高等數(shù)學(xué)第二章復(fù)習(xí)題及答案

1、高等數(shù)學(xué)習(xí)題集及解答 第二章一、 填空題1、設(shè) 在 x = 4 可導(dǎo)，則 iim/m + x) x)= DX2、設(shè)廣(3) = 2,則 lim3一)一八3)=。2/?3、設(shè)/=6；則 Hm”2i)T(2)=01 h4、已知/(x)= J(Xo)= 2,(OvXo vg)，則/(題)=1-sinx25、已知心，+廣.2 = 0,則當(dāng)經(jīng)=1、)，=1時(shí)，蟲(chóng) dx6、/(x) = xe) 則/(In 2)=。7、出口果y = 4x( 0)是y =犬+1的切線，貝U a =o8、若為奇函數(shù)，八%) = 1且，則/(-%) =9 /(x) =X(X + l)(X + 2)(x + )，則 /(。)=O1

2、0 y = ln(l + 3，),則=o11設(shè)/(玉)=-1,則 lim1。/（/一2幻一/（工7）19、C左導(dǎo)數(shù)不存在，右導(dǎo)數(shù)存在,設(shè)周期函數(shù)/(X)在(-00,40)內(nèi)可導(dǎo),y = fM(5,八5)周期為4,左右導(dǎo)數(shù)均不存在。/()=_,則曲2x線 斜 率 為T(mén)O,D -220、設(shè)函數(shù) / = (%-1)1cosX-1則實(shí)常數(shù)。當(dāng)/(X)在x = l處可導(dǎo)時(shí)必滿A a- ;B -lx0;C 0x21、已知奴x) = ,/一1ax + bA 2A 0時(shí)，該函數(shù)在x = 處的微分dy是Ax 2的（）A等價(jià)無(wú)窮??；B同階但不等價(jià)的無(wú)窮小；C低階無(wú)窮??；D高階無(wú)窮小。25、設(shè)曲線），=1和,，=

3、/在它們交點(diǎn)處兩切線的夾角為,則tane=（）XA -1； B 1； C 2： D 3 o26、設(shè)由方程組r = -l確定了 y是X的函數(shù)，則2|,。=（）te +y + l = 0dx-A 1; B -L； C -1; D - o2（re2e一、填空題的答案1 -1 -I 2 ff（a） 2、-1 ；3 e 2;4、5、76、6+21n2 7、28、1II 112、dy =dxsecy- -12216、 b1 = 4r/6二、選擇題答案：17、 A 18、 B21、 C22、 C25、 D26、 B9、n!10、-31 + 3713、-14、x-），= 015219、 D20、 A23、 A

4、24、 B三、綜合題：27、求曲線y = cwx上與直線x+y = 1垂直的切線方程。剖析：求曲線的切線議程關(guān)鍵有垂點(diǎn)，一是求切點(diǎn)，二是求切線斜線。解：設(shè)切點(diǎn)為（/九）則點(diǎn)“0.%）處的切線斜度為依題意知所求切線（）坐X+），= l垂直，從而_L = 1 Xo =1 利切點(diǎn)為（1、0）;切線（）為k = l.故所求切線方程為y-O = x-l即：y = x-l設(shè) f(x) = 則 lim 八2-，)-/(2)= 一o tc49、如果/1*)為偶函數(shù)，且廣(0)存在證明廣(0) = 0證明：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以/(-x) = /(x)從而/(0) = lim 人一/=lim 八-=r(0)

5、 f x-0-x-0/. ： 2/(0) = 0故/(0) = 028、討函數(shù)y = rsin7 在x = 0處方程連續(xù)性與可得 0 x = 0解：lim y = lim x2 sin = y(0),所以函數(shù)y在x = 0處連續(xù) DDx，2 . 1 x sin-又 lim - = lim- = lim xsin = 0A-0 x 0A-0 xX故函數(shù)y在x = 0處可導(dǎo)、值y” x = 0 .v=0t? X*029、已知 /(x)= 一求力(0) .匆二(0)2(0)是否存在一 x x v 0 .解:力(0)= lim /(、)_/=lim = 0 xtO* X-0 itO/ X/ (0) =

