-磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定律

1、 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系一、磁場(chǎng)的高斯定理一、磁場(chǎng)的高斯定理1.1.磁通量磁通量BS定義：定義：通過(guò)某面積通過(guò)某面積S的磁通量等于通過(guò)的磁通量等于通過(guò)S的磁感的磁感線的條數(shù)。線的條數(shù)。SNB(1)(1)均勻磁場(chǎng)，均勻磁場(chǎng)，S是平面，且與磁場(chǎng)線垂直是平面，且與磁場(chǎng)線垂直BSm磁通量磁通量8-8-5 磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系scosBSBSmnSBSBm(2)(2)均勻磁場(chǎng)，均勻磁場(chǎng)， S S是平面，與磁場(chǎng)線不垂直是平面，與磁場(chǎng)線不垂直Baibjck(T ) 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：磁場(chǎng)的磁磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度感應(yīng)強(qiáng)度通過(guò)

2、一半徑為通過(guò)一半徑為R，與，與z軸垂直的圓面的磁通量的大軸垂直的圓面的磁通量的大小為多少？小為多少？答：答：2RcSBmkRS2snB 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系BsSdBcosdSBsdSBmSBmdd(3) (3) S是任意曲面，是任意曲面，B是非均勻磁場(chǎng)，把是非均勻磁場(chǎng)，把S分分成無(wú)限多成無(wú)限多dS通過(guò)通過(guò)dS的通量的通量通過(guò)整個(gè)曲面的磁通量通過(guò)整個(gè)曲面的磁通量對(duì)于閉合曲面，規(guī)定閉合面的法線指向面外。對(duì)于閉合曲面，規(guī)定閉合面的法線指向面外。 SSSBSBdcosdm 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 2.2.磁場(chǎng)的高斯定理磁場(chǎng)的高斯定理在任何磁場(chǎng)中，通過(guò)任意封閉曲面的磁通量

3、恒為在任何磁場(chǎng)中，通過(guò)任意封閉曲面的磁通量恒為0 0。0smSdB磁場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)磁場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng) 磁場(chǎng)線閉合，無(wú)頭無(wú)尾，這說(shuō)明不存在單獨(dú)磁場(chǎng)線閉合，無(wú)頭無(wú)尾，這說(shuō)明不存在單獨(dú)磁荷磁荷(磁單極子磁單極子)。1931年狄拉克理論上預(yù)言了磁單極子的存在。年狄拉克理論上預(yù)言了磁單極子的存在。由于由于m大，因此現(xiàn)有的加速器能量產(chǎn)生不了磁單極大，因此現(xiàn)有的加速器能量產(chǎn)生不了磁單極子對(duì)；人們希望從宇宙射線中發(fā)現(xiàn)。目前尚未在實(shí)子對(duì)；人們希望從宇宙射線中發(fā)現(xiàn)。目前尚未在實(shí)驗(yàn)中確認(rèn)磁單極子存在。驗(yàn)中確認(rèn)磁單極子存在。pmm20810g102 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系xIB20SB/ 例例1 1 如圖載流長(zhǎng)直

4、導(dǎo)線的電流為如圖載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流為 , ,試求通過(guò)矩試求通過(guò)矩形面積的磁通量形面積的磁通量. .I 解解 先求先求 ，對(duì)變磁場(chǎng)，對(duì)變磁場(chǎng)給出給出 后積分求后積分求mdmB在矩形內(nèi)任取一面積元在矩形內(nèi)任取一面積元dS = ldx , ,在此面積元內(nèi)在此面積元內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度可看作常量磁感應(yīng)強(qiáng)度可看作常量.方向垂直于紙面向里方向垂直于紙面向里1d2dlIxoBx 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系xlxISBmd2dd021d2d0ddSmxxIlSB120ln2ddIlm1d2dlIxoB 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例2 2 兩平行的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流兩平行的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流

5、I , , 相距相距3a，矩形線框?qū)挒榫匦尉€框?qū)挒閍，高為，高為l與直導(dǎo)線共面，求通過(guò)線框與直導(dǎo)線共面，求通過(guò)線框的磁通量的磁通量. .解：取垂直紙面向里為法解：取垂直紙面向里為法線方向，以導(dǎo)線線方向，以導(dǎo)線1 1所在位所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)軸。所示的坐標(biāo)軸。 xaIxIB32200取細(xì)長(zhǎng)條面元，面元內(nèi)取細(xì)長(zhǎng)條面元，面元內(nèi)為均勻磁場(chǎng)為均勻磁場(chǎng)alIxoBIaax 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系窄條形面元的元磁通為窄條形面元的元磁通為 BldxBdSSdBdm通過(guò)矩形面積內(nèi)的磁通量通過(guò)矩形面積內(nèi)的磁通量aammBldxd21aaldxxaIxI2003

