空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)一.知識要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 （2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）4b運(yùn)算律：加法交換律：abba加法結(jié)合律：（a b） c a （b c）數(shù)乘分配律：（a b） a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3.共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直 線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作a / b。（b工0

2、）, a/b存在實數(shù) 入使a = 7b。ACxOAyOB（其中 x y 1）（2）共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=>AB<=> 0C（4）與a共線的單位向量為4.共面向量（1）定義:般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定x, y使i向量定理：如果兩個向量不共線, xa yb。p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù)（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面v=>AP xAB yAC<=> OP xOA yOB5.空間向量基本定理：如果三個向量 個唯一的有序?qū)崝?shù)組x,

3、 y, z，使p xC （其中 x y z 1）,b,C不共面，那么對空間任yb zc。P，存在一叫做空間的一個基底,a；,c不共面，我們把若三向量 空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底。推論：設(shè)O，A，B,x, y,z，使 Op叫做基向量,至的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)6.空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O xyz中，對空間任一點(diǎn)a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y,z），使 OA xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組（X, y, z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O xyz中的坐標(biāo)，記 作A（x, y,z）， x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)

4、，z叫豎坐標(biāo)O注：點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)為（x,y,-z）. 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為（0,y,z）2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位正交基底，用i,j,k表示?？臻g中任一向量a xi yj（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：。若 I a Gad），b Qdd），則ta bZk 二(x,y,z)佝b1 , a2b2 , a3b3)，(sh ga? b2,a3 b3)， b晌 azd asd，bai, a2, a3)( R

5、)，b2,a3bj(a ba1b1 a2b20。aiR)，AB (X2 人2 y1,Z2 乙)。 若 A（xi，yi，Zi）， B（X2，y2，zJ，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起 點(diǎn)的坐標(biāo)XiX2% y2 ZiZ2 定比分點(diǎn)公式：若A（Xi，yi，zi）， ap pb，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2產(chǎn) 2尸 2）。推導(dǎo)：設(shè) P（x,y,z）則（xX1,y%,zzj化x,y2y,Z2z）,XiX2 yiy2ZiZ21 1 1顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時，P（“魚,必 乞，互 互）2 2 2 ABC中，A （xi，yi，w）月化小么山區(qū)小乙）,三角形重心P坐標(biāo)為乙 Z2

6、 Z3 ）2丿XiX2X3yiy2y3P（ 3'2厶ABC的五心:Z2Z3內(nèi)心外心垂心重心中心:7.P：內(nèi)切圓的圓心,P:外接圓的圓心,角平分線的交點(diǎn)中垂線的交點(diǎn)。AP (AB AC)(單位向量)ABACP：高的交點(diǎn)：PA PB PA PC|pa| |pb |pc|(移項，內(nèi)積為0,則垂直)1 - (AB AC)3PB PCP:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比） AP則|a|、卄r0彳工式:若 a (ai,D2,b3),2 a?2 a32 , |b| vb D（5）夾角公式：cos2 2 2 DiD2D3qQa2b2asbs疔2。|a| |D| ； Sh2 a22 as Di2 D22

7、D3 ABC中AB ? AC 0<=>A為銳角AB? AC 0 V=>A為鈍角，鈍角 (6)兩點(diǎn)間的距離公式： 若 A(Xi,yi,zJ , B(X2,y2,Z2), 則 |AB|、ab'、AB<(X2 X1)2 (y2 yj2 (Z2 Z1)2，或 dA,B.(X2 Xi)2 (y2yi)2 (Z2乙)2空間向量的數(shù)量積。（1）的夾角及其表示：已知兩非零向量，貝y AOB叫做向量，顯然有（2）向量的模：設(shè)O（3）向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則| a | | b | cos a b 由 |b| cos a,b空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：,b，在空間任取一點(diǎn)o，作,b

