傅立葉級數(shù)和傅立葉變換

1、.傅立葉法國數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家。 最早使用定積分符號，改進符號法則及根數(shù)判別方法。 傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）創(chuàng)始人。 法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1768年3月21日生于歐塞爾， 1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡， 被當?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴 黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員， 次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾 省地方長官。1817年當選為科學(xué)院院 士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會主席。 主要 貢獻是在研究熱的

2、傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文， 推導(dǎo) 出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。 1822 年在代表作熱的分析理論中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學(xué)在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19 世紀數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論 均由此創(chuàng)始。其他貢獻有：最早使用定積分符號，改進了代數(shù)方 程符號法則的證法和實根個數(shù) 的判別法等。 §3-2 信號在正交函數(shù)集中的分解為了形象地說明信號的分解，首先我們復(fù)習(xí)矢量

3、的分解。一、矢量的分解（1）矢量的一維分解：用一個標準矢量乘以一個標量得到的新矢量，去近似近似矢量，并要求誤差盡可能小，應(yīng)該取多少？下圖通過幾何方法表示了的確定方法。 l 從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差最小的系數(shù)為：其中的稱為矢量和的相似系數(shù)。l 如果（或），則表明和相垂直（又稱為正交）。（2）矢量的二維分解用兩個標準矢量、的線性組合，去近似近似矢量，并要求誤差盡可能小，、各應(yīng)該取多少？下圖通過幾何方法表示了、的確定方法。l 在上圖表示的情況下，、的取值都同時與、有關(guān)，計算公式可能比較復(fù)雜。如果標準向量、相互垂直（正交），計算就很簡單了：容易得到此時的系數(shù)計算公式為：，此時每一個系數(shù)只與

4、其相關(guān)的標準矢量有關(guān)，系數(shù)計算公式與一維情況下的計算公式相似。l 上圖中表示的是用兩個矢量表示一個二維的矢量，誤差為零。如果用兩個矢量表示一個二維以上的矢量，誤差就不一定等于0了。但是可以證明，在這種系數(shù)情況下誤差最小。l 顯然，如果知道了標準矢量、和相應(yīng)的系數(shù)、，就可以確定任意矢量。l 這實際上就是我們在平面幾何中見到的笛卡爾坐標系。（3）矢量的多維分解：上面二維的情況可以推廣到任意維，可以將矢量表示成為一系列標準矢量（基）的線性組合：顯然，如果知道了標準矢量和響應(yīng)的系數(shù)，就可以確定任意矢量。如果矢量兩兩正交，可以證明相應(yīng)的最佳系數(shù)的計算公式為：如果標準矢量基的長度都為1，則，上面的公式可以

5、簡化為： （4）標準矢量基的幾個限制條件：為了便于計算系數(shù)，實際使用的標準正交矢量集最好滿足以下幾個條件：1) 歸一化：標準矢量的模等于12) 正交化：標準矢量兩兩正交3) 完備性：可以不失真地組合出任意矢量其中歸一化和正交化是為了計算系數(shù)時比較方便；而完備性則是為了保證可以完整、沒有誤差地表示任意矢量，使這種分解更有實用性。二、信號的分解與矢量分解相似，我們也可以推導(dǎo)出信號分解。1、單個標準信號下的分解：在時間區(qū)間內(nèi)，用近似任意函數(shù)，并使誤差進可能小。（這里假設(shè)所有函數(shù)都是實數(shù)函數(shù)）誤差：l 如何衡量函數(shù)誤差的大??？可以采用方均誤差： l 取什么值的時侯何時誤差最小？或者何時系數(shù)最佳？最佳系

6、數(shù)：也稱為函數(shù)和的相似系數(shù)。最佳系數(shù)的證明：誤差：方均誤差：為了求使最小的，將上式對求偏導(dǎo)并令其為零，可以得到：由此可得：l 如果（或），則稱和正交。這個正交的含義與矢量中的正交類似。l 如果和是復(fù)函數(shù)，則方均誤差的定義應(yīng)該改為：相應(yīng)的最佳系數(shù)計算公式為：2、多個標準信號下的分解：將信號表示為多個標準信號的線性組合：l 這里的同樣難以確定。但是如果標準函數(shù)之間兩兩正交，則可以證明：l 我們實際上在高等數(shù)學(xué)等前期課程中已經(jīng)見到過幾個這樣的標準信號集了。例如：泰勒級數(shù)使用的是：l 在本章中將要用到的標準函數(shù)集為三角函數(shù)集：3、對標準信號集的要求：與矢量分解中的情況一樣，這里對于用于分解函數(shù)的標準函