6、2220LnIlalIxoBIaax 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1) 均勻磁場(chǎng)通過(guò)平面的通量均勻磁場(chǎng)通過(guò)平面的通量2) 非均勻磁場(chǎng)通過(guò)平面的通量非均勻磁場(chǎng)通過(guò)平面的通量總結(jié)：總結(jié)：有關(guān)磁通量的計(jì)算有關(guān)磁通量的計(jì)算3) 均勻磁場(chǎng)通過(guò)曲面的通量均勻磁場(chǎng)通過(guò)曲面的通量0SdB 均勻磁場(chǎng)通過(guò)曲面的通量轉(zhuǎn)化為均勻磁場(chǎng)均勻磁場(chǎng)通過(guò)曲面的通量轉(zhuǎn)化為均勻磁場(chǎng)通過(guò)平面的磁通量通過(guò)平面的磁通量0ssSdBSdBS snB 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系二、安培環(huán)路定理二、安培環(huán)路定理 在真空的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在真空的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度 沿任一沿任一閉合路徑閉合路徑L的線積分，等于該閉合路

7、徑所環(huán)繞的電的線積分，等于該閉合路徑所環(huán)繞的電流強(qiáng)度代數(shù)和的流強(qiáng)度代數(shù)和的 倍倍. .B01.1.定理：定理：1)“1)“環(huán)繞環(huán)繞”：設(shè)想閉合路徑設(shè)想閉合路徑L為一根繩子，繩子勒緊為一根繩子，繩子勒緊后能把電流捆住，即為環(huán)繞。后能把電流捆住，即為環(huán)繞。說(shuō)明：說(shuō)明：2 2） 電流的正負(fù)問(wèn)題：電流的正負(fù)問(wèn)題：電流的流向與安培回路繞電流的流向與安培回路繞向滿足右手法則的電流為正，否則為負(fù)。向滿足右手法則的電流為正，否則為負(fù)。niiLIl dB103 3）安培環(huán)路定理成立的條件安培環(huán)路定理成立的條件: :穩(wěn)恒電流穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)為非保守場(chǎng)磁場(chǎng)為非保守場(chǎng) 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系內(nèi)內(nèi)LIII12

8、2課堂練習(xí)：課堂練習(xí)： 如圖所示，求磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)回路如圖所示，求磁感應(yīng)強(qiáng)度對(duì)回路L的環(huán)流。的環(huán)流。)2(1200IIIl dBLL內(nèi)內(nèi)分析：分析：閉合路徑閉合路徑L勒緊勒緊后，能把電流捆住后，能把電流捆住3 3根根電流，利用右手螺旋判電流，利用右手螺旋判斷電流的正、負(fù)。斷電流的正、負(fù)。答案：答案：3I2I1IL1I 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系B2 2 驗(yàn)證驗(yàn)證( (用特例說(shuō)明用特例說(shuō)明) )lRIlBld2d0 設(shè)閉合回路設(shè)閉合回路L為為圓形回路圓形回路, ,在垂直于導(dǎo)線的平面在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)內(nèi), ,與電流成與電流成右手右手螺旋。螺旋。IlBl0dRIB20載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度

9、為載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度為oIRlRd20RId20Ild 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系IlBl0d若回路繞向?yàn)榉捶较驎r(shí)，則若回路繞向?yàn)榉捶较驎r(shí)，則oIRBldllRIlBld2d0d20RRI對(duì)任意形狀的回路對(duì)任意形狀的回路IlBl0d是否成立？是否成立？ 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系rBlId 設(shè)設(shè)任意任意回路回路L在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)，與電流在垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi)，與電流成成右右手螺旋。手螺旋。ldlllBlBcosddd20rrIrdlcosdd20IIlBl0dcosd20lrI 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系ld2d022IlB0dd2211lBlB0dlBl2

10、022 rIBd1dl2r2dl1B2B閉合回路不環(huán)繞電流時(shí)閉合回路不環(huán)繞電流時(shí)I1r1012 rIB11dlBd20I 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 如果有如果有n個(gè)電流穿過(guò)積分回路個(gè)電流穿過(guò)積分回路, ,另有另有k個(gè)沒(méi)有穿個(gè)沒(méi)有穿過(guò)積分回路過(guò)積分回路, ,回路上的磁感應(yīng)強(qiáng)度回路上的磁感應(yīng)強(qiáng)度安培環(huán)路定理安培環(huán)路定理0.0).(d210nLIIIlBknnnBBBBBB.121niiLIl dB10磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流適用任意穩(wěn)恒磁場(chǎng)適用任意穩(wěn)恒磁場(chǎng) 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系3.3.穩(wěn)恒磁場(chǎng)的性質(zhì)穩(wěn)恒磁場(chǎng)的性質(zhì)高斯定理：高斯定理：無(wú)源場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)安培環(huán)路定理：安培

