初中幾何常用輔助線專題

1、初中幾何常見輔助線做法一、三角形常見輔助線做法方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將 中線加倍；含有中點(diǎn)的題目，常常做 三角形的中位線，把結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移例1、如圖5-1 : AD為AABC的中線，求證：AB+AO2AD ?！痉治觥浚阂C AB+AO2AD,由圖想到： AB + BD >AD,AC +CD >AD,所以有BD + CD ,故不能直接證AB+AC+ BD+CD >AD+AD =2AD ,左邊比要證結(jié)論多出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證 的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。證明：延長 AD至E ,使DE=AD ,連接BE ,則AE =2AD.AD為4A

2、BC的中線 （已知） .BD=CD（中線定義）在4ACD和4EBD中BD CD （已證）ADCEDB（對頂角相等）AD ED （輔助線的作法） .ACD AEBD（SAS） .BE=CA （全等三角形對應(yīng)邊相等）vftA ABE中有：AB + BE>AE （三角形兩邊之和大于第三邊） . AB +AO2AD 0例2、如圖4-1 : AD為AABC的中線，且/ 1=/2, Z 3Z4,求證：BE +CF>EF證明：延長ED至M ,使DM=DE ,連接 CM , MF。在 BDE 和ACDM 中,BD CD（中點(diǎn)的定義）1 CDM （對頂角相等）ED MD（輔助線的作法） .BDE A

3、CDM(SAS)又:/ 1=/2, /3 = /4 (已知)/ 1 + / 2 + / 3 + / 4 = 180（平角的定義）. / 3 + /2=90，即：/ EDF =90 ./FDM=/EDF =90°在ZXEDF和4MDF中ED MD （輔助線的作法）EDFFDM （已證）DF DF （公共邊）.EDF AMDF (SAS). EF = MF （全等三角形對應(yīng)邊相等）vftACMF中，CF+CM>MF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE +CF>EF【備注】：上題也可加倍FD ,證法同上。當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)2可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使

4、題中分散的條件集中例3、如圖3,在四邊形 ABCD中，AB=CD , E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：/ BGE= / CHE。證明：連結(jié)BD ,并取BD的中點(diǎn)為M ,連結(jié)ME、MF ,.ME是ABCD的中位線， .MECD , ./ MEF= / CHE ,.MF是AABD的中位線， .MFAB , ./ MFE= / BGE , . AB=CD , M ME=MF , . . / MEF= / MFE ,從而/ BGE= / CHE 。方法2 :含有角平分線的題目，利用角平分線的性質(zhì) 做垂線，或構(gòu)造出全等三角形 例 4、如圖 2-1 ,已知

5、AB>AD, /BAC= / FAC,CD=BC 。求證：/ ADC+ /B=180分析：可由C向/ BAD的兩邊作垂線。近而證/ ADC與/ B之和為平角。圖2-1例 5、已知：如圖 3-1 , /BAD= /DAC , AB>AC,CD ±AD于D , H是BC中點(diǎn)。求證：DH= 1 (AB-AC )2【分析】：延長CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證例 6、已知：如圖 3-2, AB=AC , /BAC=90 , BD 為/ABC 的平分線，CE ±BE.求證：BD=2CE 。【分析】：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長此垂線與

6、另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。方法3 :證明兩條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用 截長法或補(bǔ)短法例 7、如圖 2-2 ,在4ABC 中，/ A=90° , AB=AC , / ABD= / CBD。求證：BC=AB+ADD【分析】：截長法：在BC上取BE=AB,連接DE,證明AABD AEBD ,則AD=DE=CE,結(jié)論可證 補(bǔ)短法：延長BA至ij F,使BF=BC,連接DF,證明 BCD Ag /F=/C=45 0 , AF=AD,結(jié)論可證例8:已知如圖6-1 :在4ABC中，AB>AC, /1=/2, P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AOPB-PCo【分析】：要證：

7、ABAC>PBPC,想到利用三角形三 邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差 小于第三邊,從而想到構(gòu)造第三邊 AB AC ,故可在 AB上截取AN等于AC ,得AB AC=BN, 再連接 PN?則 PC = PN,又在4PNB 中，PB-PN<BN,即：AB -AC >PB-PC0證明：（截長法） 在AB上截取 AN=AC連接PN , 在4APN和4APC中AN AC（輔助線的作法）12（已知）AP AP（公共邊）.APNAAPC （SAS）PC = PN （全等三角形對應(yīng)邊相等）在4BPN中，有 PB-PN<BN （三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC&l

