數(shù)學(xué)分析二元函數(shù)的連續(xù)性

1、2021/8/613 3 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性二二 、有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2021/8/62)()(lim 00XfXfXX若設(shè) z = f (X) = f (x, y), 在區(qū)域D上有定義.則稱 f (X) 在 X0 連續(xù), X0 稱為 f (X) 的連續(xù)點(diǎn). 否則稱 f (X) 在 X0 間斷, X0 稱為 f (X) 的間斷點(diǎn). X = (x, y) D, X0 = (x0, y0) D, 1.2021/8/63若若 f (X) 在在 D 上每一點(diǎn)都連續(xù)上每一點(diǎn)都連續(xù), 則稱則稱 f (X) 在在 D 上連續(xù)上連續(xù), 記為記為 f (

2、X) C (D). 易知, 例2中 f (x, y)在(0, 0)間斷(極限不存在), 上在直線中例01sin),( ,1yxyxxyyxf每一點(diǎn)都間斷.2021/8/64注注1. 二元函數(shù)二元函數(shù) f (X)在在 X0 連續(xù)必須滿足三個條件連續(xù)必須滿足三個條件. 在在 X0 有定義有定義, 在在 X0 的極限存在的極限存在, 兩者相等兩者相等, 2. 多元連續(xù)函數(shù)的和多元連續(xù)函數(shù)的和, 差差, 積積, 商商(分母不為分母不為0)以以及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù)及多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍是多元連續(xù)函數(shù). 定義可推廣到三元以上函數(shù)中去定義可推廣到三元以上函數(shù)中去.2021/8/65多元初等函

3、數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四 則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表 示的多元函數(shù)叫示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域在在定義區(qū)域內(nèi)的定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 PPfPfPP2021/8/662. 連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)性質(zhì)： （2）兩個連續(xù)函數(shù)

4、的和、差、積、商（若分母不為）兩個連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為）都是連續(xù)函數(shù)；）都是連續(xù)函數(shù)； 2021/8/67例例1 1 求極限求極限 .lim21xyyxyx xyyxyxf ),(解解是多元初等函數(shù)。是多元初等函數(shù)。定義域：定義域：.0 , 0 | ),( yxyxD0 , 0 | ),()2 , 1( 1 yxyxD點(diǎn)點(diǎn).D 于是，于是， xyyxyx21lim2121 .23 （不連通）（不連通）xoy2021/8/68例例2 2.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx111lim00 xyyx.21 xyxyyx11lim00202

5、1/8/69例例3 3 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(fyxf )cos(sin33 2 2021/8/610 2)0 , 0(),(fyxf故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx , 0 ,2 當(dāng)當(dāng) 時時 220yx2021/8/611例例4 4 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limy

6、xxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)2021/8/6123. 多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的多元初等函數(shù)在它有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的.所謂多元初等函數(shù)是指以所謂多元初等函數(shù)是指以 x, y, z, 為自變量的基本初為自變量的基本初等函數(shù)等函數(shù) f (x), (y), g(z), 以及常函數(shù)以及常函數(shù), 經(jīng)有限次四則運(yùn)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù)算和復(fù)合所構(gòu)成的函數(shù).如 f (x) = exy sin(x2+y), 22)sin(ln),(yxyxxyyx

7、f)(tg3),(sinxyezxxyzzyxf)sin(lim2sin00yxexyyx而= e0 sin0 = 0. 2021/8/6134. 二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義二元連續(xù)函數(shù)的幾何意義:定義在區(qū)域定義在區(qū)域 D 上的二元連續(xù)函數(shù)上的二元連續(xù)函數(shù)z = f (X) = f (x, y)表示了在表示了在D上的一片沒有上的一片沒有 空洞空洞, 沒沒有有 裂縫裂縫 的連續(xù)曲面的連續(xù)曲面.這里條件這里條件 D 是一區(qū)域是一區(qū)域 是必要的是必要的. 若若D不是不是區(qū)域區(qū)域, z = f (X)可能不是通常意義下的連續(xù)曲面可能不是通常意義下的連續(xù)曲面.2021/8/614例例. 設(shè) D = (x,

8、y) | x, y 均為有理數(shù) R2. z =f (x, y)是定義在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在別的點(diǎn)上無定義的函數(shù), 即f (x, y) = 1, 當(dāng)(x, y) D時,無定義, 當(dāng)(x, y) D時. 如圖xyzo1可知, (x0, y0) D,),(1),(lim0000yxfyxfyyxx但曲面z = f (x, y)不是通常意義下的連續(xù)曲面.2021/8/615 二二 有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1. .)( 值上必須取最大值和最小在則DXf性質(zhì)性質(zhì)2. .| )(|, 0 .)( MXfDXMDXf有使得對即上有界在則為設(shè)2RD

9、上在若DXf)(有界閉域有界閉域 , 連續(xù)連續(xù) , 為設(shè)2RD 上在若DXf)(有界閉域有界閉域 , 連續(xù)連續(xù) , 2021/8/616思考思考: 若若 在某一區(qū)域在某一區(qū)域 內(nèi)對變量內(nèi)對變量 為連續(xù)，對變量為連續(xù)，對變量 滿足李普希茲條件，即對任何滿足李普希茲條件，即對任何有有其中其中 為常數(shù)，則此函數(shù)在為常數(shù)，則此函數(shù)在 內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。),(yxfxyGyxGyx ),( ,),(| ),(),(|yyLyxfyxf GGL2021/8/617證明證明因?yàn)?對變量 連續(xù)，所以),(yxfx, 0, 01使得當(dāng) 時，10| xx2| ),(),(|0yxfyxf取2,min1L當(dāng) 時，| ,|00yyxx2021/8/618LLLyyLyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxf222|2| ),(),(| ),()