11、環(huán)路定理：有旋場(chǎng)有旋場(chǎng)比較靜電場(chǎng)：比較靜電場(chǎng)：0SSdBiSqSdE01有源場(chǎng)有源場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)無(wú)旋場(chǎng)靜電場(chǎng)高斯定理：靜電場(chǎng)高斯定理：靜電場(chǎng)環(huán)路定理：靜電場(chǎng)環(huán)路定理：niiLIl dB10Ll dE0 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1 1） 是否與回路是否與回路 外電流有關(guān)？外電流有關(guān)？LB2 2）若若 , ,是否回路是否回路L上各處上各處 ？0B0d lBLL回路的環(huán)流為零意味著什么？回路的環(huán)流為零意味著什么？ 問(wèn)題問(wèn)題 3)3)安培閉合環(huán)路安培閉合環(huán)路L及繞向可以任意選取嗎？及繞向可以任意選取嗎？4)4)回路對(duì)電流有回路對(duì)電流有多多次鏈套：次鏈套：Il dBL02 太原理工大學(xué)物理系太原理

12、工大學(xué)物理系答案：答案：(B)IL課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：如圖，在圓形電流所如圖，在圓形電流所在平面內(nèi)，選取一個(gè)同心圓形閉在平面內(nèi)，選取一個(gè)同心圓形閉合回路，則由安培環(huán)路定理可知合回路，則由安培環(huán)路定理可知(A) , ,且環(huán)路上任意一點(diǎn)且環(huán)路上任意一點(diǎn)B=0. .0Ll dB0Ll dB(B) , ,且環(huán)路上任意一點(diǎn)且環(huán)路上任意一點(diǎn)B 0.0Ll dB(C) ，且環(huán)路上任意一點(diǎn)，且環(huán)路上任意一點(diǎn)B 0.0Ll dB(D) ，且環(huán)路上任意一點(diǎn)，且環(huán)路上任意一點(diǎn)B=常量常量. . 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系（1 1）分析分析磁場(chǎng)磁場(chǎng)大小、方向的分布特點(diǎn)大小、方向的分布特點(diǎn)（2 2）選?。┻x取

13、合適合適的回路的回路L（3 3）用環(huán)路定理）用環(huán)路定理計(jì)算計(jì)算磁場(chǎng)磁場(chǎng)三、用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)三、用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)步驟：步驟：畢畢沙沙拉定律可以計(jì)算任意電流的磁場(chǎng)拉定律可以計(jì)算任意電流的磁場(chǎng)B安培環(huán)路定理可以計(jì)算對(duì)稱性磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理可以計(jì)算對(duì)稱性磁場(chǎng)的B磁場(chǎng)計(jì)算的兩種方法：磁場(chǎng)計(jì)算的兩種方法： 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：怎樣的回路才算是合適的回路？怎樣的回路才算是合適的回路？ 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系rBlBl2dIIii00o oIrlBldrIB20例例3 3 求求載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度。解：先分析磁場(chǎng)解：先分析磁場(chǎng)選合適的環(huán)路：在垂直于軸線選合適的環(huán)路：在垂直

14、于軸線的平面內(nèi)，選擇半徑的平面內(nèi)，選擇半徑r的圓形環(huán)路的圓形環(huán)路L，環(huán)路正方向如圖。，環(huán)路正方向如圖。磁感線是在垂直于軸線的平面磁感線是在垂直于軸線的平面內(nèi)以軸線為中心的同心圓。內(nèi)以軸線為中心的同心圓。 計(jì)算計(jì)算IrB02 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例4 4 無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱面的磁場(chǎng)無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱面的磁場(chǎng)rRRI1Lr2Lr將圓柱面分為無(wú)限多窄條，將圓柱面分為無(wú)限多窄條，每個(gè)窄條可看作是載有電流每個(gè)窄條可看作是載有電流dI的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線.解：先求柱面外的場(chǎng)解：先求柱面外的場(chǎng)(1)(1)對(duì)稱性分析對(duì)稱性分析dI2LdI1p p點(diǎn)的磁場(chǎng)的大小與點(diǎn)的磁場(chǎng)的大小與r有關(guān)，方向與

