初中數(shù)學(xué)最值題解法小結(jié)

1、實(shí)用文檔初中數(shù)學(xué)最值題解法小結(jié)在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見(jiàn)題型，圍繞最大(小)值所出的數(shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)y ax2 bx c (a、b、c為常數(shù)且a 0)其性質(zhì)中有b4ac b2若a 0當(dāng)x2時(shí)，y有最小值。yminb ;2a4a若a 0當(dāng)x2時(shí)，y有最大值。ymax”Si。2a4a利用二次函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)，將具有二次函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量建立二次函數(shù)， 再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題之目的例1.某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為 40只，且每日產(chǎn) 出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R(元)，售價(jià)每只為P

2、(元)， 且R、P與x的關(guān)系式分別為 R 500 30x , P 170 2x。(1)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤(rùn)為 1750元；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？解：(1)根據(jù)題意得1750 Px R(170 2x)x (500 30x) 1750整理得 x2 70x 1125 0解得x125, x245 (不合題意，舍去)(2)由題意知，利潤(rùn)為Px R 2x2 140x 5002(x 35)2 1950所以當(dāng)x 35時(shí)，最大利潤(rùn)為1950元。2 .一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)y kx b(k 0)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條 直線，因而沒(méi)有最大(小)值；

3、但當(dāng) m x n時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線 段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大(小)值。例2.某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工 人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種 人數(shù)的2倍，問(wèn)甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)可使得每月所付的工資最少？解：設(shè)招聘甲種工種的工人為 x人，則乙種工種的工人為(150 x)人，由題意得：150 x 2x 所以0 x 50設(shè)所招聘的工人共需付月工資y元，則有：y 600x 1000(150 x) 400x 150000 ( 0 x 50)因?yàn)閥隨x的增大而減小所以當(dāng) x 50 時(shí)，ymin130000

4、(元)3 .判別式法2XX 1例3.求X2 X 1的最大值與最小值。xx 1分析：此題要求出最大值與最小值，直接求則較困難，若根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè) 關(guān)于未知數(shù)X的一元二次方程；再根據(jù)X是實(shí)數(shù)，推得 0,進(jìn)而求出y的取 值范圍，并由此得出y的最值。x2x1解： 設(shè) y , 整理得 x x 1 yx yx yXX1即(1y) x2(1y)x1 y 0因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以 0即(1y)24(1y)20一 11解得- y 33x2 x 11所以-2的最大值是3 ,最小值是一。x x 13四.構(gòu)造函數(shù)法“最值”問(wèn)題中一般都存在某些變量變化的過(guò)程，因此它們的解往往離不開(kāi)函數(shù)。例4.求代數(shù)式xTiJ的最大值和最小

5、值。解：設(shè) y x41 x2 ,1x1,再令 x sin ,則有22y x 1 x2 sin . 1 sin2 sin cos - sin22 一 ,，一 1 一，一 1所以得y的最大值為1 ,最小值為 122五.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有a2 b2即a2 b2 k的最小值為k ok k ,當(dāng)且僅當(dāng)a b 0時(shí)，等號(hào)成立,例5.設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么a2 ab b2a 2b的最小值為文案大全解：a2 ab b2 a 2b22a2 (b 1)a b2 2b(ab 1)22-b243b(ab 1)22)4(b1)2 b 1當(dāng) a 0 , b 1 0 ,即 a 0, b 1 時(shí), 2上式等號(hào)

6、成立。故所求的最小值為-1。六.零點(diǎn)區(qū)間討論法例6.求函數(shù)y |x 1| |x 4| 5的最大值。分析：本題先用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù) y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求出y 在各個(gè)區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。解：易知該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x 1、x 4當(dāng)x 4時(shí)y(x1)(x4)50當(dāng)4 x 1時(shí)y(x1)(x4)5 2x8當(dāng)4 x 1得10 y 2x 8 0當(dāng) x 1 時(shí)，y (x 1) (x 4) 510綜上所述，當(dāng)x 4時(shí)，y有最大值為ymax 0七.利用不等式與判別式求解例7.已知x、y為實(shí)數(shù)，且滿足x y m 5 , xy 最大值與最小值。ymx b是最小值。mx

