空間向量在立體幾何中的應用

1、空間向量在立體幾何中的應用立體幾何是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，它既可以培養(yǎng)學生的空間想象能力，又可以 訓練學生的邏輯思維能力，是高考重點考查的內(nèi)容之一.由于立體幾何的一些圖形不直觀，空間線面關系錯綜復雜，常需要經(jīng)過邏輯分析 才能精確確定，加上不少學生的觀察分析能力和空間想象能力不強，因此立體幾何就 顯得相對難學向量作為一種工具，在數(shù)學的很多分支中都有應用，立體幾何中的角 度、長度、垂直和平行問題也可以借助于空間向量來解決?？梢越柚诳臻g向量將幾 何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可以避開在立體圖形中找角或距離的各種關系，將抽象的圖 形關系轉(zhuǎn)化為具體的計算問題通過一輪復習，學生已經(jīng)掌握了一定的基礎，但在以下三個

2、方面還有不足：（1）算不準：常出現(xiàn)某個坐標寫錯或平面的法向量算錯的情況；（2）在非常規(guī)的圖形中不會建立合適的空間直角坐標系；（3）在題設中坐標有參數(shù)時容易出錯.本節(jié)課就圍繞 著這三個方面進行選題與設計，力求通過復習，進一步鞏固基礎知識，熟練掌握各種 公式的原理和應用，強化空間角和距離的運算，以具體的幾何體為載體，引導學生學 會在非常規(guī)的空間圖形中建立空間直角坐標系，解決含有參數(shù)的坐標問題教學目標1:進一步完善知識體系，熟練掌握用向量法證明空間中的線面關系通過基礎題讓學生掌握用向量法證明線面關系的原理和過程.例1： （2012遼寧高考題改編）如圖，直三棱柱 ABC-ABC'中,BAC =

3、90，AB =AC h2AA，點 M ,N 分別為 AB 和 BC'的中占八、（1）證明：MN/平面 AACC '；（2）證明：二面角 A'-MN-C為直二面角.解：以A為坐標原點，分別以直線AB,AC,AA'為x軸，y軸，z軸建立直角坐標系O-xyz， 如圖所示設AA'=1,則AB =AC =2于是 A(0,0,0), B( .2,0,0),C(0, .、2,0), A(0,0,1), B ( . 2,0,1), C (02,1) 則MN -(O-2,1)，平面AACC的一個法向量為r -(1,0,0)所以M （N2 2 1故MN r -0 , 又 M

4、N二平面AACC'，因止匕MN/平面AACC(2)設m=為,乙 是平面AMN的法向量,nMN =0_2yi .丄乙=o2 2因為m= -3 1 2 = 0，故A'-MN -C為直二面角.建議：(1)本題是基礎題，可以用來訓練向量法證明空間線面關系；(2) 本例相對簡單，最大的問題是“算不對”，可找一中等程度的學生上講臺板演，由 教師指出解答過程中的問題，指導學生完成規(guī)范的解答 解答過程中，總結平面法向 量的求法，總結線、面間的平行或垂直關系的證明方法 (3) 需要提醒學生，類似問題用空間向量法不一定比傳統(tǒng)方法簡單，第一問連接B O或取AB 的中點用傳統(tǒng)方法也很簡單，復習應強調(diào)各

5、種方法的靈活運用.教學目標2:熟練掌握用向量法求兩條異面直線所成角、線面角、二面角以及點到 平面的距離，通過該例掌握求各種空間角和空間距離的方法和原理。例2：(原創(chuàng))已知三棱柱ABC -AiBG的側棱與底面邊長都為 2，Ai在底面ABC上的射影為BC的中點，貝U (1)求異面直線AB與CCi所成的角的余弦值AfCi求直線AAi與平面Ai BC所成角；z(3)求二面角A, - BC - 的平面角.求點Bi到平面ABCi的距離.A解：建立圖示空間直角坐標系，則 A(0,.3,0)B(i,0,0), C(-1,0,0)，A(0,0,i),利用 AiBi 二 AB，AG 二 AC，AB AA1AB A

6、A可得 Bi(1,3,1) , Ci(-1, .3,1)(1) 解法 1 AB =(1, 3,0) , CCi =(0, . 3,1),故 cos ： AB,CCi -故異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為-4解法2:通過分析可知.A.AB即為異面直線AB與CC1所成的角，可以用線面角中的“三余弦定理”，得 cos AABhCOS. A1AO cos BA =-224(2) 可求得平面ABC的一個法向量為(0,1,0)，AA =(0, .3,1)二 sin B = cos < m, AA，故直線 AA-)與平面 A1BC 所成角為 60°.可求得平面BCC1B1的一個法向量；