15、有關(guān)，方向與r垂直。垂直。（2 2）選合適的環(huán)路：在垂直于）選合適的環(huán)路：在垂直于軸線的平面內(nèi)，選擇半徑軸線的平面內(nèi)，選擇半徑r的圓形的圓形環(huán)路環(huán)路L，環(huán)路正方向如圖。，環(huán)路正方向如圖。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系rIB20,Rr ,0Rr02drBlBl(3)(3)計(jì)算計(jì)算rBlBl2dIIii00同法可求：圓柱面內(nèi)的磁場(chǎng)同法可求：圓柱面內(nèi)的磁場(chǎng)0B0BBRorRI20rIB20IrB02 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系1）有人說(shuō)：有人說(shuō)：“因回路不環(huán)繞電流時(shí)，環(huán)路上因回路不環(huán)繞電流時(shí)，環(huán)路上磁場(chǎng)必為零，由此可證圓柱面內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)磁場(chǎng)必為零，由此可證圓柱面內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)”，這，這樣的說(shuō)

16、法對(duì)嗎？樣的說(shuō)法對(duì)嗎？問(wèn)題問(wèn)題2）在以上的例子里選擇任意回路，環(huán)路定理在以上的例子里選擇任意回路，環(huán)路定理是否成立？磁場(chǎng)可以求解嗎？是否成立？磁場(chǎng)可以求解嗎？3）關(guān)于對(duì)稱性分析還有較簡(jiǎn)單的方法：關(guān)于對(duì)稱性分析還有較簡(jiǎn)單的方法： 由圓柱面上電流分布的軸對(duì)稱性說(shuō)明磁場(chǎng)對(duì)由圓柱面上電流分布的軸對(duì)稱性說(shuō)明磁場(chǎng)對(duì)圓柱面的軸線也有軸對(duì)稱性。圓柱面的軸線也有軸對(duì)稱性。 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例5 5 無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱體的磁場(chǎng)無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱體的磁場(chǎng)解解: :（1 1）對(duì)稱性分析）對(duì)稱性分析Rr IrB02rIB20IRLrRB（2 2）選取回路）選取回路磁場(chǎng)對(duì)圓柱體的軸線有軸對(duì)稱性。磁場(chǎng)對(duì)圓柱體

17、的軸線有軸對(duì)稱性。 半徑為半徑為r的圓周的圓周（3 3）計(jì)算）計(jì)算 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系IRrrB2202202RIrBIRrIii2200rBlBl2dRr 0ILRrRI20BRor 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系 例例6 6 求長(zhǎng)直密繞螺線管內(nèi)磁場(chǎng)求長(zhǎng)直密繞螺線管內(nèi)磁場(chǎng) 解解（2 2）選矩形回路）選矩形回路L(1)(1)分析磁場(chǎng)分析磁場(chǎng) 螺旋線圈無(wú)限長(zhǎng)，螺旋線圈內(nèi)的磁感線是一螺旋線圈無(wú)限長(zhǎng)，螺旋線圈內(nèi)的磁感線是一組平行于軸線的直線；且距軸線同遠(yuǎn)的點(diǎn)其磁場(chǎng)組平行于軸線的直線；且距軸線同遠(yuǎn)的點(diǎn)其磁場(chǎng)大小相同大小相同. .+BLMNPO 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理

18、系PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddIMNnMNB0nIB0 無(wú)限長(zhǎng)載流螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)處處相等無(wú)限長(zhǎng)載流螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)處處相等 , ,外外部磁場(chǎng)為零部磁場(chǎng)為零. .LMNPO（3 3）計(jì)算）計(jì)算+B 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系NIRBlBl02dLNIB0 例例7 7 求載流螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)求載流螺繞環(huán)內(nèi)的磁場(chǎng)RNIB202 2）選回路選回路 . .解解 1 1）對(duì)稱性分析；環(huán)內(nèi)對(duì)稱性分析；環(huán)內(nèi) 線為同心圓，環(huán)外線為同心圓，環(huán)外 為零為零. . BBRL2令令P 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例6 6 一無(wú)限大均勻載流平面薄板，面電流密一無(wú)限大均勻載流平面薄板，面電流密度為度為j，求面外一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，求面外一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。的大小。+j解：解：PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddLMNPOOPMNlBlBddBLBLBL2jLIii00jLBL02jB021 太原理工大學(xué)物理系太原理工大學(xué)物理系例例7 7 電纜由一導(dǎo)體圓柱和一同軸的導(dǎo)體圓筒組電纜由一導(dǎo)體圓柱和一同軸的導(dǎo)體圓筒組成。電流從內(nèi)圓柱流去，從外筒流回，電流均成。電