7、 3 ,求實(shí)數(shù)mx y 5 m解：由題意得xy 3 m(x y) 3 m(5 m)所以x、y是關(guān)于t的方程t2 (5 m)t (m25m 35m3) 0的兩實(shí)數(shù)根,在不等式x a中，x a是最大值，在不等式x b中,所以(5 m)2 4(m2 5m 3) 0即3m2 10m 13 0.一13解得1 m -3 3m的最大值是,m的最小值是1。3八.“夾逼法”求最值在解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化、變形和估計(jì)，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值 范圍內(nèi)，再通過(guò)解不等式獲取問(wèn)題的答案，這一方法稱為“夾逼法” 。例8.不等邊三角形 ABC的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為 整數(shù)，那么此高的最大值可能為解：設(shè)

8、a、b、c三邊上高分別為4、12、h因?yàn)?2sABC 4a 12b ch ,所以 a 3b又因?yàn)閏 a b 4b ,代入12b ch得12b 4bh ,所以h 3又因?yàn)閏 a b 2b ,代入12b ch得12b 2bh ,所以h 6所以3h0）,且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得 利潤(rùn)最大？注：利潤(rùn)=售價(jià)-成本分析：（1）設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建（80- x）套，根據(jù) 題意：該公司所籌資金不少于2090萬(wàn)元，但不超過(guò)2096萬(wàn)元，可列出兩個(gè)不 等式，解不等式組，即可求出x的取值范圍，進(jìn)而確定x的正整數(shù)值.（2）根據(jù) 一次函數(shù)的增減性解決.（3）要應(yīng)用分類討論

9、的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏， 注意思維的縝密性.解析：（1）設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建（80- x）套.由題意知 2090 25x+28（80- x）2096 48 x 50.x取非負(fù)整數(shù)，；x為48, 49, 50 .有三種建房方案：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型 30套（2）設(shè)該公司建房獲得利潤(rùn) W （萬(wàn)元）.由題意知 W=5x+6（80- x）=480- x當(dāng)x=48時(shí)，W最大=432（萬(wàn)元）即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤(rùn)最大(3)由題意知 W=(5+ a)x+6(80- x)=480+( a-1) x當(dāng) O a1時(shí)，x=

10、50 , W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.說(shuō)明:此題的第(1)問(wèn)是利用一元一次不等式組解決的，第(2)、(3)問(wèn)是利用 次函數(shù)的增減性解決問(wèn)題的，要注意三問(wèn)相互聯(lián)系.二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值問(wèn)題例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具3至5個(gè)， 若每天須生產(chǎn)這種玩具4 0 0 個(gè)，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應(yīng)用題， 這里4 0 0是常量。設(shè)每人每天生產(chǎn)x個(gè)玩具，需要工人y名。則有y 絲0。(3 x 5,且x為整數(shù))x;當(dāng)x 0時(shí)，y隨x的增大而減小，.400 y 火，即 80 y 1331533.y為正整數(shù)，一. y取8 0至1 3 4。即須招聘工

11、人為 80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問(wèn)題對(duì)于某些與二次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如果我們能夠?qū)?shí)際問(wèn)題抽象為二次 函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，建立起二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，可以解決 許多實(shí)際問(wèn)題。例1 .將進(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，若此 商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè)，為了賺到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？解：設(shè)利潤(rùn)為y元，每個(gè)售價(jià)為x元，則每個(gè)漲(x50)元，從而銷售量減少 10(x 50)個(gè),共售出 500-10(x-50)=100-10x( 個(gè)). y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70) 2 9000 (50 x 100 )

12、x 70時(shí)ymax 9000答：為了賺取最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為70元.例2、(泉州市2008年中考題)某產(chǎn)品第一季度每件成本為 50元，第二、 第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為 x 請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少 9.5元，試求x的值 該產(chǎn)品第二季度每件的銷作價(jià).為60元，第三季度每件的銷售價(jià)比第 季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成小.的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價(jià)不低于48元，設(shè)第三季度每件產(chǎn)品獲得的刊河為y元，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)圖象與性質(zhì)求 y的最大值（注：利潤(rùn)銷售價(jià)成本）2分析：

