有如下優(yōu)點：1)可將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除轉(zhuǎn)化為幅值的加、減，從而簡化了計算和作圖過程；2)可用近似方法作圖。先分段作出對數(shù)頻率特性的漸近線，再用修正曲線對漸近線進行修正；3)可分別作出各典型環(huán)節(jié)的波德圖，再用疊加的方法得出系統(tǒng)的波德圖，并由此可看出各環(huán)節(jié) 對系統(tǒng)總特性的影響；4)由于橫坐標(biāo)采用對數(shù)刻度，將低頻段相對展寬了(低頻段頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意義)，而將高頻段相對壓縮了?？梢栽谳^寬的頻段范圍中研究系統(tǒng)

36、的頻率特性。5.3.2 典型環(huán)節(jié)的Bode圖(1)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的頻率特性是G(j ) K對數(shù)幅頻特性L( ) = 20lg G(j ) 20lg K對數(shù)相頻特性 () G(j ) 0分析可知，比例環(huán)節(jié)頻率特性的幅值和相角均不隨3變化，故其對數(shù)幅頻特性為一水平線，而對數(shù)相 頻特性恒為0o,如圖5-15所示。(2)積分環(huán)節(jié) 一一11積分環(huán)節(jié)的頻率特性是G j j-j1對數(shù)幅頻特性L( ) 20lg201g對數(shù)相頻特性()90一 ,1當(dāng) 3=1 時，L( ) 201g 0dB,( )901當(dāng) 3=10時1( ) 201g 20dB ,( )90可見，積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條過點(1, 0)的

37、直線，其斜率為 20dB/dec (dec表示倍頻程，即橫坐標(biāo)的頻率由3增加到103),即頻率每擴大10倍，對數(shù)幅頻特性下降 20dB。對數(shù)相頻特性恒為一條90o的水平線，如圖5-16所示。圖5-16積分環(huán)節(jié)的Bode圖(3)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性是G j j對數(shù)幅頻特性L( ) 201g對數(shù)相頻特性()90。當(dāng) 3= 1 時，L( ) 201g 0dB ,( ) 90 ；當(dāng) 3 =10 時，L( ) 201g 20dB,( ) 90可見，微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性是一條過點（1大10倍，對數(shù)幅頻特性上升20dB。對數(shù)相頻特性恒為0）的直線，其斜率為20dB/dec ,即頻率每擴+90。,如圖

38、5-17所示。圖5-17微分環(huán)節(jié)的Bode 圖（4）慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性是對數(shù)幅頻特性L()_20lg，1T2 2,對數(shù)相頻特性()arctanT當(dāng)3?1"時,當(dāng)3?1"時,0dB,即對數(shù)幅頻特性在低頻段近似為0dB水平線，稱為低頻漸近線。20lgTcodB,即對數(shù)幅頻特性在高頻段近似為斜率等于-20dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。低頻漸近線與高頻漸近線在3 = 記為3 T。1/T處相交，稱3= 1/T的頻率為轉(zhuǎn)折頻率,當(dāng) 3= 0 時，（）=0。，當(dāng)）=450,當(dāng) 3 8 時，（）90。對數(shù)相頻特性是一條反正切函數(shù)曲線，所以相位曲線關(guān)于450彎點是斜對稱的。慣性

39、環(huán)節(jié)的Bode圖如圖5-18。圖5-18慣性環(huán)節(jié)的Bode圖(5) 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 G j 1 jT ,它與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)。因此，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別以橫坐標(biāo)軸互為鏡像對稱。一階微分環(huán)節(jié)用低頻、高頻漸近線描繪的波德圖如圖5-19所示。圖5-19 一階微分環(huán)節(jié)的 Bode圖(6)二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為G(jj2 T1e.(1 T2 2)2 (2 T )2j arctan 2 T 21 (T )對數(shù)幅頻特性L( ) -20lg 弋1T2 2 2 (2 T )2對數(shù)相頻特性()=arctan與： 1-T2 2當(dāng)3?1&

40、quot;時,當(dāng)3?1"時,)0dB,即對數(shù)幅頻特性在低頻段近似為0dB水平線，稱為低頻漸近線。)-40lgTcodB,即對數(shù)幅頻特性在高頻段近似為斜率等于-40dB/dec的直線，稱為高頻漸近線。低頻漸近線與高頻漸近線在3 =、一11/T處相交，稱T的頻率為振蕩環(huán)節(jié)的 轉(zhuǎn)折頻率。當(dāng) 3= 0 時，()=00,當(dāng)t ；時，()=90。，當(dāng)當(dāng) 300時，()一一180。對數(shù)相頻特性也是一條反正切函數(shù)曲線,相位曲線關(guān)于-90o的彎點是斜對稱的，不同的所對應(yīng)的曲線也不同，如5-20所示。20-180o02468 100.20.4 0.6 0.8 1.03 / CO n0.15-20二階振蕩

