圓的方程經(jīng)典例題

1、高中數(shù)學圓的方程典型例題類型一：圓的方程(1)；示準方程,圓心a,b ,半徑為r；點 M (xo,yo)與圓(x222.a) (y b) r的位置關(guān)系:當當當般方程當當當，點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)時，方程表示圓，此時圓心為時，表示一個點；時，方程不表不任何圖形。(3)求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a, b, r;若利用一般方程，需要求出D, E, F;另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。1 .若過點P(a,a)可作圓x2+y2-2ax+a 2+2a-3=0的兩條切線，則實數(shù)a的取

2、值范圍是 2 .圓x2 + y22x+6y+5a=0關(guān)于直線y= x+2b成軸對稱圖形，則 ab的取值范圍是()A.(巴 4)B.(巴 0)C .(_4,+8) D. (4, +8)3 .求過兩點A(1,4)、B(3,2)且圓心在直線y 0上的圓的標準方程并判斷點P(2,4)與圓的關(guān)4 .求半徑為4,與圓x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直線y 0相切的圓的方程.5 .求經(jīng)過點A(0,5),且與直線x 2y 0和2x y 0都相切的圓的方程.6 .已知直線l :x+y-2=0和圓C:x2+y2-12x-12y+54=0,則與直線l和圓C都相切且半徑最小的圓的標準 方程是.7、設圓滿足：(

3、1)截y軸所得弦長為 2; (2)被x軸分成兩段弧，其弧長的比為3:1 ,在滿足條件(2)的所有圓中，求圓心到直線l: x 2y 0的距離最小的圓的方程.8.已知點P(2,2),點M是圓Q:x2+(y-1) 2=錯誤！未找到引用源。上的動點，點N是圓Q:(x-2) 2+丫2=錯誤！未找到引用源。 上的動點，則|PN|-|PM|的最大值是()A.錯誤！未找到引用源。-1B.錯誤！未找到引用源。-2 C.2- 錯誤！未找到引用源。D.3-錯誤！未找到引用源。類型二：直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：(1)設直線l : Ax By C 0 ,圓C : x a 2 y b 2 r2 ,圓

4、心C a,b到l的距離為 d也Bb q ,則有"1'A2 B2(2)過圓外一點的切線： k不存在，驗證是否成立 k存在，設點斜式方程，用圓心到該直線距 離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點的切線方程：圓 (x-a) 2+(y-b) 2=r2,圓上一點為(x。，y。)，則過此點的切線方程1、已知直線 瓜 y 2J3 0和圓x2 y2 4 ,判斷此直線與已知圓的位置關(guān)系.2：直線x y 1與圓x2 y2 2ay 0 (a 0)沒有公共點，則a的取值范圍是 3 ：若直線y kx 2與圓(x 2)2 (y 3)2 1有兩個不同的交點，則k的取值范圍 是 .4 .圓x

5、2 + y22x2y+1=0上的動點 Q到直線3x+4y+8= 0距離的最小值為 .5 .圓（x 3）2 （y 3）2 9上到直線3x 4y 11 0的距離為1的點有幾個?6 .、若直線y x m與曲線y J4 x2有且只有一個公共點，求實數(shù) m的取值范圍7 .已知圓M：x2 （y 2）2 1,Q是x軸上的動點，QA QB分別切圓M于A, B兩點（1）若點Q的坐標為（1,0）,求切線QA QB勺方程;（2）求四邊形QAMBJ面積的最小值;若AB4.2,求直線3MQ勺方程.類型三：圓與圓的位置關(guān)系通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。幾同人222222僅圓。：x a y b

6、r , C2 : x 82 y b2 R兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當時兩圓外離，此時有公切線條；當時兩圓夕卜切，連心線過切點，有夕卜公切線兩條，內(nèi)公切線一條;當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線;當時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當時，兩圓內(nèi)含；當d 0時，為同心圓。注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切,兩圓心與切點共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點1、判斷圓C1：x2 y2 2x 6y 26 0與圓C2:x2 y2 4x 2y 4 0的位置關(guān)系，2：圓x2 y2 2x 0和圓x2 y2

7、 4y 0的公切線共有 條。8 .圓x2+y22x 5=0與圓x2 + y2+2x 4y4=0的交點為 A, B,則線段AB的垂直平分線的方程 是（）.A. x + y1 = 0B. 2x y+1=0 C . x 2y+ 1 = 0D. x-y+ 1 = 04：求與圓x2 y2 5外切于點P（ 1,2）,且半徑為2/5的圓的方程.5.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx+2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最小值是（）A.6.43已知圓C :5 B. 一4 (x 2)23 c. D.54,相互垂直的兩條直線5311、

