參數(shù)方程練習(xí)題

1、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)X,)，都是某個(gè)變數(shù)/的 函數(shù)卜，并且對于/的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)都在這條 J = g(f)曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)X,)，的變數(shù)f叫做參變數(shù)， 簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消去參 數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)X,)，中的一個(gè)與參數(shù)/的關(guān)系，例如 = /(/),把它代入普通方程, 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y = g(r),

2、那么" =就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方y(tǒng) = g(f)程與普通方程的互化中，必須使蒼)，的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌 跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù) 方程的形式也不同。例5：將下列數(shù)方程化成普通方程.Y = 一。為參數(shù))，.y =2為參數(shù)）, 2t1 + rx = ，）'=1"1+J （f為參數(shù)）, It1+r< x = COs2/為參數(shù)），+cos。，（8為參麴y = sin 6y = 1 + cos%.3 .圓的參數(shù)設(shè)圓。的半徑為，點(diǎn)M從初始位置出發(fā)，按逆

3、時(shí)針方向在圓0上作勻速圓周*運(yùn)動(dòng)，設(shè)M*"，），則為參數(shù)）。 y = rsin這就是圓心在原點(diǎn)。，半徑為廣的圓的參數(shù)方程，其中6的幾何意義是OM,轉(zhuǎn)過 的角度。圓心為（a,b）,半徑為廠的圓的普通方程是（x-t/）2 +（y-b）2 = r ,它的參數(shù)方程為：為參數(shù)）。4 .橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十二=1（4>>0）,其參 （C b'.數(shù)方程為"= "C°S"3為參數(shù)），其中參數(shù)夕稱為離心角；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 y = bsin（p程是工+:=1（4>/>0）,

4、其參數(shù)方程為JxicosQ泌參數(shù)），其中參數(shù)夕仍為離心角，通常 lry = asincp規(guī)定參數(shù)夕的范圍為。£0, 21）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)。的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和 這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角a區(qū)分開來，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即 在。到2乃的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)OWaW巳時(shí)， 2相應(yīng)地也有04夕4?,在其他象限內(nèi)類似。25,雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為二-二 cr b-其參數(shù)方程為了='"。-（9為參數(shù)），其中°£0,2）且夕工

5、63;產(chǎn)工工.y = btan（p22焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是4-4 = lG/>0,/7>0）,其參數(shù)方程為 'cr lr.X=bc3（P 、八 s . .r"（8為參數(shù)，其中ee（0,24）e且夕W/r.y = acsc（p以上參數(shù)8都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線y2 = 2px（p > 0）的參數(shù)方程為” = 2P產(chǎn)”為參數(shù)）y = 2 Pt7 .直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)（x0, y0）,傾斜角為aa W ；）的直線/的普通方程是y -凡=tan a（x- 4）,而過 2%&，%），傾

6、斜角為a的直線/的參數(shù)方程為9='o+ZCOSa （,為參數(shù)）。 y =兒 +/sinfz注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)M）（x。,），。），傾斜角為夕的直線/的參數(shù)方程為1=為參數(shù)），其中,表示直線/上以定點(diǎn)M。為起點(diǎn)，任一點(diǎn)y = y0+tsmaM （x, y）為終點(diǎn)的有向線段M）必的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)M在上方時(shí)，t >0;當(dāng)點(diǎn)M在刈下方時(shí)，V0;當(dāng)點(diǎn)仞與M。重合時(shí)，r=0o我們也可以把參數(shù)/理解為以均為原點(diǎn)，直線/向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的 點(diǎn)M的坐標(biāo)，其單位長度與原直角坐標(biāo)系中的單位長度相同。設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為小5，則|A目=%-。| =

7、5/4+/八)24,八 4 .線段AB的中點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)值等于仁士金.2橢圓X = "ose，(8為參麴的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.y = 3sin8.1x = t + -，雙曲線(: (t為參數(shù))的離心率是.15.曲線，X = "c°sa(以參麴上的點(diǎn)與定點(diǎn)A(7,7 )距離的最小值是.y = sin。.1 6.已知4x?+9y，=36 ,則2x-VJy的最小值是.17.點(diǎn)M(x,y)在橢圓號(hào)+二=1上，貝I點(diǎn)M到直線x + y-4 = 0的最大距離為,此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是.例1.討論下列問題：1 已知一條直線上兩點(diǎn)Af2(x2,y2),以分點(diǎn)M (x, y)分M1場 所成的比