41、環(huán)節(jié)的Bode(7)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為G j1 T2 2 j2它與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)。因此，二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性分別以橫坐標(biāo)軸互為鏡像對稱。二階微分環(huán)節(jié)用低頻、高頻漸近線描繪的波德圖如圖5-21所示。(8)延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的頻率特性是G(j ) e對數(shù)幅頻特性L( ) 20lg10對數(shù)相頻特性（）。分貝線，對數(shù)相頻特性隨的增加而線性增加，在半對數(shù)坐標(biāo)分析可見，對數(shù)幅頻特性恒為 圖上則是一條曲線，如圖 5-22所示。圖5-22延遲環(huán)節(jié)的Bode圖由以上舉例，可將典型環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性及其漸近線的特點對照圖5-23歸納如下：比例環(huán)節(jié)的幅值為平

42、行橫軸的直線，其相位為0。線，與 無關(guān)；積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的幅值為過（1, j0）點，斜率分別為20dBl/dec,對稱于橫軸的直線。相位分別為 90。，與 無關(guān)；慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)的幅值低頻漸近線為0分貝線，高頻漸近線斜率分別為：±20dB/dec,轉(zhuǎn)角頻率為 T，對稱于橫軸。相位在 0 90范圍內(nèi)變化。曲線斜對稱于彎點（ t ,45 ）；振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)幅值的低頻漸近線為0分貝線，高頻漸近線的斜率分別為40dBzdec,轉(zhuǎn)角頻率為 對稱于橫軸。相頻特性在 0 180范圍內(nèi)變化，并斜對稱于彎點（T,90 ）；延時環(huán)節(jié)的幅值為0分貝線，相位隨成線性變化。巨r(nóng) dB21809

43、04504590180圖5-23典型環(huán)節(jié)對數(shù)頻率特性利用漸近線繪制伯德圖的步驟如下：將傳遞函數(shù) G (s)化為由典型環(huán)節(jié)組成的形式;令s j ,求得G(j );找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，作各環(huán)節(jié)的漸近線；修正漸近線，得精確曲線；將各環(huán)節(jié)的幅值相加，得系統(tǒng)幅值曲線；作各環(huán)節(jié)相位曲線，然后相加得系統(tǒng)相位曲線。10例5-6試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 G (j )的對數(shù)坐標(biāo)圖。10s 1解：由開環(huán)傳遞函數(shù)可得系統(tǒng)的頻率特性為G (j ) ，1 j101分析可知該系統(tǒng)由一個比例環(huán)節(jié)和一個慣性環(huán)節(jié)組成，慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率T 0.1。10分別作出比例環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖，然后進行疊加，得

44、到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖，如圖 5-24所示。例5-7試?yán)L制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為10s(0.1s 1)的對數(shù)坐標(biāo)圖。解：系統(tǒng)的頻率特性為G (j )10j (1 j0.1 )1此系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率T 10o0.1系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性為 L ( ) 201g10 201g20lg<1 0,01 2系統(tǒng)的對數(shù)相特性為()90 arctg (0.1 )在低頻段(亦稱對數(shù)幅頻特性的首段)，系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)和分環(huán)節(jié)構(gòu)成，在3= 1處，L(co)=201g10=20dB,當(dāng)3= 10時，系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線發(fā)生轉(zhuǎn)折， 斜率由20dB/dec變?yōu)?

45、0dB/dec。系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性可采用各環(huán)節(jié)分別繪制，然后疊加的方法得到。最后作出的系統(tǒng)波德圖如圖 5-25所示。通過上面舉例可以作總結(jié)如下：繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性，通常只需畫出漸近特性，繪制方法有兩種。方法一是分別繪出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性，然后疊加，可得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性。方法二是按下面步驟進行1）在半對數(shù)坐標(biāo)紙上標(biāo)出縱軸和橫軸的刻度；2）將G （j ）轉(zhuǎn)化為若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性相乘（或相除）的標(biāo)準(zhǔn)形式，要求慣性、一階微分、振蕩和二階微分環(huán)節(jié)的常數(shù)項均為1;3）找出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率；4）計算20lg K , K為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)；5）在3= 1處找出縱坐標(biāo)等于 201

