成人高考《高等數(shù)學(xué)(二)》模擬試題和答案解析(三)

1、成人高考高等數(shù)學(xué)（二）模擬 試題和答案解析（三）成人高考高等數(shù)學(xué)(二”模擬試題和答案解析(三)一、選擇題：110小題，每小題4分，共40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括 號(hào)內(nèi).1.'ain 2x 設(shè)函數(shù)則函數(shù)Rx)的間斷點(diǎn)是( ). 工一InA. x=-2B. x=-1C. x=1D. x=02.設(shè)？ (x)在xo及其鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng) x<xo時(shí)？ / (x)>0 ,當(dāng) x>xo 時(shí)？ / (x)<0 ,則 必？/ (x 0)().A.小于0B.等于0C.大于0D.不確定3.；,：一B.2xcu&(

2、 x2) -2e-：J-2xcos( x2)一欄?2）+e-2x ,則？ ,（x）等于D.5.1-'QCX-8 ）內(nèi)義M）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.A.，B.C (0, 1)D. 6. 1A.xln x+CB.D.-xlnx+C11戶In jc+C-In x+C7.A.設(shè)？ ,（x）=COS x+x ,則？ （x）等于（）2 工 一 一sin x+C 2B.D.sinx+x 2+C sinx+2x 2+C8.A.F(x)B.-F(x)設(shè)/U）為連續(xù)的偶函數(shù)，且收二，由，則F（t）等于（D.9.A.B.D.? / (x+y)+ ? / (x-y)? / (x+y)- ? / (x-y)2 ?

3、 / (x+y)2 ? / (x-y)2F（x）設(shè)函數(shù)Wy）,其中/為可導(dǎo)函數(shù)，則察+空等于（ dx dy10.若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則事件 A和B的關(guān)系一定是（）.AB.C.對(duì)立事件D.互不相容事件二、填空題：1120小題，每小題4分，共40 分.把答案填在題中橫線上.11.設(shè)函數(shù)1 '在工=0處連續(xù)，則 L 口， H 二0則右廣=-設(shè)函數(shù) y=+2>ln 2JIJ h.設(shè)函數(shù)y=In(1+x2)貝U dy=.設(shè)函數(shù)*，.則|.I 1 = 0/k)dT='_一設(shè)函數(shù)人的=In%則/(6)血=.J x di =.設(shè)工=m仔+，則登=_ 一. xy I 3*由曲線

4、y=x和y=x2圍成的平面圖形的面積12.13.14.15.16.17.18.19.20.S=.三、解答題：2128小題，共70分.解答應(yīng)寫 出推理、演算步驟.21.22.（本題滿分*分）設(shè)函效尸卬足求23.24.25.（本題滿分8分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為X123 4P0.2 0.3 a 0.4求常數(shù)a ；（2）求X的數(shù)學(xué)期望E（X）.26.（本題滿分10分）當(dāng)x>0時(shí)）證明：ex>1+x.27（本題滿分10分）某工廠要制造一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形發(fā)酵池，其容積是1訂后,池底的材 料30元池壁的材料20元/畝,問(wèn)如何殳汁，才能使成本最低，最低成本是多少元？ （本題滿分10分）求二元函數(shù)上

5、T+四+型的極值.28.參考答案及解析一、選擇題1 .【答案】 應(yīng)選D.【解析】 本題主要考查間斷點(diǎn)的概念.讀者若注意到初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的 結(jié)論，可知選項(xiàng)A B、C都不正確，所以應(yīng)選D.2 .【答案】 應(yīng)選B.【解析】本題主要考查函數(shù)在點(diǎn)X0處取到極值 的必要條件：若函數(shù)y=?(x)在點(diǎn)X0處可 導(dǎo)，且X。為？ (x)的極值點(diǎn)，則必有？/ (Xo)=0. 本題雖未直接給出X。是極值點(diǎn)，但是根據(jù)已知條 件及極值的第一充分條件可知f(X。)為極 大值，故選B.考生必須注意的是；題目中的條件在點(diǎn)通的鄰域內(nèi)可導(dǎo)是不可少的,否則相應(yīng)的結(jié)論 尸不一定正礁 這是因?yàn)闃O值可以在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處取到，