8、之為 參數(shù)，寫出參數(shù)方程。x 3 t2、直線 2代為參數(shù))的傾斜角是y = 1 + rC 2? B- T C* ? D- T3、方程X = ? + '8S。6為非零常數(shù)，。為參數(shù))表示的曲線是 I y = 3 + /smaA.直線B.圓C.橢圓D.雙曲線4、已知橢圓的參數(shù)方程是Ze。，。（J為參數(shù)）, y = 4sin6則橢圓上一點(diǎn)P?, -2。的離心角可以是A- y B- t c- t例2把彈道曲線的參數(shù)方程X = % COS6Z 八小?；善胀ǚ匠?例4.直線3x-2y + 6=0,令y=tx +6 （t為參數(shù)）.求直線的參數(shù)方程.例5.已知圓錐曲線方程是x = 3f+ 5cosp

9、+ 1y = -6r +4sin ( -5（1）若t為參數(shù)，。為常數(shù)，求該曲線的普通方程，并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（2）若。為參數(shù)，t為常數(shù)，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例6.在圓x2+2x + y2=0上求一點(diǎn)，使它到直線2x + 3y-5=o的距離最大.例7.在橢圓4x?+9y2=36上求一點(diǎn)P,使它到直線x + 2y + 18=0的距離最短（或最 長）.例8.已知直線；I:二,與雙曲線（y-2）2-x2=1相交于A、B兩點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)P（T,2）o 求:（1） |PA|.|PB|的值； （2）弦長|AB|;弦AB中點(diǎn)M與點(diǎn)P的距離。例9.已知A （2,0）,點(diǎn)B,C在圓x2+y2

10、=4上移動(dòng)，且有求mbc重心G的軌 跡方程。例10.已知橢圓工十二=1和圓x?+（y-6） J5,在橢圓上求一點(diǎn)Pi,在圓上求一點(diǎn)P2,使 328|PR|達(dá)到最大值，并求出此最大值。例11.已知直線I過定點(diǎn)P（-2,0）,與拋物線C: x2+y-8=0相交于A、B兩點(diǎn)。（1）若 P為線段AB的中點(diǎn)，求直線I的方程；（2）若I繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的方程.例12.橢圓二十二=1（>>0）上是否存在點(diǎn)P,使得由P點(diǎn)向圓x?+y2方所引的兩條 a b切線互相垂直若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。四、全國歷屆高考試題選編：1 .設(shè)a/e R,/+2尸=6,則a + Z?的最小

11、值是（）A. -272 B.9 C. -3 D.- 322 .在極坐標(biāo)系中，圓心在（我，力且過極點(diǎn)的圓的方程為（）A. p = 2/2 cosB.C. p = 2-72 sin D. /=-2/2iin6、13 .極坐標(biāo)方程p =cos 9與p cos 9 =-的圖形是（）4 .極坐標(biāo)方程p 2 c o s 2 0 = 1所表示的曲線是（）A.兩條相交直線 B.圓 C.橢圓 D.雙曲線5 .在極坐標(biāo)系中，直線I的方程為psin0=3,則點(diǎn)（2, n/6）到直線I的距離 為.6 .點(diǎn)p（i,o）到曲線卜='（其中參數(shù)fwR）上的點(diǎn)的最短距離為（）'=2f(A) 0(B) 1(C)

12、 V2 (D) 27 .在平面直角坐標(biāo)系宜為中，直線/的參數(shù)方程為、='+ 3（參數(shù)飛2，圓。的參數(shù)方程 U = 3t為x = 2cos,（參數(shù)%0,2沖，則圓。的圓心坐標(biāo)為,圓心到直線/的距y = 2sin8 + 2離為.8 .。1和。2的極坐標(biāo)方程分別為Q = 4cos6, p = -4sin .（I ）把。01和。2化為直角坐標(biāo)方程；（II）求經(jīng)過。01, 002交點(diǎn)的直線的直角坐 標(biāo)方程.五、模擬試題選編：1.在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A （1,）和8（2，），則A、8兩點(diǎn)間的距離是.442 .將極坐標(biāo)方程0 = cos（J-8）化為直角坐標(biāo)方程是.3 .在極坐標(biāo)系中，過圓P= 4c