6、 hm-=lun =-1Ai)- x-0X故(0)不存在” r 乙 a sinx 30 已知 J(x)= xx0求，（X）解：當(dāng)X a吐r*)= i/；(0)=limr(x)=liml = lcosx從而 j（X）= x0所以：尸（0） = 131、證明：雙曲線孫= 2dx(1) y = f(x2)(2) y = f (sin x2) + /(cos2 x)解:(1 ) yf = fXx2)-2x = 2xfXx2)(2) y = /(sin? x)(sin2 x)f + ff(cos2 x)(cos2 x-/(sin，x)2sinxcosx- / /(cos2 x)2cosxsinx-sin

7、 2x/I(siii2 x)-/1(cos x2)37、設(shè)/(幻=山1(1 + 1產(chǎn),求人.)x提示：/v)=i。答案：r(/)=(i+2f)/38、求y = arcsin.導(dǎo)數(shù) 1 + r解：yr 2（1 +產(chǎn)）-2八 2f。十方1 +廣二 2(17)JU-?)? 1 + .3人二1 1+廣2， v 11 + r239、)，= /(/一刈,廠階可導(dǎo),求)嚴(yán)y = /() = fx2 -x)-(2x-l)y” = 2/，一幻 +(21)2(/7)40、設(shè) V、+1 + 6剖析：此類(lèi)函數(shù)直接求導(dǎo)，很難找出規(guī)律，先對(duì)x2 +5 + 6分解因式，再將又拆項(xiàng)，而后求導(dǎo)(x + 2)(x + 3) x

8、+ 2 x + 3, 1 1V = _H(x + 2/ (x + 3)2. =_12-V (x + 2)3 -(x + 3)3w 3.23.2v = +. (x + 2)4 (x + 3)4嚴(yán)=(*r + (- 1)7(x + 2)z(x + 3)川41、求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達(dá)式(l)y = sin2 x(2)y = xnx(3)y = xe解：、yf = sin 2xy = 2cos2x = 2sin(2x + y)yw = 22 cos(2x + ) = 2sin(2x + ) 22嚴(yán)=2f 2、+ (2)、)/ = 1 + In x vXJ4) _ 2嚴(yán)=當(dāng)亨 = 2,3(3)、

9、)， = +x =( + x)exy *=ex + ex + xex = (2 + x)eK)產(chǎn)=(3 + x)exyn =n + x)ex44、求曲線f = csj上對(duì)應(yīng)于/ =三點(diǎn)處的法線方程y = sin t6Ar, dy 3sin21 cost 解:一=；=-tanfdx 3cos，(一sinf)K、= - tan /1 T=叨廳Q33則K法=-Q當(dāng)r = *時(shí)x = 2y = L從而所求法線方程為881 _ (3 J3、y - = -v3(x-) ooy = V3x _ 145、設(shè)函數(shù)y = v(x)是由方程x- v + -sin y =。確定的求 2dx-解：將方程X-)，+ Is

10、in y = 0兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)有1 -+ ；cosyy，= 0得上手=鏟Jax 2 cosycl2y _ -2(2-cosy)/ _ 2sin y- yf _ 4sin ydx (2-cosy)2(2-cosy)2(cosy-2)346、求y =也1工塌111%二導(dǎo)數(shù)剖析：由于函數(shù)是根式私連乘，所以用對(duì)數(shù)示導(dǎo)法 解：將=，戶隊(duì)伍7取對(duì)數(shù)有In y = - In + In x + In In x 2x24再將上式兩法求導(dǎo)數(shù)1 r - In a 11.y = * +y2 廠2x 4xln x11 右，y /i lnrt i 、從而：y =（i +）2x x 21nx=+ 1）2xx2 In x47