6、如丁 =丁金，當(dāng) *=0時(shí)不存在,但父=0為r的極小值點(diǎn).3 .【答案】應(yīng)選D.【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是基本初等函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)公式.因?yàn)楣づ?所以選D.4 .【答案】應(yīng)選B.【解析】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算.求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵是理清其復(fù)合過(guò)程：第一 項(xiàng)是sin u , u=X2;第二項(xiàng)是e0, u =-2x .利用 求導(dǎo)公式可知f'(#)=必(/)'tens(丁 ) * (x1) J+e-J1 - ( -2x) * =2jcos(i2 ) -2e5 .【答案】應(yīng)選D.【解析】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)？ / (x)的圖像來(lái)確定函數(shù)曲線的單調(diào)區(qū)間.因?yàn)?在x軸上方？

7、 / (x)>0，而？ / (x)>0的區(qū)間為？ (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間，所以選 D.6 .【答案】應(yīng)選C.【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不定積分的概念和換元積分的方法.對(duì)于不定積分的積分公式如f幅xdx = sin aC,考生應(yīng)該更深一層次地理解為其結(jié)構(gòu)式是 /口(1口 =加口+匚式中的方塊“口"既可以是變域#，血可以是二的函數(shù)式，例如人酬冏d回之 sin回+C Jms 三d叵=苜沁四可+金只要符合上述結(jié)構(gòu)式的函數(shù)或變量，均燈上面的積分 公式成立.其他的積分公式也有完全類似的結(jié)構(gòu)式.如果將上述式子內(nèi)的函數(shù)的微分寫出來(lái). 則有：)d(x') =2卜 g苗(i )d*

8、及 J cos (in x) d (In|-cos( In 工)如果在試題中將等式右邊部分拿出來(lái)，這就需要用湊微分法(或 換元積分法)將被積表達(dá)式寫成能利用公式的不 定積分的結(jié)構(gòu)式，從而得到所需的結(jié)果或答 案.考生如能這樣深層次理解基本積分公式，則無(wú)論是解題能力還是計(jì)算能力與水平都會(huì)有一 個(gè)較大層次的提高.基于上面對(duì)積分結(jié)構(gòu)式的理解，本題亦為：已知7(口)<!口 = 口 Jc.則/%】n G也等于().由于*)八二工), 此時(shí)二】n *所以 j In x)dx = ln x * 看小+C =In 工, e,B+C=In h+C,即選項(xiàng) C 正確. X7 .【答案】應(yīng)選B.【解析】本題考查

9、的知識(shí)點(diǎn)是已知導(dǎo)函數(shù)求原 函數(shù)的方法.fx = f'(x)dx = J( c<»s x + x)dx - sin x + - + C,8 .【答案】應(yīng)選B.【提示】 利用及山，作變量代換ut,則F< 7)= 1/( - u)d( - 14)= - J/(=" F(m),所以應(yīng)選反9 .【答案】應(yīng)選C.【提示】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元復(fù)合函數(shù)偏 導(dǎo)數(shù)的求法.本題只需將m=/N+T)+/(#-¥)寫成5/(&)+八u)，其中u = m+同時(shí)利用復(fù)合函數(shù)求 偏導(dǎo)數(shù)公式曲二/整+<3手和坐曠Q)煞可知選項(xiàng)C是正確的.社a 工Bx dydy

10、rfy10 .【答案】應(yīng)選A.【提示】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是事件關(guān)系的概念.根據(jù)兩個(gè)事件相互包含的定義，可知選項(xiàng)A正確.二、填空題11 .【答案】應(yīng)填1/8 .【解析】利用函數(shù)在點(diǎn)跖連續(xù)的定義的/(*)=/(%),則布- 飛v，工+4 -2 -xIkm-lim. _- = a.I 2x 2式斤耳+2) 812 .【答£；【解析】利用重要極限n的結(jié)構(gòu)式，則有1回直)、】+3,)叱"上13 .；法】【提示】 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算可得答案.注意 ln 2是常數(shù).d A【答案】應(yīng)填；""14 .1 -【解析】用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式求出y',再寫出dy.因?yàn)镮+

11、XI所以*，=含濁15 .【答案】應(yīng)填120.【提示】(x5)=5 1.16 .【答案】應(yīng)填1/2tan 2x+C .【解析】用湊微分法積分.1嬴盤廠界舄五jd( 2*)=畀”2*) + C.17 .【答案】應(yīng)填e-1 -e 2.【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及定 積分的計(jì)算.因?yàn)槭?幻HL,則廣西)=二=d所以 xe=J e ,dt =* e 1 = e-1 - e 注意;/'(1)左關(guān)4/(/).18 .【答案】應(yīng)填1.【解析】利用偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間定積分的性質(zhì)，則有(t dx = 2f jtdx - x1 -,J -1)0dn【答案】應(yīng)填差工19 .【解析】對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)盡可

