-定積分的性質(zhì)中值定理

1、對定積分的對定積分的補充規(guī)定補充規(guī)定:（1）當）當ba 時，時，0)( badxxf；（2）當當ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的

2、情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充補充：不論：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）則

3、則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，例例 1 1 比較積分值比較積分值dxex 20和和dxx 20的大小的大小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論

4、：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在區(qū)間在區(qū)間,ba上的上的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）設(shè)設(shè)M及及m分分別

5、別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6例例 2 2 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估估計計積積分分dxxx 24sin的的值值.解解,

6、sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上上單單調(diào)調(diào)下下降降,故故4 x為為極極大大點點，2 x為為極極小小點點,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )

7、(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個點個點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且1)(lim xfx， 求求dt

8、tfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）典型問題典型問題（）估計積分值；（）估計積分值；（）不計算定積分比較積分大?。ǎ┎挥嬎愣ǚe分比較積分大小二、小結(jié)二、小結(jié)思考題思考題 定積分性質(zhì)中指出，若定積分性質(zhì)中指出，若)(),(xgxf在在,ba上都可積，則上都可積，則)()(xgxf 或或)()(x

9、gxf在在,ba上也可積。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？上也可積。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？思考題解答思考題解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可積積，不不能能斷斷言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積。 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0, 1)( 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxg1, 0)(顯然顯然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上可積，但上可積，但)(),(xgxf在在1 , 0上都不可積。上都不可積。例例一、一、 填空題：填空題：1 1、 如果積分區(qū)間如果積分區(qū)間 ba ,被點被點c分成分成 bcca,與與，

10、則，則定積分的可加性為定積分的可加性為 badxxf)(_；2 2、 如果如果 baxf,)(在在上的最大值與最小值分別為上的最大值與最小值分別為Mm與與，則，則 abdxxf)(有如下估計式：有如下估計式：_ _ _；3 3、 時時當當ba ，我們規(guī)定，我們規(guī)定 badxxf)(與與 abdxxf)(的關(guān)的關(guān)系是系是_；4 4、 積分中值公式積分中值公式 badxxf)()(,)(baabf 的幾何意義是的幾何意義是 _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 下列兩積分的大小關(guān)系是：下列兩積分的大小關(guān)系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（

11、3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是常數(shù)是常數(shù)k）. .三、三、 估計下列積分估計下列積分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性質(zhì)求極限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、設(shè)七、設(shè))(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 則 在， 則 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，則，則 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，則在，則在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(；