11、、（相關(guān)變化率問(wèn)題是）設(shè)氣球以100cn?的速度，浸入氣球（假設(shè) 氣球是球體）求在半徑為10cm的氣球半徑增加的速度（假空氣體壓 力不變）剖析：解決相關(guān)變化率問(wèn)題一般分三步：第一步：是建立氣球體積v和半徑r之間的關(guān)系。第二步：根據(jù)等式找出包和包的關(guān)系dx dx第三步：由己知的變化率求出未知的變化率dv , )dr一=4勿二一dt dt由史= 100c加3/S dtr=10cm一=(cm/ s)dt 4乃即當(dāng)r=10cm時(shí)半徑以cm Is的速率增加。4乃x = ln(l + r)48、已知,y = t - arctan t心dx3解.也=dxIty加dx _ 1dx ax dx 2/ dt 2

12、2/l + r2_ l + r.8749、設(shè)y = y(x)是由方程2y - x = (x - y)ln(x- y)確定的隱函數(shù),求dy解：利用公式dy = y9dx將方程2y-x = (x-y)ln(x-y)兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，有2y -1 = (1 - yr) ln(x - y) + (x - y) 得 尸二： + ,(八二 ) x- y3 + ln(x-y)從而dy= 2 + Mx+y)公 3 + ln(x- y)50、設(shè) y=ln (1+3)求力解:1+3T3T (-打1 + 3Tdx3-” In 3 f=-dx1 + 3-x51、求下列函數(shù)的微分(I), y = In cosx-ln(

13、x2 -1) (2)、y = x + xx解：、八，二(_-_mCOSX 尸一1二(一 tanx ) dx尸-1(2)函數(shù)變形為y-x = xv兩邊取對(duì)數(shù)有l(wèi)ii(y-x) = xlnx兩邊對(duì)x求微分 得dy - dx , f f-=In xdx + axy - xdy = x x (In x +1) + Ydx53、擴(kuò)音器插頭為圓柱形，截面半徑為，長(zhǎng)度I為4m,為了提高它 的導(dǎo)電性能，要在這個(gè)圓柱的側(cè)面鍍上一層厚為的錢(qián)銅，問(wèn)每個(gè)插頭 約要多少克純銅。解：V = 2/ V * 小=2mL x |=2n X X4X 0.037699故鍍的銅的重量為X “0.03355(g)54、有一立方形的鐵箱

14、，它的邊長(zhǎng)為70,求出它的體積，并估計(jì) 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。解：體積:V=703=343000cm3絕對(duì)誤差 =170.3 -70.13 1= 1472.101c/?/3、立至 41472.101 八 sm相對(duì)沃差 =X 0.43%V 34300055、求的值，使/(幻=產(chǎn)心一1)E在工=1可導(dǎo)。nx + b x 1解：為使/在X = 1得可導(dǎo)，必須在X = 1連續(xù)故 liin f(x) = lim (In x + b) = b x-rx-rf(x) = 0 即 =0又因 f = lim /7=lim sin.T)- J - Af- x-lx- af = MlinJnx + O-OJ +5 X

15、-l 5 X-llnl + (x-l)_ lim = 1x-1因此為a = 1 ,從而當(dāng)a = 1,Z? = 0時(shí)/(x)在x = l處可導(dǎo)56、證明可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/（x）為奇函數(shù)證：由題設(shè)/（T）= /（X） f（X）存在JAx中祟 / 1- f(x + Ax) - f(-x) (-V)= lunJAv-M)&= lim-二-lin(= - f (x)ao -Ax：.可導(dǎo)偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)為奇函數(shù)同理可證：可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)以同期為T(mén)的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以T為周期的函數(shù)。57、殳), = x(x + l)(x+ 2)( + ) 求 y(0)解:)/ = (x + l)(x + 2).(v + /?) + x(x + 2)(x + 3).( + /z) + x(x + 1).( + 72 -1)/(0) = nA / 八 1(1 - 2x) In x4、y = (x-l)3 0V h解：兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)X求導(dǎo)11 z -21 、+ (+)-2xl+fx-1 3 l-2x xli