12、能先化簡(jiǎn)以便于 求導(dǎo).因?yàn)?0 .【答案】應(yīng)填吉【解析】畫出平面圖形如圖2-32陰影部分圖 2-3-2三、解答題21 .本題考查的知識(shí)點(diǎn)是重要極限n .【解析】 對(duì)于重要極限n :1 #尸=e 或1i” 1 +-j =小它的結(jié)構(gòu)式為1淅口+口）=%式中的“ ”既可以是叫乂可以是MD-*o的函數(shù)，只饕當(dāng)天（或8）時(shí)方塊“口”-0,滿足上述結(jié)構(gòu)式的極 限為e.例如：（一年）=已一手（駛e）.,而im 1 -三利用重饕極限的結(jié)構(gòu)式很容易求斛考生需要注意這種題型的變化.由于JTT0盡管其形式不一樣，但它都可以直接化為電要極限的形式*式.如果熟練掌握r量要極限的結(jié)構(gòu)式，就可以很容易地求解與它們相關(guān)的題目

13、r.22 .本題考查的知識(shí)點(diǎn)是求復(fù)合函數(shù)在某一點(diǎn)處 的導(dǎo)數(shù)值.【解析】先求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y / ,再將x=1代入y / .解 因?yàn)? 1. J所以|,=r23 .本題考查的知識(shí)點(diǎn)是定積分的計(jì)算方法.【解析】 本題既可用分部積分法計(jì)算，也可用 換元積分法計(jì)算.此處只給出分部積分法，有興 趣的讀者可以嘗試使用換元積分法計(jì)算.解f arctml xdx = cardan x - f -1 -d(x2 + 1 )° Ju I + .*-42 Jq l 十窕匚-ln( I +#2) 二】事n 2.424224 .本題主要考查原函數(shù)的概念和不定積分的分 部積分計(jì)算方法.【解析】這類題常見的有三種

14、形式：若人*)的一個(gè)原函數(shù)為求求求/(#)也 本題為第一種形式.常用的方法是將？(x)=(arctanx)”代入被積函數(shù)，再用分部積分法.第二和第三種形式可直接用分部積分法計(jì)算：27%t)d# = 曠(工)= x'fx) - 2卜尸(刀)也 = /()- 2職工)-,工)M，然后再用原函數(shù)的概念代入計(jì)算.解 因?yàn)?&網(wǎng)3n #)'=：、，所以】+X 2,Jjc2/( s) = J j-jd# = J( I - -<J 6# =4-arcian r + C.25 .本題考查的知識(shí)點(diǎn)是隨機(jī)變量分布列的規(guī)范 性及數(shù)學(xué)期望的求法.【解析】利用分布列的規(guī)范性可求出常數(shù)a ,

15、再用公式求出E(X).解(1)因?yàn)?0.2+0. 3+a+0.4=1,所以 a =0. 1 . (2)E(X)=1 X0. 2+2x 0.3+3X 0. 1+4X 0.4=2. 7. 26.本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用函數(shù)的單調(diào)性證明不 等式的方法.【解析】通常情況下是將不等式寫成一個(gè)函數(shù) ?(x)=ex-x-1 ,證明？ / (x)>0(或？ / (x)<0), 再根據(jù)單調(diào)性知，? (x)>= ? (0)=0 .證 設(shè)？(x)=ex-1-x ,則 f(x)=0 ,因?yàn)椋? (x)=e x-1 ,當(dāng) x>0 時(shí)，？/ (x)>0 ,所以？ (x)是單 調(diào)增加函數(shù).即x&g

16、t;0時(shí)，？(x)> ?(0),即 ex-1-x>0 ,所以 ex>x+1.27 .本題考查的知識(shí)點(diǎn)是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題的 極值.【解析】 所謂“成本最低”，即要求制造成本 函數(shù)在已知條件下的最小值.因此，本題的關(guān)鍵 是正確寫出制造成本函數(shù)的表達(dá)式，再利用已知 條件將其化為一元函數(shù)，并求其極值.解 設(shè)池底半徑為池高為M如圖2-3-3).則17，% =彥宣.得人=三.又 42r設(shè)制造成本為隊(duì)則S = 30 , irr2 +2Q - 2KM = 30 " irr" +20 - Zirr - = 301r( J + j ,S，m 30qz(2r 一丁).令S'O,得駐點(diǎn)圖 2-3-3因?yàn)橘J=30中+攝>0.所以r=1為唯一的極小值點(diǎn)，即為最小值點(diǎn).所以，底半徑為1 m,高為3/2m時(shí)，可使