13、os6的圓心，且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程 為.4 .在極坐標(biāo)系中，圓夕=2上的點(diǎn)到直線夕（cos6 + >/5sine）=6的距離的最小值是.5 .在極坐標(biāo)系中，圓p =cos 8與直線p cos 9 =1的位置關(guān)系是 .6 .橢圓 = ：c°s：的離心率是y = 4sin14.在極坐標(biāo)系中，曲線0 = asin6與0 = acos。（a>0, p>0,0<0 <tt ）的交點(diǎn)的極坐 標(biāo)為14.在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（2四，作圓0 = 4sin8的切線，則切線的極坐標(biāo)方程14.極坐標(biāo)方程p = cose和參數(shù)方程二T一 （/為參數(shù)）所表示的圖形分別是下列

14、圖 .形中的（依次填寫序號(hào)） *.直線；圓；拋物線；橢圓；雙曲 線.【答案】;.1.若直線I的參數(shù)方程為x = 1 + 3t, y=2-4t.（t為參數(shù)），則直線I的傾斜角的余弦值為（B）C.4D- 52 .已知?jiǎng)訄A方程x?+y2xsin2 8+2啦ysin（8+?。?0 （0為參數(shù)），那么圓心 的軌跡是（D）A.橢圓 B.橢圓的一部分 C.拋物線D.拋物線的一部分3 .在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2, ?）到圓p =2cos 0的圓心的距離為（D）A. 24.在極坐標(biāo)方程中，曲線C的方程是p =4sin9 ,過點(diǎn)（4,；）作曲線C的切線, o則切線長為（C ）A. 4x = 2 + cos 05.若直

15、線I: y = kx與曲線C:y = sin 9數(shù) k=( C )（0為參數(shù)）有唯一的公共點(diǎn)，則實(shí)A.當(dāng) B.C. ±乎 D.小 000x = a + 2cos 06如果曲線C:a+2sine（0為參數(shù)）上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（C ）A. （一2啦，0） B. （0,2啦）C. （一2啦,0） U （0, 22） D. （1,22）7 .在極坐標(biāo)系中，直線 1 的極坐標(biāo)方程為p (2cose +sin0)=2,直線I2的參數(shù)x = 1 2t方程為 C 一 (t為參數(shù))，若直線II與直線I2垂直，則卜=. -1y = z + ktx = 2cos 08

16、.已知定點(diǎn)A（1,0）, F是曲線（8ER）的焦點(diǎn)，則AF =y = 1+cos2 99 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已 知曲線C的極坐標(biāo)方程為pcos(0 -y)=1, M、N分別為曲線C與x軸、y軸的交 點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)的極坐標(biāo)為x = 3cos 610 . （10 分）已知曲線 C:j，直線 I: p （cos0 -2sin0）=12.Ly = 2sin 0將直線I的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，求點(diǎn)P到直線I的距離的最小值.11. (15分)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系x

17、Oy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，以x 軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為p =2/5sin9.(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；x?+(y十尸=5.(2)設(shè)圓C與直線I交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,、必，求|PA| + |PB|. 3小.12 .在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為x=/3cos a,”（a為參數(shù)）._y = sin a (1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(4, y),判斷點(diǎn)P與直線I的位置關(guān)系；P在 直線I(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線I的距離的

18、最小值.也13 .在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為卜T+/c°sa.為參數(shù)，白0,為'為,以 原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 p = 2/?sin j 夕+ ? |.(1)求直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C和直線/交于A,8兩點(diǎn)，且k目="，求tana的值.14 .已知曲線C的極坐標(biāo)方程為：p' -2pcos + 4/?sin + l = 0 ,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為X軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線/經(jīng)過點(diǎn)P (-1, 1)且傾斜角為 3(I)寫出直線/的參數(shù)方程和曲線C的普通方程；(II)設(shè)直線/

19、與曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，求 心卜閥的值15 .的參數(shù)方程尸= l + cosp3為參數(shù))，以。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極 y = sin (p坐標(biāo)系，(1)求圓C的極坐標(biāo)方程，(2)射線OM：e =色與圓C的交點(diǎn)為QP兩點(diǎn)，4求點(diǎn)尸的極坐標(biāo)。六、13 14高考題13. 2014 天津卷在以0為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓p=4sin 8和直線psin 3 =a相交于4 B兩點(diǎn)、.若478是等邊三角形，則a的值為. 3 4. 2014 安徽卷以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極x= t+ 1 , 坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線/的參數(shù)方程是c （ty= t