7、數(shù)集也有以下的要求：1) 歸一化：2) 正交化：，3) 完備性：可以用其線性組合表示任意信號。l 正交性標準函數(shù)集的首要條件。只有在這種情況下系數(shù)才可以用上美的公式計算，而且可以保證方均誤差最小。其他兩個條件都會受到實際應(yīng)用的限制，可能難于達到。l 完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如：三角函數(shù)集，沃爾什函數(shù)集等。l 但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近似表示任意函數(shù)。函數(shù)與矢量的運算與分解有很大的相似性，很多函數(shù)分解中的概念（例如正交等）也是從矢量運算中引用過來的。這里用一個表格作比較：矢量函數(shù)加法標乘乘法正交歸一誤差誤差代價函數(shù)系數(shù)§3-3 信號表示為

8、傅利葉級數(shù)傅利葉級數(shù)是最常用的一種正交函數(shù)集。它在工程中有很廣泛的用途。一、三角函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)1、三角正交函數(shù)集其中：或?qū)⒄缓瘮?shù)集表示為：l 可以證明該函數(shù)集滿足正交性：函數(shù)集中的函數(shù)兩兩相正交。2、任意信號在三角函數(shù)集中的分解可以將任意函數(shù)f(t)在這個三角函數(shù)集中展開（表示成該正交函數(shù)集函數(shù)的線性組合）：其中的系數(shù)可以根據(jù)前面的公式計算出：l 這個公式中的的表達不太方便。為此將分解式改寫：則系數(shù)為：l 通過這種分解，可以將信號可以表示成為直流信號和一系列正弦信號之和。3、任意信號在僅余弦三角函數(shù)集中的分解 在原來的信號分解公式 中，利用三角函數(shù)公式，令，則可以將上式表達成：它可以看

9、成是下列正交信號集：的平移后的線性組合。l 從系數(shù)計算公式可以看出，如果f(t)是實數(shù)信號，則：Ø 和是n的偶函數(shù)；Ø 和是n的奇函數(shù)。l 上面的分解等式的左右兩邊的函數(shù)是否相等，沒有誤差？或者，是否隨著n趨向于無窮大，等式右邊的函數(shù)收斂于左邊的函數(shù)？Direchlet證明，只要滿足下面三個條件，等式就一定收斂：1) f(t)絕對可積，即：2) f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個間斷點；3) f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個極值點。這個條件被稱為Direchlet條件。實際信號大都滿足這個條件，所以都可以這樣分解。l 這個分解等式中，等號右邊是多個周期為T的函數(shù)的和，它仍然是周期為T的函數(shù)。

10、顯然，如果本身也是一個周期為的函數(shù)，則如果它可以在一個周期內(nèi)用上面的公式分解，則它同時也可以在整個時間區(qū)間內(nèi)分解。l 這種分解可以用在兩個場合：1) 研究任意函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的分解2) 研究周期為T的函數(shù)在整個時間區(qū)間內(nèi)的分解。本課程中討論的主要是后一種情況。l 如果f(t) 周期為T的函數(shù),為了方便討論，一般函數(shù)的主值區(qū)間取l 在函數(shù)的分解中： 稱為信號的直流分量； 、或稱為信號的基波分量； 、或稱為信號的n次諧波分量；一般情況下，n無法計算到無窮大，只能取有限。這時，這種正交展開是有誤差的。n越大，誤差越小。下面通過一個實例進一步討論傅里葉級數(shù)的一些特性。例：求方波的傅利葉級數(shù)。解：按照定義公

11、式，可以計算出：下圖給出了根據(jù)這個公式，分別用一個、兩個和三個正弦脈沖逼近方波的實際效果。l 從圖中可以看到，隨著n的增大，函數(shù)的逼近效果逐步得到改善，效果越來越好。l 但在信號的間斷點附近，誤差函數(shù)出現(xiàn)了一個尖刺狀的突起。這個突起是否會隨著n的增加而減小？Ø Gibbs現(xiàn)象：隨n趨向于無窮，在函數(shù)的間斷點附近至少存在一點，其函數(shù)的分解誤差收斂于函數(shù)在這點上的跳變值的8.948987%.Ø 這實際上就是說：無論n多大，在間斷點附近一定有一個點，在這個點上誤差值一定接近間斷值的9。Ø 這個結(jié)論是否與上面提到的收斂條件矛盾？兩個論斷并無矛盾。這牽涉到兩個收斂的概念：逐