46、g K的點“A”；過該點作一直線，其斜率 20 dB/dec, 為系統(tǒng)的型次；該線段直到第一個轉(zhuǎn)折頻率ti對應(yīng)的地方。若T1 1 ,則該直線的延長線經(jīng)過“A'點。6）以后每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次漸近線的斜率：遇到慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加-20dB/dec ;遇到一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加+20dB/dec;遇到振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加-40dB/dec ;遇到二階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率增加+40dB/dec。直至經(jīng)過所有各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，便得到系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性。方法二常被采用。繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性時，也有兩種方法。一是先繪出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，

47、然后將它們的縱坐標(biāo)代數(shù)相加，就可以得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性同。另一種方法是利用系統(tǒng)的相頻特性表達式，直接計算出不同數(shù)值時所對應(yīng)的相位角，通過描點法用光滑曲線連接，得到開環(huán)對數(shù)相頻特性。在工程分析與設(shè)計中，幅頻特性曲線L（）與 軸相交的頻率c （稱為穿越頻率或截止頻率）和（c）,是分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵。例5-8若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) 100.5S 0一，試?yán)L制該系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖，并求相角s(s 1)(0.05s 1)(c)。解：系統(tǒng)的頻率特性為G (j )10(1 j0.5 )j (1 j )(1 j0.05 )此系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)和兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折

48、頻率如下:1 1T1 1' T2 0.5系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的繪制：2,T30.0520-20dB/dec。當(dāng)3= 1時，L ()=20lgK = 20lg10 = 20dB,積分環(huán)節(jié)的特性曲線經(jīng)過該點，斜率為在3= 1時，慣性環(huán)節(jié)作用，特性曲線由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec。s 1在3= 2時，一階微分環(huán)節(jié) 0.5s 1作用，特性曲線由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec。1在3= 20時，慣性環(huán)節(jié) 作用，特性曲線由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec。0.05s 1系統(tǒng)對數(shù)相頻特性的繪制:由開環(huán)相頻特性()90 arctg (0.5 ) arctg arctg (0

49、.05 )分別計算出 (1)、 (2)、(5)、(10)、(20)值，再用光滑曲線連接，得到開環(huán)對數(shù)相頻特性。該系統(tǒng)的對數(shù)坐標(biāo)圖如圖5-26所示。求穿越頻率c，計算相位角 (c)：因為L (=0dB,或A (coc)= 1 ,同時考慮到GJc> WT1,wc> COT2 及Wc<S3,對于WT1和WT2來說，c屬于高頻段，取高頻漸近線；對于COT3來說，如屬于低頻段，取低頻漸近線。10(0.5 c 0) c( c 0)(0 1)所以有A ( c)5) arctg 5 arctg(0.05 5)114.5解之得c= 5s 1,則(c)90 arctg(0.5圖5-26例5-8的

50、Bode圖5.4控制系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的Bode圖在前面幾節(jié)中，主要討論了開環(huán)頻率特性。在控制系統(tǒng)的分析與計算中，有時也需要直接研究系 統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性。 通過討論系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與閉環(huán)頻率特性之間的關(guān)系，進而估計系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性是研究控制系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的有效方法。5.4.1 由開環(huán)頻率特性估計閉環(huán)頻率特性設(shè)有單位反饋控制系統(tǒng)，如圖 5-27所示。Xi (j 3)Xo(j 3 ) Gk (j 3) +不_圖5-27單位反饋控制系統(tǒng)其閉環(huán)頻率特性 GB(j )與開環(huán)頻率特性 GK(j )之間關(guān)系為GbG ）Xo（j ） GK（j）Xi（j ）1 G£j ）顯然，閉環(huán)幅頻特性 Ab()與

51、閉環(huán)相頻特性B()可用下式表不AB（ ） =GB（j ）|GK（j）_1 Gk（j ）B（ ） =G B（j） GK（j ） 1GK（j）將逐點取值，可分別計算出閉環(huán)幅頻特性AB()與閉環(huán)相頻特性B()，作出AB()3和B( ) 3圖，如圖5.28所示。A B（ co）圖5-28閉環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性圖當(dāng)系統(tǒng)為非單位反饋系統(tǒng)時，其閉環(huán)頻率特性為 G (j)Xo(j ) G (j )- G (j ) H (j )1B Xi(j )1 G (j ) H (j )1 G (j ) H (j ) H (j )不難看出，對于非單位反饋系統(tǒng)，可將其看成前向通道傳遞函數(shù)是G s H s的單位反饋環(huán)節(jié)與11一串聯(lián)即可。H (j )一般實用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性具有低通濾波的性質(zhì)，即低頻時，GK(j )?1, GK(j )與1相比，1可忽略去