7、=(0,1,-.3)，平面A1BC的一個法向量為1m二(0,1,0)，故cos ： m, n，由圖可知二面角 A, - BC - B1為銳角，故二面角2-BC - 3的平面角為60o.(4) 可求得平面 ABC1 的一個法向量為 r 二 C.3,1,-3、3)，B1B = (0, - 3,-1)故點B1到平面ABC1的距離為建議：(1)本例設計得比較簡單，目的是為了讓學生熟練掌握用坐標法求空間中的角 和距離.解題之前，先引導學生復習坐標法求角和距離的原理和公式，最關鍵的是準 確熟練的計算，在講清原理后，可分別讓學生上黑板演算這四個小問題，根據(jù)學生解 答的情況，指出存在的問題與改進的方法(2)

8、特別強調(diào)，兩條異面直線所成角范圍為(0°,90o，因此角的余弦值應為非負數(shù)； 兩個半平面所成二面角和這兩個半平面法向量所成角是相等或互補的關系，需要考慮的是余弦值要不要負號的問題，通過觀察圖形可作出判斷.二面角為銳角則余弦值為 正值；二面角為鈍角則余弦值為負值(3) 第一問用三余弦定理可以速解，但是向量法是通性通法，適用于所有可以建系的 立體幾何問題 本例還可以改為“點A在底面ABC上的射影為BC邊中線的中點”，變化一個位置 建系，再次考查學生的解題能力教學目標3:訓練學生在斜三棱柱中建立空間坐標系解題；通過多種思路解題， 訓練一題多解，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力例3. (2012全國大

9、綱卷第16題)：三棱柱ABC - ABQ中，底面邊長和側棱長都相等，.BAAi =/CAAi =60，則異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為.解法一：注意到.BAC/BAA - CAA =60，可知從點A處的三條棱的長度相i等，且兩兩所成角都為60o，這是就可以用AA,AB,AC表示所 有的向量，就可以用純向量的方法來求兩條異面直線所成的角不妨設底面邊長和側棱長都為1，設AAi = a,TTTTAB =b,AC =c，貝UabcT TTT TTTT T TTTTTABi 二 a b,BCi 二 a - b c,貝U ABi BCi = (a b) (a - b c)二 i,ABi =13,

10、BG =T2,T T故 cos ： AB" B。=TTABiBCiT TABi BCii 63.26ALAIc/ZczCiAy故異面直線ABi與BCi所成角的余弦值為&解法2:注意到 AiAB和.AiAC都是等邊三角形，可知 AB二AiC且都等于底邊和側棱長，那么三棱錐Ai-ABC的各邊都相等，就是一個正三棱錐，因此，A在底面的射影是等邊 ABC的中心，不妨設為點O.如圖，選底面正三角形的中心O為坐標原點，OAi為z軸，AO為y軸，過O點且平行于CB 方向為x軸，不妨設底面邊長和側棱長為i，則易得J3iV3i43J6»/A(0,0), B(r ,0)C(-;,0)

11、Ai(0,0,)，那么326263該怎么求出點Bi和點Ci的坐標呢？ 可以由AiB = AB , AG = AC得i運J6<r）,Cl2<TT），那么AB1（丄,葺，出，BCif1,Z仝）,26333f fcos ： ABi, BCi 二TTABiBCiABi BCi= 3、2詩，故答案為甞2解法3:再補上同樣的一個三棱柱（如圖）可知.ABiC2或其補角為異面直線 ABi與BCi所成角，根據(jù)分析可知三棱錐 A - ABC是正三棱 柱，貝U AA _ BC，故四邊形BCCiBi為矩形，不 妨設底面邊長和側楞長為i,則ABi3, BG - 2 ,在.AA2C2中由余弦定理可知 AC 7

12、，在ABiC2已知三邊的長分別為、3、2 J，故我們再次用余弦定理，有cos ABC2 =些盧 J =223；，故異面直線AB,與BC所成角的余弦為于 建議：（i）本例稍有難度，三種解法各有千秋，可從不同角度訓練學生的思維能力； 解法i是純向量的方法，這種方法有很大的局限性，必須能找到合適的基底，而且這種方法在求線面角、二面角或點到直線距離的時候就顯得非常麻煩，這種方 法講解時主要引導學生發(fā)現(xiàn)該題目用這種方法的特征：從同一點處的三條棱的長 度都知道，且兩兩所成角都知道；解法3用到了立體幾何中常用的補形方； 解法2 是最常用的方法，是“通法”（3）本題也可以改編成變式題，如求“ ABi與底面AB