13、（1） 501 x 50 1 x 50 9.5 解得 x 0.1（3） 601 x 48,解得 x 0.2 而x 0,二。x 0.2一 一2而 y 601 x 50 1 x2=50x40x 10一 一 2 一=50 x 0.418;當(dāng)x 0.4時(shí)，利用二次函數(shù)的增減性，y隨x的增大而增大，而0 x 0.2 ,當(dāng)x 0.2時(shí)，y最大值=18 （元）說(shuō)明：當(dāng)自變量取值范圍為體體實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)在拋物線頂點(diǎn)取得最值，而當(dāng)自變量取值范圍為某一區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：若拋物線頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。若拋物線的頂點(diǎn)不在該區(qū)間內(nèi)，則區(qū)間兩端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的值為該函

14、數(shù)的最值。四、利用對(duì)稱性來(lái)求最值問(wèn)題。類這題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解答有一定的難度。（一）在幾何題組中的應(yīng)用例1、如圖，菱形 ABCD中，AB=2, /BAD =60 工是人8的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小最是d分析：由菱形的性質(zhì)知：點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱。因?yàn)镻、在AC上支運(yùn)動(dòng)，所以PB = PD。APd要求PE+PB的最小最，即求PD+PB的最小值。連接DE、. 一一.1R父AC于點(diǎn)R,則DE即為所求。又/ BAD =60, A E =A2 D, E為A B的中點(diǎn)，所以D E，A B ,而A B = AD= 2 ,所以D E =43 ,即 PD +PB的最小值為

15、V3實(shí)用文檔例2、如圖，/AOB = 4 5 角內(nèi)有一點(diǎn)P, OP= 1 0 ,在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q、R (均不同于點(diǎn)O),則PQR的周長(zhǎng)的最小值為分析：作P關(guān)于OA, OB的對(duì)稱點(diǎn) Pi,耳。連接R P2,分別交OA,。8于、，Ro如圖所示，再連接PQ, PR。易知 Pi Q = P Q , P2 R = P R ,所以APQ R的周長(zhǎng)=PQ+QR+P2R。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短， PQR的周長(zhǎng)=Pi P2 ,而/POA = /P|OA,/ POB = /P2OB ,且OP = O Pi = OP2=10,又 / AOB = 4 5 ,所以/P O P2 = 9 0 即RO P2為等腰直角三角

16、形，故PQR的周長(zhǎng)的最小值為1072(二)在代數(shù)題組中應(yīng)用一 ，一 12例1 ,如圖，拋物線y x2bx 2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與Y軸交于C且A (1, 0)。求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo) 判斷AAB C的形狀，證明你的結(jié)論。點(diǎn)M ( m , 0) 是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC +MD的值最小時(shí)， 求m的值1 C分析：(1)將 A(1,0)代入 y -x bx 22得b 3,所以拋物線的解析式y(tǒng) -x2 -x 2222配方得：y 1(x 3)2型，所以頂點(diǎn)D 3,至22828(2)求出 AC= 5 , BC= 20 ,而 AB=5Y(3)作點(diǎn)C關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)E(2, 0),/.AC2 BC

17、2 AB2 ,故AAB C為 RTA例2、如圖以矩形O A B C的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，O A所在的直線為X軸，OC 所在的直線為Y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。已知OA= 3 , OC = 2 ,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D,將4 B AD沿BD翻折，使點(diǎn)A落在B C邊上的點(diǎn)F處。直接寫(xiě)出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)：設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交Y軸正半軸于點(diǎn)P,且以E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；在X軸、Y軸上是否分別存在點(diǎn)M、 N,使得四邊形MNF E的周長(zhǎng)最??？ 如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：(1) E (3, 1), F (1 , 2)在 RT/2FEB 中，F(xiàn)B=2 , BE=1 , . .EF= V5 ,當(dāng)E