8、 ；且規(guī)定a,b，即（5）（| a |cos與b的夾角，記作;若蟲-，則稱a與b互相垂直，記作:,b b,a，則有向線段oa的長度叫做向量a的長度或模，記作：兇。 ,b叫做a,b的數(shù)量積，記a,e 。 a D積運(yùn)算律：I（d）。 a ba b °。 | a |2 a a ab ba（交換律）。 a (b c) a ba c （分配律）。不滿足乘法結(jié)合率：（a b）c a（b c）.空間向量與立體幾何1.線線平行 兩線的方向向量平行1-1線面平行 線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行 兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直 線與面的法向量平行

9、2-2面面垂直 兩面的法向量垂直3線線夾角（共面與異面）0°,90°兩線的方向向量n1, n2的夾角或夾角的補(bǔ)角,coscos n1,n23-1線面夾角0°,90°:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝S取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sincos AP,n3-2面面夾角（二面角）0°,180°:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量口小2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.coscos n1, n24.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P x°,y。到平面

10、 的距離：在平面 上去一點(diǎn)Q x, y ,得向量pQ;；計算平面的法向量n ;. hn|4-1線面距離（線面平行）:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2面面距離（面面平行）:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1.基本運(yùn)算與基本知識（） 例匕已知平行六面體一ab bc,； ab Ad ；-23體_ABCD二A BCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。2） AB AD AA ；T T T（AB AD AA）。例2.對空間任一點(diǎn)0和不共線的三點(diǎn)A, B,C，問滿足向量式： OP xOA yOB zOC （其中x y z 1）的四點(diǎn)P,代B,C是否共面?例 3 已知空間三點(diǎn)（0，2, 3），B （-2, 1, 6）,

11、 C （1,- 1, 5） 求以向量AB,AC為一組鄰鄰邊的平行四邊形的面積 S;若向量a分別與向量aB, ac垂直，且也|= 3，求向量a的坐標(biāo)。2.基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3.坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4.幾何法例4.OAB 60；,如圖，在空間四邊形 OABC中，OA 8, AB 6, AC 4 , BC 5, OAC 45；,說明：由圖形知向量的夾角易出錯，女口135：易錯寫成OA,AC 45，切記!例5.長方體ABCD A,B1C1D1中，AB BC 4 , E為A6與B1D1的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC1與QC的交點(diǎn)，又AF BE，求長方體的高BBi?！灸M試題】1.已知

12、空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,Bp，設(shè) 式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）AB BC Cd ；（2） AB j（BD BC） ；（3） aG （Ab(BD2/知平行四邊形j ABCp，從平面OE kOAOF k0B,0G kOC.OH kOD。（1）求證：四點(diǎn)E,F,G, H共面；（2）平面AC /平面EG。M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá)AC）。AC外一點(diǎn)0引向量。13.如圖正方體ABCD A3GD1中，B1E1 DF - ABj，求BE1與DF“所成角的余弦。4D.5.已知平行六面體ABCD ABCD中,AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90：, BAA DAA 60 ：

13、，求 AC 的長。參考答案1. 解：如圖,(1) AB BC CD ac cD aD；(2) AB (BD BC) AB -BC 1 bD Ab Bm mG AG ；(3) AG !(Ab Ac) ag AM mg22. 解：(1)證明/ EGOEOC k Ok(OB OA OD:T四邊形ABCD是平行四邊形，二(OC oA) kACoA) oF oEkkeF e,f,g,h 共面；(2)解： EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3.aD)共EF； OF oE k(OB OA) kAB,又eG解：不妨設(shè)正方體棱長為1,建立空間直角坐標(biāo)系O則 B(1,1,0), be1 、，i |bE| |Df1BE? Df! 0 0cos話,忒3Ei(1,：1),4(0, !,i), df!4邁 V，1 1 )44151617 1744.分析：；AB (D(0,0,0),1化,1),1(0,4,1)，151 11615。17cos BAC123,2),2, 1,3),AC(1,S | aB|AC'Z),則 a0,|空3/ BAC = 60 設(shè)a* AC解得5.解：2 2