20、-3為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是q=4cos 8,則直線/被圓C截得的弦長為（D ）8. 2714 D. 2啦x= 1+cos 0,3. 2014 北京卷曲線彳八 （8為參數(shù)）的對稱中心（B ）,y=2 + sm 0A.在直線y=2x上 B.在直線y=-2x上C.在直線p=x1上 D.在直線 y= x+1 上3 2121. 2014 福建卷已知直線/的參數(shù)方程為 一 '（七為參數(shù)），圓C的參 y=-4tx=4cos 8,數(shù)方程為八（6為參數(shù)）.y=4sn 0（1）求直線/和圓C的普通方程；2x-v 2a=0,V+" = 16.（2）若直線/與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

21、一 2鄧 S2小.14. 2014 廣東卷在極坐標(biāo)系中，曲線G和G的方程分別為Qsin2®=cos 8和 Qsin 8 = 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直 角坐標(biāo)系，則曲線G和G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.（1, 1）16. 2014 湖北卷已知曲線G的參數(shù)方程是如（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為13 、極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是0=2,則G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.（3, 1）11 . 2014 湖南卷在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為/的直線/與曲線C： x=2 + cos a,（a為參數(shù)）交于4 8兩點(diǎn)，且|48|=2.以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)

22、，xy= 1+sin a軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線/的極坐標(biāo)方程是. pcos 8 一 psin 8 = 111. 2014 江西卷若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系，則線段y=1 x（0WxW1）的極坐標(biāo)方程為（A ）1n1nA. p ° I -0W 8 B. p Q ;0W 8 Wcos 8 + sin 62cos 8 + sin 04n.nC. p =cos 6 + sin 0, OW 8W 5 D. p =cos 8 + sin 8, OW 8W123. 2014 遼寧將圓M+/ = 1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? 倍，得曲

23、線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線/： 2x+y 2=0與C的交點(diǎn)為月，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段戶出的中點(diǎn)且與/垂直的直線的極坐標(biāo)方程.X'=' cos t'(t 為參數(shù)).2 P cos 6 4 p s i n 6 = - 3,即 p = y=2sin t34s i n 0 -2cos 夕V /x=2+1,23. 2014 新課標(biāo)全國卷I 已知曲線C: ：+'=1,直線/:-八(t為參4 vy=2 2t數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線/的普通方程；2x+y 6=0(2)過曲線C上任意一 點(diǎn)P作與/夾角為30

24、76;的直線，交/于點(diǎn)力，求|以|的最大值與最小值.芻但.冬 23. 2014 新課標(biāo)II在直角坐標(biāo)系x勿中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極 軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為p=2cos 8, 8£0, y .(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)。在C上，C在。處的切線與直線/:卜=:*+2垂直，根據(jù)(1)中你得到的 參數(shù)方程，確定。的坐標(biāo).fx=1 +cos t,n n.(七為參數(shù)，OWtWn).。的直角坐標(biāo)為1+cos/，sin,即y=s n t,k J J/四15. 2014 浙江卷在極坐標(biāo)系 公中，設(shè)集合力=(0, 8) |0W 8W十，0WqWcOS 0,求集合4所表示區(qū)

25、域的面積；Tv + o- 10 ox= 4+ tcos-,在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/: （t為參數(shù)），曲線C:.n y= ts i n"X= 3cos 0 ,c .八（8為參數(shù)），其中a>0.若曲線C上所有點(diǎn)均在直線/的右下方，求y=2sin 0a的取值范圍.0VaV2小.15. 2014 陜西卷在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)2,；到直線psin 8 一二=1的距離是I 6 Jb ）. 1x=2+ t,15. 2014重慶卷已知直線/的參數(shù)方程為（亡為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)y=3+t為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 4cos8=0（q20, 0W82n）,則直線/與曲線C的公共點(diǎn)的極徑p =. 木x = 2s + 1,11. 2013 湖南卷在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線L:（s為參數(shù)）ly=sx = at, 和直線I2： 1 c ,（t為參數(shù)）平行，則常數(shù)a的值為. 4y = 2t-114. 2013 廣東卷已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p =2cos 9 .以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸 為X軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為.x = 1 +cos 9 , .八 （0為參數(shù)）y = sin 0 23. 20