12、點收斂和方均收斂。具體地說，逐點收斂一定方均收斂，但是方均收斂不一定逐點收斂。這里對其原理不再討論，有興趣的讀者可以參閱有關(guān)數(shù)學(xué)書籍。二、 復(fù)指數(shù)形式的傅利葉級數(shù) 另一種常用的傅里葉級數(shù)展開式是從復(fù)指數(shù)正交函數(shù)集將函數(shù)展開為：其中使用的正交函數(shù)集為復(fù)指數(shù)函數(shù)或者復(fù)正弦函數(shù)：或者記為：根據(jù)前面的公式，可以得到其中的系數(shù)為：l 復(fù)指數(shù)形式的傅利葉級數(shù)的另外一種推導(dǎo)方法是從三角函數(shù)函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)入手：令：，可以得到：令： 通過上式也可以看出，函數(shù)可以分解為一系列的線性組合，其中的系數(shù)為：而：>>,l 兩種推導(dǎo)過程得到的答案應(yīng)該相同。對比兩個系數(shù)計算公式，可以得到：這個等式反映了與、

13、或、之間的關(guān)系。§3-4 周期性信號的頻譜l 周期性函數(shù)可以在傅利葉級數(shù)中展開。如果給定了各個頻率分量的幅度和相位，就可以確定信號。l 頻譜是信號的一種圖形表示方法，它將信號各個頻率分量上的系數(shù)關(guān)系用圖形的方法表示出來。它可以說明信號的特性，而且可以給信號的變換和處理計算帶來很多方便之處。l 頻譜圖有兩個組成部分：Ø 振幅頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的幅度。其橫坐標為頻率，縱坐標各個對應(yīng)頻率分量的幅度。Ø 相位頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的相位。其橫坐標為頻率，縱坐標各個對應(yīng)頻率分量的相位。l 頻譜圖有兩種形式：1、如果用正弦函數(shù)展開式形式的傅里葉級數(shù)，則

14、相應(yīng)的表達式為：則振幅為： 相位為： 按照這種定義做出的頻譜，因為只有(或)時才有意義，做出的圖只有的一邊，所以又被稱為單邊頻譜。例：周期性方波的單邊頻譜。，所以：由此可以作出其頻譜圖2、如果用復(fù)數(shù)正弦函數(shù)展開式形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：的傅里葉級數(shù)表達式，則：Ø 振幅為Ø 相位為。Ø 按照這種定義做出的頻譜在n大于和小于零的兩邊都有意義，做出的圖又被稱為雙邊頻譜。Ø 由于對于實數(shù)信號而言，其頻譜具有對稱性，所以一般情況下對于雙邊頻譜也只要作出(或)部分就可以了。這樣一來的頻譜與單邊的頻譜就有些相似，但是含義不同。在頻譜形狀上，兩者的相位頻譜相

15、同，但是振幅頻譜的幅度大小是單邊譜的一半。Ø 單邊頻譜在物理概念上容易理解，但是雙邊頻譜對于后續(xù)的處理帶來很大的好處Ø 在后面的內(nèi)容中，頻譜往往都是用雙邊頻譜。l 單邊頻譜中，對于(或)點上的幅度頻譜，有一些與其它頻率點上的不同之處：1) 如果認為幅度頻譜表示的是是信號在各個頻率上的信號分量幅度的大小，則信號真正的直流分量應(yīng)該為，頻譜在上的分量的大小應(yīng)該減半。2) 如果認為幅度頻譜表示的是隨頻率變化的規(guī)律，則幅度頻譜不用變化。周期性信號的頻譜有下面三個特點：1. 離散性：它有不連續(xù)的線條組成；2. 諧波性：線條只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍點上；3. 收斂性：實際信號的幅頻特性總

16、是隨頻率趨向無窮大而趨向于零。例：周期性方波脈沖的頻譜：其中：，稱為抽樣函數(shù)。根據(jù)上面的公式可以畫出信號的頻譜。該例中信號的振幅頻譜和相位頻譜可以合二為一。根據(jù)周期性方波的頻譜，我們可以得到關(guān)于信號特性的幾個一般性結(jié)論：1、T增加>Sa()函數(shù)不變>頻譜的包絡(luò)不變，收斂性不變。但是：1）譜線幅度降低；2）譜線密度加大。n 信號周期加大，對振幅的收斂性沒有影響，但會使譜線密度增加。n 當T趨向無窮大時，信號成為非周期信號，這時，譜線幅度降低為無窮小，譜線密度加大，信號分量出現(xiàn)在所有頻率上。2、下降>Sa()尺度擴大>收斂性變差，但是譜線間隔不變。n 信號時間寬度變小，將使

