2017挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸試題復習第十版1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題

1、13 因動點產(chǎn)生的直角三角形問題課前導學我們先看三個問題：1已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？3已知點A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點B的坐標圖1 圖2 圖3如圖1，點C在垂線上，垂足除外如圖2，點C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點除外如圖3，以O(shè)A為邊畫兩個正方形，除了O、A兩點以外的頂點和正方形對角線的交點，都是符合題意的點B，共6個解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根一般情況下，按照直

2、角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便如圖4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的頂點C在y軸上，求點C的坐標我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點C如果作BDy軸于D，那么AOCCDB設(shè)OCm，那么這個方程有兩個解，分別對應(yīng)圖中圓與y軸的兩個交點 圖4例 19 2015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知

3、拋物線E1：yx2經(jīng)過點A(1,m)，以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B(2,2)，點A、B關(guān)于y 軸的對稱點分別為點A、B（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，在第一象限內(nèi)，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)的拋物線E1上與點A不重合的一點，連結(jié)OP并延長與拋物線E2相交于點P，求PAA與PBB的面積之比 圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動點P在拋物線E1上運動，可以體驗到，點P始終是線段OP的中點還可以體驗到，直角三角形QBB有

4、兩個思路點撥1判斷點P是線段OP的中點是解決問題的突破口，這樣就可以用一個字母表示點P、P的坐標2分別求線段AABB，點P到AA的距離點P到BB的距離，就可以比較PAA與PBB的面積之比圖文解析（1）當x1時，yx21，所以A(1, 1)，m1設(shè)拋物線E2的表達式為yax2，代入點B(2,2)，可得a所以yx2（2）點Q在第一象限內(nèi)的拋物線E1上，直角三角形QBB存在兩種情況：圖3 圖4如圖3，過點B作BB的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2, 4)如圖4，以BB為直徑的圓D與拋物線E1交于點Q，那么QD2設(shè)Q(x, x2)，因為D(0, 2)，根據(jù)QD24列方程x2(x22)24解得x此時Q（

5、3）如圖5，因為點P、P分別在拋物線E1、E2上，設(shè)P(b, b2)，P(c, )因為O、P、P三點在同一條直線上，所以，即所以c2b所以P(2b, 2b2)如圖6，由A(1, 1)、B(2,2)，可得AA2，BB4由A(1, 1)、P(b, b2)，可得點P到直線AA的距離PM b21由B(2,2)、P(2b, 2b2)，可得點P到直線BB的距離PN2b22所以PAA與PBB的面積比2(b21)4(2b22)14圖5 圖6考點延伸第（2）中當BQB90時，求點Q(x, x2)的坐標有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2BQ2BB2所以(x2)2(x22)2(x2)2(x22)242方

6、法三，作QHBB于H，那么QH2BHBH所以(x22)2(x2) (2x) 例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)yx2bxc的圖象與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點，與y軸交于點C，連結(jié)BC動點P以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從點B向點C運動，P、Q兩點同時出發(fā)，連結(jié)PQ，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動設(shè)運動的時間為t秒（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點，若存在，求出點N的

7、坐標與t的值；若不存在，請說明理由圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘潭26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，BPQ有兩次機會可以成為直角三角形還可以體驗到，點N有一次機會可以落在拋物線上 思路點撥1分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ2如果PQ的中點恰為MN的中點，那么MQNP，以MQ、NP為直角邊可以構(gòu)造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應(yīng)相等可以列方程圖文解析（1）因為拋物線yx2bxc與x軸交于A(1, 0)、B(3, 0)兩點，所以y(x1)(x3)x22x3（2）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，可得AB4，ABC45在BPQ中，B45，BP4t，BQt直角三角形BPQ存在兩種情況：當BPQ90時，BQBP解方程t(4t)，得t2（如圖3）當BQP90時，BPBQ解方程4t2t，得t（如圖4）圖3 圖4 圖5（3）如圖5，設(shè)PQ的中點為G，當點G恰為MN的中點時，MQNP作QEy軸于E，作NFx軸于F，作QHx軸于H，那么MQENPF由已知條件，可得P(t1, 0)，Q(3t,t)由QEPF，可得xQxN