奧數(shù)講義數(shù)論專題：6進位制

1、華杯賽數(shù)論專題I： 6進位制我們平常熟悉的十進制：（2012） io=2X 103+0X 10：J-1X 102其他進制轉(zhuǎn)化為十進制：（abcde） a=aXnic-1 +bXn + cXn + dXn+e例題:例LA, B是兩個自然數(shù)，如果A進位制數(shù)47和B進位制數(shù)74相等，那么A+B的最 小可能值是多少？【答案】24【解答】由已知：4A+7=7B+4.即4A=7B3,可見B除以4余1。又B進制中有7出現(xiàn)，說明B7,因此B的最小值是9,相應(yīng)的計算出A=15.所以A+B最小值是9+15=24。例2.一個十進制的兩位數(shù)A,它的十位數(shù)字為5,另一個R進制數(shù)為B,它的各位數(shù)字 與A分別相等，而且B在

2、十進制中恰好是A的3倍，那么數(shù)A和B在十進制中各是多少？【答案】50、150,或者55, 165【解答】設(shè)A在十進制中表示是（5加），由已知：5XR+m=3X （50+m）,即 5XR=150+2Xm,可見m是5的倍數(shù)，因此m=0或5。相應(yīng)的計算出R=30或32。所以A和B分別是50、150,或者55, 165。例3.一個自然數(shù)的六進制表示與九進制表示均為三位數(shù)，并且它們各位數(shù)字的排列順 序恰好相反，那么此自然數(shù)用十進制表示法寫出是多少？【答案】212【解答】設(shè)自然數(shù)在六進制中表示是3加），則在九進制中表示是（沙以）。則36a+6b+c = 81c + 9b+a, 35a=3b + 80c,通

3、過對等式的觀察，可以發(fā)現(xiàn)b是5的 倍數(shù)。又由于b是在六進制中的數(shù)，所以，b是?；?。（1）若b=0,則上式變?yōu)?5a=80c,即7a=16c, a需要是16的倍數(shù)，a又小于6。所以，a = 0.但是a在首位，a又不能等于0。所以，這樣的數(shù)字不存在。（2）若 b=5,則上式變?yōu)?7a=3+16c, a=5, c=2。所以，這個六進制數(shù)是（552） 6化為十進制是5義6:+5乂6 + 2=212。例4.如果某個自然數(shù)可以寫成2的兩個不同次塞（包括零次希）的和，我們就稱這樣 的數(shù)為“雙子數(shù)”，比如9=2?+2, 36=25+22,它們都是雙子數(shù)。現(xiàn)有一個雙子數(shù)是 lOWo（1）把1040寫成2的兩個不同次累（包括零次塞）的和。這樣的寫法唯一嗎？（2）比1040小的雙子數(shù)共有多少個？【答案】（1）2出+ 24,寫法是唯一的。（2） 49【解答】（1） 1040=1024 + 16=214-24 ,寫法是唯一的。（2）若某個雙子數(shù)可以表示成沙十2的樣子（km）,而且小于1040，則kVIO或者k=10, m4o當kVIO：則m也小于10,也就是k、m在0到9之間取值，且不相同，利用排列組合，有種。當 k=10： m100 ,說明每一個兩位數(shù)化成五進制數(shù)后最多只有3位.那么進位只可能在個位和十位.由此