17、信號能量向高頻擴散，信號的頻帶增加。3、信號的頻帶：由于信號的頻譜的收斂性，一般可以在一個信號分量主要集中的頻率區(qū)間內(nèi)研究信號的特性，而忽略信號其它部分的分量。響應(yīng)的頻率區(qū)間就是信號的頻帶。信號的頻帶有很多種定義方法：1) 以信號最大幅度的為限，其它部分忽略不計；2) 以信號振幅頻譜中的第一個過零點為限，零點以外部分忽略不計；3) 以包含信號總能量的90%處為限，其余部分忽略不計；4、信號的邊沿對信號頻帶的影響信號的邊沿變化越快，信號的頻帶越寬。例：三角脈沖函數(shù)的頻譜：（t_rec_p.m）§3-5 非周期性信號的頻譜非周期性信號可以看成周期信號在周期趨向無窮大時的極限。一、從周期信

18、號到非周期信號 從傅利葉級數(shù)到傅利葉變換 根據(jù)周期信號傅利葉級數(shù)展開公式，其各個頻率分量的幅度為：當時，此時：1) 頻譜間隔趨進無窮小，信號在各個頻率點上都有信號分量>頻率取值變成連續(xù)的。2) 在每一個頻率點上的頻率分量大小趨向零。其中第二點給計算帶來了麻煩，所以無法用傅利葉級數(shù)表示非周期信號。這時，為了消除系數(shù)公式中趨向無窮小的部分，定義：這時上式可以得到一個非零的值。令，則，而成為一個連續(xù)的變量，假設(shè)其表示為連續(xù)的變量，則可以得到傅利葉變換公式：n 因為該式有“單位頻帶內(nèi)信號幅度”的量綱，所以被稱為“頻譜密度函數(shù)”。它表示信號在該頻率點上的分量的相對大小，而信號在此頻率點上的實際分量

19、分量大小為零。n 與傅利葉級數(shù)一樣，如果f(t)是實數(shù)函數(shù)，的幅度是的偶函數(shù)，的相位是的奇函數(shù)。二、 傅利葉反變換怎樣用計算f(t)這個公式實際上也表示了將信號分解為一系列復(fù)數(shù)三角函數(shù)的子信號之和（積分）。這個公式也可以表達成為一個在物理上更容易理解的實數(shù)三角函數(shù)形式：三、 正反傅利葉變換由此可以得到正反傅利葉變換公式為：FT：IFT：n 和之間是一一對應(yīng)的，根據(jù)其中的一個可以確定另外一個?？梢哉J為，它們包含了相同的信息，只不過自變量不同，它們是相同信號的不同表達形式。正變換將以時間為自變量的函數(shù)變成了以頻率為變量的函數(shù)，將信號從時域變換到了頻域。所以建立在這種變換上的系統(tǒng)分析方法稱為變換域法

20、。這種變換通常經(jīng)過積分計算得出，所以也稱為積分變換。n 傅利葉變換所牽涉的兩個函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以它完成的是從連續(xù)函數(shù)到連續(xù)函數(shù)的變換；而傅利葉級數(shù)則是完成從連續(xù)函數(shù)到離散函數(shù)的變換。n 傅利葉變換存在的條件依然是Direchlet條件，只不過這時考慮的時間區(qū)間為。n 這里，在頻域中我們用作自變量，目的是為后面引入拉普拉斯變換打下伏筆。四、非周期信號的頻譜這里同樣可以用圖的形式，在變換域中表示信號。響應(yīng)的頻譜圖稱為信號的幅頻特性曲線和相頻特性曲線。五、 傅利葉變換的另外幾種形式：1、將頻域中的自變量從變成，則：FT：IFT：或：FT：IFT：這種形式上正反傅利葉變換形式上比較對稱。但是使用時

