初一奧數(shù)第11講線段與角

1、第十一講 線段與角線段與角是初中平面幾何中兩個(gè)非?；镜母拍睿@兩個(gè)概念在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用小明做作業(yè)需要買一些文具在他家的左邊200米處有一家文具店，他從家出發(fā)向文具店走去，走到一半發(fā)現(xiàn)忘了帶錢，又回家取錢買了文具后回到家中問小明共走了多長的路程？在高層建筑中，一般都設(shè)有電梯，人們上樓一般都乘坐電梯，你想過嗎，設(shè)計(jì)電梯與線段的什么性質(zhì)有關(guān)？鐘表是大家熟悉的計(jì)時(shí)工具，你可曾觀察過在2點(diǎn)到3點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合？什么時(shí)候時(shí)針與分針成90角？我們還可以在日常生活中提出許多與線段和角有關(guān)的問題，不少問題很有趣，也頗費(fèi)腦筋，對于留心觀察、勤于思考的人來說是鍛煉腦筋的好機(jī)會(huì)例1 已知：AB

2、BCCD=234，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點(diǎn)，且EF=12厘米(cm)，求AD的長(如圖16)分析 線段EF是線段AD的一部分，題設(shè)給出了EF的長度，只要知道線段EF占全線段AD的份額，就可求出AD的長了解 因?yàn)锳BBCCD=234，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，將線段AD 9等分(9=2+3+4)且設(shè)每一份為一個(gè)單位，則AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2從而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，例2 在直線l上取 A，B兩點(diǎn)，使AB=10厘米，再在l上取一點(diǎn)C，使AC=2厘米，M，N分別是AB，AC中點(diǎn)求MN的長度(如圖17)分析 因?yàn)槭窃谥本€上取C點(diǎn)，因此有兩種情形：C點(diǎn)在

3、A點(diǎn)的右側(cè)或C點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)解 若C點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)(即在線段AB上)因?yàn)锳C=2厘米， N為 AC中點(diǎn)，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M為AB中點(diǎn)，所以AM=5厘米則MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如圖17(a)若C點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)(即在線段BA延長線上)，此時(shí)MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如圖 17(b)線段的最基本性質(zhì)是“兩點(diǎn)之間線段最短”，這在生活中有廣泛應(yīng)用前面所提到的高層建筑所設(shè)電梯的路線，就是連接兩層樓之間的線段，而樓梯的路線則是折線，電梯的路線最短例3 如圖18所示在一條河流的北側(cè)，有A，B兩處牧場每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后， 折到B處放牧吃草請問

4、， 飲水處應(yīng)設(shè)在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路程最短？分析 將河流看作直線l(如圖19所示)設(shè)羊群在河邊的飲水點(diǎn)為C，則羊群行走路程為AC+CB設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為A，由對稱性知CA=CA因此，羊群行走的路程為AC+CB線段AC與 CB是連結(jié)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的折線由線段的基本性質(zhì)知，連結(jié)點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的線中，線段AB最短設(shè)線段AB與直線l交于C那么，C點(diǎn)就是所選的最好的飲水地點(diǎn)，下面我們來說明這一點(diǎn)解 作A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A連結(jié)B，A，并設(shè)線段BA與l交于C設(shè)C是l上不同于C的另外一點(diǎn)，只要證明AC+CBAC+CB 即可利用線段基本性質(zhì)及點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性知AC=CA及 CA=CA，

5、所以AC+CB=CA+CB，AC+CB=CA+CB=AB而CA與CB是連結(jié)A，B的折線，而AB則是連結(jié)這兩點(diǎn)之間的線段，所以CA+CBAB=AC+CB=AC+CB，從而成立，即選擇C點(diǎn)作為羊群的飲水點(diǎn)，羊群的行程最短例4 將長為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個(gè)五邊形問其中最長的一段的取值范圍分析 設(shè)AB是所圍成的五邊形ABCDE的某一邊(圖 110)，而線段BC，CD，DE，EA則可看成是點(diǎn)A，B之間的一條折線，因此，ABBC+CD+DE+EA如果AB是最長的一段，上面的不等式關(guān)系仍然成立，從而可以求出它的取值范圍解 設(shè)最長的一段AB的長度為x厘米，則其余4段