8、t;AB-AC證明：（補(bǔ)短法） 延長AC至M ,使AM =AB ,連接PM ,在4ABP和4AMP中AB AM （輔助線的作法）:12（已知）AP AP（公共邊）.ABPAAMP (SAS)PB = PM （全等三角形對應(yīng)邊相等）又在4PCM中有：CM >PM PC（三角形兩邊之差小于第三邊） .AB -AOPB-PCo二、梯形常用輔助線做法通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問題的 基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見的幾種輔助線的作法 如下：作法平移腰，轉(zhuǎn)化為三 角形、平行四邊形平移對角線。轉(zhuǎn)化 為三角形、平行四 邊形。圖形延長兩腰

9、，轉(zhuǎn)化為 三角形。作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。例 1.如圖所示，在直角梯形 ABCD 中，/ A = 90 ° , AB / DC , AD =15 , AB = 16 ,BC = 17.求CD的長.解：過點(diǎn)D作DE / BC交AB于點(diǎn)E.又AB / CD ,所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以 DE=BC = 17, CD = BE.在RtzXDAE中，由勾股定理，得AE2=DE2 AD2,即 AE2 = 172 152 = 64.所以AE=8.所以 BE =ABAE = 16 8 = 8.即 CD =8.例 2、如圖，在梯形 ABCD 中，AD/BC , / B + / C=9

10、0 ° , AD=1 , BC=3 , E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長。解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H,可得/ EGH + / EHG= ZB + Z C=90 °則4EGH是直角三角形因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)11.所以 EFGH (BC BG CH )221 (BC21 (BC2DE)1AE DE) 一 BC (AE21AD) -(3 1) 1例3、已知：梯形ABCD 中，AD/BC , AD=1 , BC=4,BD=3 , AC=4 ,求梯形 ABCD的面積.解：如圖，作DE /AC,交BC的延長

11、線于E點(diǎn). AD / BC四邊形ACED是平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5,DE=AC=4.在ADBE 中，BD=3 , DE=4,BE=5丁. / BDE=90作DH，BC于H ,則DHBDEDBE125(AD BC) DHS梯形ABCD2125 526,例4、如圖，在梯形 ABCD中，AD/BC/ C=80求CD的長。解：延長BA、CD交于點(diǎn)Eo在ABCE 中，/ B=50 0 , / C=80所以/ E=50,從而BC=EC=5 ,同理可得 AD=ED=2所以 CD=EC ED=5 -2=3例5、如圖，在直角梯形 ABCD中，AB/DC , / ABC=90 °

12、; , AB=2DC ,對角線 A C±BD ,垂足為F,過點(diǎn)F作EF/AB ,交AD于點(diǎn)E ,求證：四邊形 ABFE是等腰梯形。證：過點(diǎn)D作DG XAB于點(diǎn)G,則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG 。因?yàn)?AB=2DC ,所以 AG=GB。從而 DA=DB ,于是/ DAB= / DBA。又EF/AB ,所以四邊形ABFE是等腰梯形。例6、如圖，在梯形 ABCD中，AD為上底，AB>CD ,求證：BD>AC 。證：作AE，BC于E,作DF，BC于F ,則易知AE=DF 。在 RtABE 和 RtADCF 中，因?yàn)?AB>CD , AE=DF。所以由勾月

13、63;定理得BE>CF。即BF>CE 。在 RtABDF 和 Rt CAE 中由勾股定理得BD>AC例7、如圖，在梯形ABCD中，AB/DC , O是BC的中點(diǎn)，/ AOD=90 ° ,求證： AB+CD=AD 。證：WAD的中點(diǎn)E,連接OE ,則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而 OE= 1 (AB +CD) 2在4AOD 中，/AOD=90 ° , AE=DE ，一 1 一所以O(shè)E 1AD 2由、得AB+CD=AD 。例8、在梯形ABCD中，AD / BC , / BAD=90 °, E是DC上的中點(diǎn)，連接 AE和BE,求證：/ AEB=2

14、 /CBE。解：分別延長AE與BC ,并交于F點(diǎn)/ BAD=90 ° 且 AD / BC ./FBA=180 0 - Z BAD=90 0又AD / BC丁. / DAE= / F/AED= /FEC , DE=EC .ADE AFCE (AAS) AE=FE在 AABF 中/FBA=90 0 且 AE=FEBE=FE在4FEB 中 /EBF= / FEB/ AEB= / EBF+ / FEB=2 / CBE練習(xí)1、如圖,AB=CD , E 為 BC 的中點(diǎn)，/ BAC= / BCA ,求證：AD=2AE 。2、如圖, ABC 中，BD=DC=AC , E 是 DC 的中點(diǎn),求證:AD 平分/ BAE.3、如圖,AC / BD , EA,EB 分別平分/ CAB, Z DBA ,D過點(diǎn)E,求證;AB =AC+BD4、如圖所示，已知等腰梯形 ABCD中