21、并不方便。2、一些文獻上也可以見到另一種形式的傅利葉變換公式：FT：IFT：§3-6 常用信號的F.T常用信號的FT見P125129表?，F(xiàn)在將一些結(jié)論列舉如下：1、 沖激函數(shù)：2、 單邊指數(shù)信號：3、 雙邊指數(shù)信號：以上兩個信號的FT只在時存在。4、 門函數(shù)：5、 階躍信號：6、 直流：Ø 階躍信號和直流信號并不滿足絕對可積條件，嚴格地說不存在傅里葉變換。但是通過引入沖激函數(shù)，也可以找到其傅里葉變換的表達式，從而也可以用傅里葉變換的方法進行分析；§3-7 周期性信號的傅利葉變換周期信號只是一個相對的概念。如果忽略其周期性，它應(yīng)該也可以被看成是非周期信號處理，進行傅

22、里葉變換。但周期信號是功率信號，不滿足絕對可積條件。但是通過引入沖激函數(shù)，一樣可以找到傅里葉變換。1、復(fù)正弦信號的傅里葉變換：根據(jù)這個變換以及后面要證明的傅里葉變換的線性特性，可以推導(dǎo)出： 2、 周期性信號的傅里葉變換周期性信號可以展開成傅里葉級數(shù)：由此可以得到周期性信號的傅里葉變換為: 可見，周期性信號的傅里葉變換是一系列間隔均勻的沖激序列。 3、脈沖信號（FT為）按照周期T進行周期化后信號的FT：（這里假設(shè)周期化后各個脈沖沒有重疊）f(t)周期化后可以表示成為傅利葉級數(shù)：所以：其中：所以：n 通過查表，可以很方便地得到：1) 非周期信號的FT2) 周期信號的FT3) 周期信號的傅利葉級數(shù)對

23、照傅利葉級數(shù)和傅利葉變換的定義，可以得到： §3-8 傅利葉變換的性質(zhì)1、 線性特性：2、 延時特性：3、 移頻特性：移頻特性與延時特性互成對偶。推論：4、 尺度變換：n 信號的寬度沿時間軸壓縮a倍，信號的頻率寬度B沿頻率軸擴展a倍。脈沖信號的寬度和頻帶寬度B的乘積等于常數(shù)。n 數(shù)據(jù)傳輸中總希望信號的脈沖寬度盡可能小，占用的信號頻帶同時也盡可能小。但從該性質(zhì)可以看出，信號脈沖寬度的頻帶寬度是一對矛盾。5、 奇偶虛實性假設(shè)：其中：，為的實部；，為的虛部；，為的幅度；，為的相角；1） a、 b、c、2） 如果信號f(t)是實數(shù)信號，則：a、是的偶函數(shù)；是的奇函數(shù)； 或：b、是的偶函數(shù)；是

24、的奇函數(shù)；3） 如果是實偶函數(shù)，則也是實偶函數(shù)；如果是實奇函數(shù)，則是虛奇函數(shù)；4） 思考：如果是虛函數(shù)，情況怎樣？5） 對稱特性如果，則：7、 微分特性如果存在并且滿足Direchlet條件，則：推廣：8、 積分特性如果，或存在且有限，則上式可以簡化為：9、 頻域微積分或：10、 卷積定理 利用這十個性質(zhì)，結(jié)合傅利葉變換表，可以求解很多工程上的信號的傅利葉變換。§3-9 能量頻譜與功率頻譜能量頻譜和功率頻譜從能量或功率的角度研究信號在各個頻率分量上的能量或功率，以頻譜的形式表達出。這種頻譜對確定性信號意義不大，對于隨機信號有很大意義。但為了方便討論，這里我們從確定性信號的角度進行研究

25、。一、 周期性信號的功率譜周期性信號的能量無窮大，無法從能量上進行研究。但是它的功率有限，可以從功率上進行研究。1、 周期性信號的功率譜：將周期性信號在各個頻率上的分量的功率大小用圖的方法表示出。橫坐標：頻率；縱坐標：信號分量的功率。n 對于單邊功率譜，在每個不等于零（非直流）頻率上子信號功率。直流信號的功率為n 對于雙邊功率譜，在每個頻率點上子信號功率n 功率譜只有大?。ǚ龋?，沒有相位。2、 Parseval定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中分解后各個子信號功率的和。二、 能量信號（脈沖信號）的能量譜1、 能量譜1） 能量信號的功率為零，能量為有限，只可以從能量角度研究其分布