13、C所成角的正弦值”,或?qū)l件改為“底面邊長相等，側棱長是底面棱長的 2倍”，就可以利用解法2訓練多題一解.教學目標4:學會在非常規(guī)的立體圖形中建立合適的空間直角坐標系并表示出各 點的坐標；引導學生解決坐標中含有未知數(shù)的問題 .例4:( 2011全國大綱卷第19題改編)如圖，四棱錐S-ABCD中，AB/CD,BC_CD，側面SAB為等邊三角形， AB二BC = 2,CD二SD = 1.(I)證明：SD_平面SAB;(U)求點A到平面SBC的距離.TTAS=BS由得設 D(1,0,0),則 A(2,2,0)、(I) AS =(x -2,y -2,z)x - 2)2 (y - 2)2 z2x2 (y

14、 - 2)2 z2 ,故 x = 1.由 Ds =1 得 y2 +z2 =1,T又由BS =2得2 2 2x (y - 2) z =4,解：以C為原點,射線CD為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系 C-xyz.即 y2 z2 -4y 1 = 0,故1 、3'33'3 3'1- 3S(1EAS ","BS珂匸三何化盲),T TT TCDS AS =0, DS BS =0,故 DS _ AS, DS _ BS ,又 AS BS = S 所以SD _平面SAB.3 +V30m n P = 0,2 22n = 0(n )設平面 SBC的法向量 a=(

15、m.n, p),則 a BS = 0,a CB = 0 .又 BS =(1,-3,A),CB =(0,2,0),故2 2得 a =(-，3,0,2),又 AB =(-2,0,0).2.32一21fa .Ab故點A到平面SBC的距離為_十 =J77建議：(1)本例是不規(guī)則的圖形，建系設點相對較難，教師可讓學生先探索指出難點所在以及如何突破難點. 實際上，也可以以S為坐標原點，SA為x軸，SD為z軸，平面SAB為xoy平面,J1 J則易得代B, D,S四點坐標，然后根據(jù)CD = 1 BA，可得C點坐標，這種方法可讓學2生自己動手計算，教師不宜包辦.(3)本題也可進行改編，如將側面 SAB改為等腰直

16、角三角形，類似的題型，可用來練 習非常規(guī)圖形中的建系和求點的坐標問題.教學目標5:訓練坐標法在立體幾何中的綜合運用，訓練學生學習簡便設點坐標的方 法和處理坐標中有未知數(shù)的問題.例5：(2010全國大綱卷第19題)如圖，四棱錐S-ABCD中，SD _底面ABCD，AB / DC AD 丄 DC，AB = AD =1，DC =SD =2，E 為棱 SB上的一點，平面 EDC 丄 平面SBC.(I )證明：SE = 2EB(U)求二面角A-DE-C的大小.解：(1)以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，DS為z軸構建空間直角坐標系，則可 得 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0) , C

17、(0,2,0)，S(0,0,2)，設 S SB，則 E(;,2-2)， 由平面EDC _平面SBC，則這兩平面的法向量互相垂直.可求得平面EDC的法向量2為 m =(2 -2,0, )，平面 SBC 的法向量為 n 二(1,1,1)， mn = 0 得二T 2 TSE SB，3由(1)可知故SE =2EB.32 2 2E(-,-,-)，由(1)可得平面EDC的一個法向量為 小珂1,0,-1)，3 3 3過計算可得ADE的一個法向量為n2=(0,1,-1)，cos5,n2| q | |n2 | 2 “22FTT即5小2，由圖形可知二面角A DEC為鈍角，故二面角ADEC的大小為3n 2兀.33建議：(1)本題建系比較簡單，難點是如何表示出線段 SB上的點E的坐標.如果分別設出橫坐標縱坐標豎坐標，貝用顯麻煩，可利用定比分點的原理設SESB，就可將E點坐標只用一個參數(shù)表示出來.通過本題可知，點的坐標中出現(xiàn)參數(shù)，也 不影響求值，只要根據(jù)條件將參數(shù)解出來即可(2)讓學生明白，用類似的方法，在類似的幾何圖形中，任意一點的坐標都可以表 示出來. 可先讓學生自己探討如何寫出E點坐標，再推出定比分點的原理方法.(4) 本題也可將“平面EDC丄平面