6、的和為(10-x)厘米由線段基本性質(zhì)知x10-x，所以x5，即最長的一段AB的長度必須小于5厘米例5 若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是27，求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角分析 這個(gè)問題涉及到一個(gè)角的余角、補(bǔ)角及兩個(gè)角的比的概念，概念清楚了，問題不難解決解 設(shè)這個(gè)角為，則這個(gè)角的余角為90-，這個(gè)角的補(bǔ)角為180-依照題意，這兩個(gè)角的比為(90-)(180-)=27所以360-2=630-7，5=270，所以=54從而，這個(gè)角的鄰補(bǔ)角為180-54=126例6 若時(shí)鐘由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)50分，問時(shí)針、分針各轉(zhuǎn)過多大的角度？分析 解這個(gè)問題的難處在于時(shí)針轉(zhuǎn)過多大的角度，這就要弄清楚時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的關(guān)系每

7、一小時(shí)，分針轉(zhuǎn)動(dòng)360，而時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)解 在2點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)鐘的分針指向數(shù)字6；在2點(diǎn)50分時(shí)，時(shí)鐘的分針指向數(shù)字10，因此，分針共轉(zhuǎn)過“四格”，每轉(zhuǎn)“一格”為30，故分針共轉(zhuǎn)過了430=120在鐘表中，有很多有關(guān)分針、時(shí)針的轉(zhuǎn)角問題解決這類問題的關(guān)倍)例7時(shí)鐘里，時(shí)針從5點(diǎn)整的位置起，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)多少度時(shí)，分鐘與時(shí)針第一次重合(圖111)？分析 在開始時(shí)，從順時(shí)針方向看，時(shí)針在分針的“前方”，它們相差 530=150由于分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)速度(是它的12倍)，因此，總有一刻，分針“追上”時(shí)針(即兩者重合)具體追上的時(shí)刻決定于開始時(shí)，分針與時(shí)針的角度差及它們的速度比解 如分析，在開始時(shí)，

8、分針“落后”于時(shí)針150設(shè)分針與時(shí)針第一次重合時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了角，那么，分針轉(zhuǎn)動(dòng)了(150+)因?yàn)榉昼娹D(zhuǎn)速是時(shí)針的12倍，所以150+=12，說明 鐘表里的分鐘與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)問題本質(zhì)上與行程問題中的兩人追擊問題非常相似行程問題中的距離相當(dāng)于這里的角度；行程問題中的速度相當(dāng)于這里時(shí)(分)針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度下面再看一例例8 在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在何時(shí)(1)成120(圖112)；(2)成90(圖112)分析與解 (1)在4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針恰成120由于所問的時(shí)間是介于4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，因此，這個(gè)時(shí)間不能計(jì)入從4點(diǎn)開始，分針與時(shí)針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合(夾角為0)之后，分針“超過”時(shí)針，兩針

9、之間的夾角又逐漸增大(此時(shí)，分針在時(shí)針的前面)直到兩針夾角又一次成為120，這個(gè)時(shí)間正是我們所要求的設(shè)時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)過a角后，時(shí)針與分針(分針在時(shí)鐘前)成120，則12a=120+a+120，由于時(shí)針每轉(zhuǎn)過30(如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5)相當(dāng)于1經(jīng)過了(2)如圖113(a)，(b)所示由于在整4點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針夾角為120，因此，在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成90有兩種情況：(i)時(shí)針在分針之前(如圖113(a)設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)了a角，分針轉(zhuǎn)了12a角，有120+=90+12，所以 11=30，用時(shí)(ii)時(shí)針在分針之后(如圖113(b)，此時(shí)，有關(guān)系12-=120+90，11=210，用時(shí)間時(shí)，時(shí)針與分針成90 說明 由于時(shí)針與分針?biāo)山且罆r(shí)針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會(huì)出現(xiàn)一解或兩解練習(xí)十一1如圖114所示B，C是線段AD上兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)若MN=a，BC=b，求AD2如圖115所示A2，A3是線段A1A4上兩點(diǎn)，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3求線段A1A4上所有線段之和3如圖116所