26、；2） 信號在各個頻譜上的實際分量大小為無窮小，只能用能量密度譜描述描述單位頻帶內(nèi)的信號能量。信號總能量：由此定義單位頻帶內(nèi)信號的（1） 雙邊能量譜為：（2） 如果信號是實數(shù)信號，則還可以得到其單邊能量譜為：n “單位頻帶”指的是什么頻率：a、 一般情況下指角頻率b、 也可以用一般頻率f（單位Hz）此時：由此可以得到雙邊能量譜：和單邊能量譜：n 能量譜同樣只有大小（幅度），沒有相位2、 Rayleigh定理：即：信號在時域和頻域的能量相等三、 脈沖信號的脈沖寬度和頻帶寬度對于一般的信號，可以通過其頻譜密度函數(shù)或功率譜函數(shù)定義其頻帶寬度，其定義方法與§3.4節(jié)中討論的相似。1、 脈沖寬

27、度：脈沖的絕大部分能量集中的時間區(qū)間2、 頻帶寬度：脈沖的絕大部分能量集中的頻率區(qū)間3、 對于一種脈沖而言，Matlab函數(shù)1、 產(chǎn)生信號sincossinc squarechirp(t,f0,t1,f1)x = square(t)產(chǎn)生周期為2的方波信號x = square(t,duty)，占空比為duty的方波x = sawtooth(t)產(chǎn)生周期為2的鋸齒波或三角波x = sawtooth(t,width)2、 FFT和ifft，fftshift，ifftshift這里l Y = fft(X)使用快速傅立葉算法計算，返回序列X的DFT（離散傅立葉變換）。如果X是矩陣，則按列求傅立葉變換。l

28、 Y = fft(X,n)返回X的n點DFT。如果X的長度比n小，則自動在X末尾補零；如果X長度比n大，則進行截短操作。如果X是矩陣，則對其列長度進行自動調(diào)整。l Y = fft(X,dim)Y = fft(X,n,dim)對X的第dim維進行DFT· y = ifft(X) · y = ifft(X,n)· y = ifft(X,dim)· y = ifft(X,n,dim)舉例：1、一個頻率為50Hz的正弦信號求其FFT。不截斷和截斷的情況f=50;fs=10*f;t=0:1/fs:1;x=sin(2*pi*f*t);y=fft(x);y2=fft(

29、x,256);figure;subplot(3,1,1)plot(t,x);subplot(3,1,2)plot(abs(y);subplot(3,1,3)plot(abs(y2);若畫圖改成用stem函數(shù)2、分析截短對fft結(jié)果的影響對連續(xù)的單一頻率周期信號 按采樣頻率 采樣，截取長度N分別選N =20和N =16，觀察其DFT結(jié)果的幅度譜。 解 此時離散序列 ，即k=8。用MATLAB計算并作圖，函數(shù)fft用于計算離散傅里葉變換DFT，程序如下： k=8; n1=0:1:19; xa1=sin(2*pi*n1/k); subplot(2,2,1) plot(n1,xa1) xlabel(&

30、#39;t/T');ylabel('x(n)'); xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1); subplot(2,2,2) stem(n1,xk1) xlabel('k');ylabel('X(k)'); n2=0:1:15; xa2=sin(2*pi*n2/k); subplot(2,2,3) plot(n2,xa2) xlabel('t/T');ylabel('x(n)'); xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2);      &

31、#160;      subplot(2,2,4) stem(n2,xk2) xlabel('k');ylabel('X(k)');               計算結(jié)果示于圖2.1，(a)和(b)分別是N=20時的截取信號和DFT結(jié)果，由于截取了兩個半周期，頻譜出現(xiàn)泄漏；(c) 和(d) 分別是N=16時的截取信號和DFT結(jié)果，由于截取了兩個整周期，得到單一譜線的

32、頻譜。上述頻譜的誤差主要是由于時域中對信號的非整周期截斷產(chǎn)生的頻譜泄漏。 3、分析FFT所求結(jié)果的對稱性例：序列x1=1 2 3 4 5 6 7 ,x2=1 2 3 4 5 6 7 8,分別求其fft，看結(jié)果如何x1=1 2 3 4 5 6 7 ;x2=1 2 3 4 5 6 7 8;y1=fft(x1);y2=fft(x2);z1=fftshift(y1);z2=fftshift(y2);figure;subplot(2,2,1)stem(abs(y1);grid onsubplot(2,2,2)stem(abs(z1);grid onsubplot(2,2,3)stem(abs(y2);grid onsubplot(2,2,4)stem(