8、l2 都過點 A(a,0).（I）若11、l2都和圓C相切，求直線11、l2的方程；（n）當a 2時，若圓心為 M（1,m）的圓和圓C外切且與直線11、12都相切，求圓 M的方程;（出）當a 1時，求11、l2被圓C所截得弦長之和的最大值.類型四：切線方程、切點弦方程、公共弦方程1.已知圓O: x2 y2 4,求過點P 2,4與圓O相切的切線.2.兩圓 C1: x2y2D1xE1yF10 與 C2: x2 y2D2x E2y F20相交于A、B兩點,求它們的公共弦 AB所在直線的方程.3、過圓x2 y2 1外一點M (2,3),作這個圓的兩條切線 線AB的方程。MA、MB ,切點分別是A、B

9、,求直4.求過點M(3,1),且與圓(x 1)2 y24相切的直線l的方程.5、過坐標原點且與圓x2y2 4x 2y 5 0相切的直線的方程為 2類型五：弦長、弧問題1、求直線l:3x y 6 0被圓C：x2 y2 2x 4y 0截得的弦AB的長.2、直線J3x y 2J3 0截圓x2 y2 4得的劣弧所對的圓心角為3、求兩圓x2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的公共弦長4.過點A(11,2)作圓x2+y2+2x4y164=0的弦，其中弦長為整數(shù)的共有 ()A. 16 條 B. 17 條 C. 32 條 D. 34 條類型六：圓中的對稱問題 221、圓x y 2x 6y 9 0關(guān)于直線2

10、x y 5 0對稱的圓的方程是 2 自點A 3,3發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，反射光線所在的直線與圓C: x224、已知點 A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2)，點 P 在圓 x2 y24 上運動，求 pa | pb | PC 的最大值和最小值.類型八：軌跡問題1.設A為圓(x1)2+y2=1上的動點，PA是圓的切線，且|PA = 1,則P點的軌跡方程是()A. (x- 1)2+y2=4B . (x1)2+y2 = 2 C . y2=2xD. y2= - 2x y2 4x 4y 7 0相切(1)求光線l和反射光線所在的直線方程.(2)光線自A到切點所經(jīng)過的路程.類型七：

11、圓中的最值問題 221：圓x y 4x 4y 10 0上的點到直線x y 14 0的最大距離與最小距離的差是 2 (1)已知圓O1：(x 3)2 (y 4)2 1, P(x,y)為圓O上的動點，求d x2 y2的最大、最小值.(2)已知圓O2：(x 2)2 y2 1, P(x, y)為圓上任一點.求 "2的最大、最小值，求x 2yx 1的最大、最小值.3 .已知圓 Q x2+y2= c(0< cw 1),點Ra, b)是該圓面(包括。圓周及內(nèi)部)上一點，則 a+b+c 的最小值等于.2、已知線段 AB的端點B的坐標是(4, 3),端點A在圓(x 1)2 y2 4上運動，求線段

12、AB的 中點M的軌跡方程.4 .如圖所示，已知圓O： x2 y2 4與y軸的正方向交于 A點，點B在直線y 2上運動，過B做 圓O的切線，切點為 C ,求 ABC垂心H的軌跡.2225 .已知圓的萬程為x y r，圓內(nèi)有定點P(a,b),圓周上有兩個動點 A、B ,使PA PB, 求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.練習：1、由動點P向圓x2 y2 1引兩條切線PA、PB ,切點分別為A、B,APB=600,則動點P的軌跡方程是.2、已知定點B(3,0),點A在圓x2y21上運動,AOB的平分線交 AB于點M ,則點M的軌跡方程是.3.已知直線 y kx 1與圓x2 y24相交于 AB兩點，以O

13、A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB ,求點P的軌跡方程類型九：圓的綜合應用例25、已知圓x2 y2 x 6y m 0與直線x 2y 3 0相交于P、Q兩點，。為原點，且OP OQ,求實數(shù)m的值.例26、已知對于圓x2 (y 1)2 1上任一點P(x,y),不等式x y m 0恒成立，求實數(shù) m的取值范圍.例27有一種大型商品，A、B兩地都有出售，且價格相同.某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：每單位距離 A地的運費是B地的運費的3倍.已知A、B兩地距離為10公里，顧客選 擇A地或B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低.求 A、B兩地的售貨區(qū)域 的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應如何選擇購貨地點.分析：該題不論是問題的背景或生活實際的貼近程度上都具有深刻的實際意義和較強的應用意 識，啟示我們在學習中要注意聯(lián)系實際，要重視數(shù)學在生產(chǎn)、生活以及相關(guān)學科的應用.解題時要 明確題意，掌握建立數(shù)學模型的方法.解：以A、B所確定的直線為x軸，AB的中點O為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標 系. AB 10, A( 5,0), B(5,0).設某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇 A地購買商品便宜，并設 A地的運費為3a元/公里，B地的運費為a元/公里.因為P地居民購貨